第３２卷第３期 、ｂｌ－３２ ＮＯ＿３ 萍乡学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｐｉｎｇｘｉａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ２０１５年６月 Ｊｕｎ．２０１５ 广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列通项公式的充要条件 曹艳华 ，吕广红 （１．华东交通大学理学院；２．华东交通大学现代教育技术中心，江西南昌３３００１３） 摘要：本文给出了广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列（６０＝ａ，ＧＩ＝ｂ， ＋２＝ｐＱ＋Ｉ＋ｇ ， ０，其中６１，ｂ，ｐ，ｑ为任意实数）通项 公式的充要条件，并由通项公式出发，着重讨论了Ｐ。＋４ｑ＝Ｏ时的各种情况。 关键词：Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列；广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列；卢卡斯数列 中图分类号：Ｏ１５６．４ 文献标识码：Ａ 文章编号：２０９５．９２４９（２０１５）０３．０００１．０４ 斐波那契数列（Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ Ｓｅｑｕｅｎｃｅ）和卢卡斯数列（Ｌｕｃａｓ Ｓｅｑｕｅｎｃｅ）在数学领域以及其他自然科学领域和社 会科学领域都有着非常广泛的应用，比如经济控制论、生态数学、金融理论和组合数学中。张纪平将其推广到初 值条件和递推系数为正实数的情形，并讨论了其收敛的充要条件。本文将给出初值条件和递推系数为任意实数的 广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列通项公式的充要条件，并由通项公式出发，着重对Ｐ ＋４口：０时的各种情况进行讨论。 ｌ广义斐波那契数列 斐波那契数列有多种推广，比如： （１）Ｇ０＝口，Ｇｌ＝６， ＋２＝ ＋ ＋Ｑ（ｎ ０），这里口，ｂ是常数； （２）Ｇ０＝口，Ｇｉ＝６， ＋２＝ｐＱ＋ｌ＋ｑ （ ０），这里口，ｂ，Ｐ，ｑ是常数； （３）Ｇｌ＝ｔ２，Ｇ２＝６， ＋：＝ ＋。＋ ＋厂（ ） １），这里口，ｂ是常数， （”）是 的函数； （４）Ｇｌ＝ｅｌ，Ｇ２＝６， ＋２＝ｐ ＋１＋ｇ ＋ （ ） ≥１），这里 ｂ，Ｐ，ｑ是常数，／（玎）是ｒｌ的函数； 其中最常见的广义斐波那契数列还是上述（２）中的推广，即满足下列初值条件和线性递推关系的数列：设 口，ｂ，Ｐ，ｑ为任意实数， ／ ＧＨ＋２ ｐＱ＋ｌ＋ｑ ， ＝Ｏ，ｌ，２，… Ｇ０＝口，Ｇｌ：ｂ （１） 实际上，如果将式（１）中的数列相邻三项之间所满足的关系，看做—个二阶线性差分方程，根据二阶差分 方程的求解，就比较容易得到下列广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的充要条件。 定理ｌ 为一元二次方程 中。的两个根 ： ： 有下列结论： （ａ）Ｐ ＋４ｑ，０１￣，数列｛ ｝三的通项公式为 ＝ｑ ＂１－Ｃ２Ｘ２，其中 收稿日期：２０１５．０４．２２ 基金项目：国家自然科学基金（１１４６１０２６）；江西省自然科学基金（２０１３２ＢＡＢ２０１０１４） 作者简介：曹艳华（１９７８－），女，山东兖州人，副教授，研究方向：组合数学。 ・２・ 萍乡学院学报 ２０１５丘 ， ｃ ： 二 一２ｑｐ ＋４ｑ 的充要条件是数列｛ ｝三的任意三项满足式（１）。 （ｂ）Ｐ ＋４ｑ＝０１ｔＴＪ＂，数列｛Ｇ ｝ 的通项公式为Ｇ ＝（ｃ ＋ｃ： ）ｘ”，其中ｘ： ，ｃ ＝ａ，Ｃ２：２ｂ－ａｐ（ｐ￣０）的 ，， 充要条件是数列｛ ） 的任意三项满足式（１）。 证明：（ａ）Ｐ ＋４ｑ≠０时，先来证必要性。因为 ， ２为一元二次方程 一ｐｘ～ｑ＝０ 两个根 ： ± ‘ Ｚ ｐ－４ｐ２．＋４ｑ ± ，Ｘ：——，由根与系数关系的韦达定理得到：２ ２ ｘ１＋Ｘ２ Ｐ，ＸｌＸ２ 一ｑ， 因此 ＋２＝ｃｌ ｌｎ柏＋Ｃ２Ｘ￣ ＝（ ｌ＋ ）（ｃｌ ＋Ｃ２Ｘ２ ）一（ ｌ ２）（ｃＩ ＋ｃ２ ）， ＝ｐ（ｃｌ ＋ｃ２ ？ ）＋ｑ（ｃｌ ＋ｃ， ２ｎ）＝ｐＧ＋ｌ＋ｇ 即数列｛ ） 中的任意三项满足式（１）中的递推关系式。