北京市大兴区2013届高三数学一模试题 文(大兴一模,含解析)新人教B版

大兴区2013年高三统一练习数学（理科）

一、选择题

（1）复数(1+i)2的值是

（A）2 （B）-2 （C）2i （D）-2i 【答案】C

【解析】(1i)212ii22i，选C.

2（2）设集合A={x|x>1}，B={x|log2x>0|}，则AÇB等于

（A）{x|x1} （B）{x|x0} （C）{x|x1} 【答案】A

【解析】A{xx1或x1}，B{xx1},所以AB{xx1},选A.

开始 ，或x1} （D）{x|x1输入n s=1,i=1 ii1 s=s+(-2)i i≤n? 否 输出s 是 （3）执行如图所示的程序框图．若n4，则输出s的值是（A）-42 （B） -21 （C） 11 （D） 43 【答案】C

结束 【解析】第一次循环，s1(2)1,i2；第二次循环，s1(2)3,i3；

- 1 -

12

第三次循环，s3(2)35,i4；第四次循环，s1(2)411,i5，此时不满足条件，输出s11，所以选C.

(4)设y140.7,y280.45,y3()1.5，则 （A）y3>y1>y2 （C）y1>y2>y3 【答案】A

【解析】y140.721.4，y280.4521.35，y3()1.521.5，所以y3y1y2，选A. (5)已知平面,，直线m,n，下列命题中不正确的是 ．（A）若m，m，则∥ （B）若m∥n，m，则n （C）若m∥，n，则m∥n （D）若m，m，则． 【答案】C

【解析】C中，当m∥时，m只和过m平面与的交线平行，所以C不正确。

（B ）y2>y1>y3 （D）y1>y3>y2

12121cos2x（6）函数f(x)

cosxππππ,)上递增 （B）在(,0]上递增，在(0,)上递减

2222ππππ（C）在(,)上递减 （D）在(,0]上递减，在(0,)上递增

2222（A）在(【答案】D

【解析】因为f(x)sinxsinxtanx。当sinx0时，，当sinx0时，f(x)cosxcosxf(x)sinxtanx，即当0x时，函数递增。当x0时，函数递减，选D.

22cosx222（7）若实数a,b满足a+b≤1，则关于x的方程x-2x+a+b=0无实数根的概率为 ．

（A）

13 （B） 44- 2 -

π-23π+2 （D）

4π4π【答案】D

（C）

【解析】要使方程无实根，则判别式44(ab)0，即ab10，

,如图，阴影部分。所以三角形OAB的面积为

阴影部分的面积为

1，所以211112，所以由几何概率公式可得所求概率为42421422，选D. 42（8）抛物线y=x(-2≤x≤2)绕y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是

（A）1 （B）2 （C）22 （D）4 【答案】B

【解析】，做出轴

- 3 -

截面，设正方体的边长为a，则ABa，AD为面的对角线，所以AD2a，所以

a2a22a，即a22a80，解得a2，所。所以CD4xCa，代入得yC222以正方体的体积为28。选B. 二、填空题

（9）函数f()的最小正周期是 xsincxosx【答案】

3122sin2x,所以周期T。 223（10）已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为，实轴长为4，则双曲线的方程

2【解析】f(x)sinxcosx是

x2y21 【答案】

45【解析】由题意知2a4,ec3，所以a2,c3，即b2c2a25，所以双曲线的a2x2y21 方程为

45。

（11）已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E、F分别是BC、CD的中点，则(AE+AF) AC等于 ． 【答案】

15 2【解析】将矩形放入直角坐标系中，

(,,)2(1,)1),C(，则E212F，

1(2所以AE2(AEA)F

3,A),C(2A,F)以,AE(1A,(1F3),，)所以,1所

23315A(C3,)(2. ,1)6222- 4 -

禳镲118（12）已知数列{an},an1an2，a1=1，数列镲的前n项和为，则n= . 睚镲anan+137镲铪【答案】18

【解析】因为an1an2，所以数列是公差为2的等差数列，所以an2n1。又

1111()anan12anan11Sn(2a1n18。

，所以

1an21)a2n21，解(得

1na322x1x0（13）已知函数f(x)1 在区间[-1,m]上的最大值是1，则m的取值范围是

2x0x ． 【答案】

1,1

x1得，x1。

x【解析】当x0时，由211得x1。当x0时，由

，所以由图象可知，1m1，即m(1,1]。

（14）已知函数f(x)是定义在(0,+ )上的单调递增函数，且xÎN*时，f(x)ÎN*，若

f[f(n)]=3n，则f(2)= ；f(4)+f(5)= 【答案】3,15

【解析】因为f[f(1)]3f(3)，所以f(1)3，若f(1)1，则与f[f(1)]3矛盾。若

f(1)3，则f[f(1)]f)f(3)，所以f(1(3)盾。所以必有f(1)矛2，

f(2)f[f(1)]f(2)3。f(3)f[f(2)]6，f(6)f[f(3)]9，因为函数f(x)单

- 5 -

调递增，所以必有f(4)7,f(5)8，即f(4)f(5)7815。 三、解答题

（15）（本小题满分13分）

在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosA=ABC(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)求sinC及的面积． ABC（16）（本小题满分13分）

一次考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩如下表： 学生 数学 物理 A1 A2 A3 A4 A5 π3，B=，b=452．

87 91 93 95 92 97 93 (Ⅰ)分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；

(Ⅱ)从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率．

（17）（本小题满分13分）

如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，DABC是等边三角形，D是BC的中点. （Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；

（Ⅱ）判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论.

- 6 -

（18）（本小题满分14分） 已知函数f(x)=(ax+1)ex．

（I）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）当a>0时，求函数f(x)在区间[-2,0]上的最小值．

19.（本小题满分14分）

已知动点P到点A（-2,0）与点B（2,0）的斜率之积为，点P的轨迹为曲线C。 (Ⅰ)求曲线C的方程；

(Ⅱ)若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于M、N两点，直线BM与椭圆的交点为D。求线段MN长度的最小值。

(20)（本小题满分13分）

已知数列{an}的各项均为正整数，且a1a2an， 设集合Ak{x|x14a，iii1ni1，或i0，或i1（}1≤k≤n）。

k性质1 若对于xAk，存在唯一一组i（i1,2,，k）使xiai成立，则称数列{an}为

i1完备数列，当k取最大值时称数列{an}为k阶完备数列。

（）性质2 若记mka，且对于任意x≤mk，xZ，都有xAk成立，则称数列i1≤k≤ni1k{an}为完整数列，当k取最大值时称数列{an}为k阶完整数列。

性质3 若数列{an}同时具有性质1及性质2，则称此数列{an}为完美数列，当k取最大值时

{an}称为k阶完美数列；

- 7 -

（Ⅰ）若数列{an}的通项公式为an2n1，求集合A2，并指出{an}分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；

（Ⅱ）若数列{an}的通项公式为an10n1，求证：数列{an}为n阶完备数列，并求出集合An中所有元素的和Sn。

（Ⅲ）若数列{an}为n阶完美数列，试写出集合An，并求数列{an}通项公式。 2013年高三统一练习 高三数学（文科）参

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）A （3）C （4）A （5）C （6）D （7）D （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

(9)π2 (10)xy2

451 (11)15 2 (12)18 (13)1,1 (14)3,15

三、解答题（共6小题，共80分） （15）（本小题共13分） 解:（Ⅰ）因为cosA35,A是ABC内角 ,所以sinA45,

由正弦定理:

asinAbsinB 知a