Ｘ￣７ＧＯ＝ｃ。ｘｏ，＋ｃ２ ０＝ｃ。＋ｃ ＝口，Ｇ。＝ ＋Ｃ２Ｘ ＝ｂ， 所以数列｛ ） 满足式（１）中的初值条件。必要性证毕。 充分性：若数列｛ ｝二满足式（１），则 ＋２一ｐＧ．＋ｌ—ｑＧ．＝０， ≥０ （２） 假设满足式（１）的数列通项公式具有下列形式 Ｇ ＝ｃｌ ＋Ｃ２ ；，ｎ ０ （３） 其中ｃ。，ｃ：， ，ｘ 为满足一定条件的非零常数，只需求出这些常数即可得到｛ ｝ 的通项公式。将式（３）带入 式（２），整理后对任意ｎ＝０，１ ２．．有 ｃｌ ［ 一ｐｘｌ—ｇ］＋ｃ２ ！［ ；一ｐｘ ２一ｇ】＝０ 由于ｑ，ｃ ， ， 为非零常数，故上式要求 一ｐｘ 一ｑ：０． （４） ２一：ｐｘ：一ｑ＝０成立，即 ， ：为一元二次方程 ｚ一 一ｇ＝。的两个根。 ＲＸｌ－ ｐ＋４ｐ２＋４ｑ， ｐ－ｘ／ｐ￣＋４ｑ贝０有 ＋ ＝ｐ，一 ＝一ｇ。又因为Ｇ。＝口，Ｇｌ＝６， ，即 Ｃ１＋ ２＝口，ｃ１ｘｌ＋Ｃ２Ｘ２＝ｂ （５） 可求得 ＝＿２ｂ－ａ （ｐ－￣（ａ）证毕。 ） ， Ｃ２：一２ｂ－ａ（ｐ＋ｘ／ｐ￣＋４ｑ）因此Ｇ ＝ｃｌ ＋Ｃ２Ｘ２对任意 ＝０，１，２，…成立。 ，一２４Ｐ ＋４ｑ （ｂ）ｐ ＋４９＝０时。必要性：因为ｐ ＋４ｇ ０，所以一元二次方程Ｘ２－－ 一ｇ ０有两个相同的实根 ＝ ・： ．詈 且将方程移项可得 ＝ｐｘ＋ｑ，所以 第３期 曹艳华，吕广红：广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列通项公式的充要条件 ・３・ Ｇ ＋２＝［ｃｌ＋Ｃ２（＂＋２）】 ＝【ｃｌ＋ｃ２（ ＋２）】 ＝［ｃｌ＋ｃ２（ ＋１）＋Ｃ２】（ ＋ｑ）ｘ ＝ｐｉｅｌ ＋ｃ２（ ＋１）ｘ］ｘ ＋ｇ（ｃＩ＋ｃ２ｎ）ｘ ＋ｃ２（口 ＋２ｑ）ｘ ’ ：ｐ［ｃ１＋ｃ２（ｎ＋１）］ ＋ｇ（ｃ１＋ｃ２ｎ）ｘ ＝ＰＧｎ＋ｌ＋ｑＧｎ ￣ｐｘ＋２ｑ＝ｐ２＋４ｑ．＝ｚ 。，即数列｛ ）三满足式（１）中的递推关系。又因为Ｇ０＝（ｃＩ＋ｃ２￣０） 。＝ｃ ＝口， Ｇ１＝（ｃ。＋ｃ２．１） ＝ｂ，所以数列满足式（１）中的初值条件。必要性证毕。 充分性：若数列｛ ｝三满足式（１），则 ＋２一ｐＧ＋ｌ—ｑＧ．＝０，” ０ （６） 假设满足式（６）的数列通项公式具有下列形式 ＝（Ｃｌ＋Ｃ２ＦＩ）Ｘｎ，ｎ≥０ （７） 其中Ｃ１，ｃ，， 为满足一定条件的非零常数。将式（７）带入（６），整理后对任意 ＝０，１ ２．．有 ＣｌＸ Ｉｘ 一ｐｘ—ｑ］＋Ｃ２ｎＸ Ｉｘ 一 一ｇ］＋ｃ２ ”（２ｘ—Ｐ）＝０ （８） 由于ｃ¨Ｃ２ 为非零常数，所以要求 一ｐｘ—ｑ＝０，２ 一Ｐ＝０ （９） 因为ｐ ＋４ｑ＝０，所以解 ＝ 满足式（９）。再由式（１）中初值条件Ｇ０＝ｃ１＝口，Ｇ１＝（ｃ。＋ｃ２・１）ｘ＝６解得ｃ ＝口， Ｃ２：２ｂ－ａｐ（ｐ ０）。因此满足式（１）的数列｛ ）二具有通项形式Ｇ ＝（ｃ ＋Ｃ２ ） 。充分性成立。定理１证毕。 ｐ ２广义斐波那契数列的应用及推论 在广义斐波那契数列中，取不同的初值条件及递推系数，可得到各种不同的有趣数列。 在文献［４］中介绍了一类Ｍｕｌｔｉ－ｎａｃｃｉ数列，即口＝０，ｂ＝ ，Ｐ＝１，ｑ为任意正整数，这对应于初始时有ｋ＞０对幼 兔，每对幼兔经过两个月长成成兔，而每对成兔每个月生ｇ对幼兔（假设所有的兔子均不死亡），则 为第 个月 兔子对数的总和。 推论１经典的Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列即口＝０，ｂ＝１，Ｐ＝ｑ＝１。 推论２ Ｌｕｃａｓ数列：ａ＝２，ｂ＝１，Ｐ＝ｑ＝１。 推论３当Ｐ ＋４ｑ＝０时，有下列结论： （１）ｐ＝２，ｇ＝一１，递推关系为 ＋：＝２ ＋ 一 。口＝６＝１时，ｃ，＝１，Ｃ２＝０， ＝１，即数列｛ ｝三为常数 列１。 （２）Ｐ＝２，ｑ＝一１，口＝０，ｂ＝１时，ｃｌ＝０，Ｃ２＝１， ＝１，通项公式为 ＝ 。若口＝０，ｂ＝一１时，Ｃｌ＝０，Ｃ２＝一１， ＝１， 通项公式为 ＝一 。 （３）Ｐ＝一２，ｑ＝一１，递推关系为 ＋２＝一２Ｇ＋ 一 。ａ＝ｂ＝Ｉ时，ｃ ＝１，ｃ２＝一２，Ｇ ＝（１—２ ）（一１） ，其渐 进公式为ｌｉｍ—（－ ｒ２ｎ：２，ｌｉｍ ：一２。口＝０，ｂ＝一ｌ时，Ｃ１＝０，ｃ２＝１， ＝一１，通项公式为 ＝ （一１） 。 ＿＋∞Ｚｎ ｎ－－￣＋ｏｏＺ ＋ｌ （４）一般地，Ｐ ＋４ｑ＝０的整数解为Ｐ＝＋２ｎ，ｑ：～ｐ＿Ｌｚ：一 ：．， ０，１ ２．．，此时递推关系为 ・４・ 萍乡学院学报 ２０１５卑 Ｇ ＝￣２ｎＧ 一ｎ ａｎ，通项公式为 ＝【口＋（曲一口 ）】（± ） ，ｎ＝０，１，２，…。 参考文献 ［１］龚德恩．经济控制论【Ｍ】．北京：高等教育出版社，２０１０． ［２］张纪平．一类广义斐波那契数列及其应用［Ｊ】．泉州师范学院学报（自然科学版），２００５，２３（２）：１０．１３ ［３］梁艳楠．Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的推广与应用【Ｄ】．大连：大连理工大学，２００８． ［４］Ｓｈａｒｉ Ｌｙｎｎ．Ｓｕｐｐｏｓｅ ｍｏｒｅ ｒａｂｂｉｔｓ ａｒｅ ｂｏｍ．【Ｊ】．Ｆｉｂ．Ｑｕａｒｔ，１９８８，２６（５）：３０６－３ １ １． ［５］马巧云．广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的通项［Ｊ】＿西安联合大学学报，２００４，７（５）． ［６］刘荣辉．Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的通项公式和应用［Ｊ】．大庆师范学院学报，２００６，（２）． ［责任校对：范延琛］ ｏｎ ｔｈｅ Ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ａｎｄ Ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ Ｃ：ｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ Ｓｅｑｕｅｎｃｅ Ｃａｏ ＹａｎｈｕａｌＬｖ Ｇｕａｎｇｈｏｎｇ ，（￣．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｅａｓｔ Ｃｈｉｎａ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ； ’ ２．Ｍｏｄｅｍ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎａｌ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｃｅｎｔｅｒ，Ｅａｓｔ Ｃｈｉｎａ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｙ，Ｎａｎｃｈａｎｇ ｔ３３００１３，Ｊｉａｎｇｘｉ，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｆｉｂｏｙａｃｃｉ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｆｈｅｒｅ ｔｈｅ ｉｎｉｔｉａｌ ｖａｌｕｅｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｃｕｒｓｉ＇ｖｅ ｃｏｅｆｉｃｉｆｅｎｔｓ ｗｅｒｅ ｆｏｒ ａｕ ｒｅａｌ ｖａｌｕｅｓ）ｗａｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｉｎ ｈｉｔｓ ｐａｐｅｒ ａｎｄ ｉｔｓ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ａｎｄ ｓｕｆｉｃｉｆｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｔｅｒｍ ｆｏｒｍｕｌａ ｗｅｒｅ ａｌｓｏ ｇｉｖｅｎ．Ｔｈｅｎ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｆｏｒｍｕｌａ．Ｐ ＋４ｑ＝０ ｗａｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｉｎ ｖａｒｉｏｕｓ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ ｓｅｑｕｅｎｃｅ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ ｓｅｑｕｅｎｃｅ；Ｌｕｃａｓ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 一 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
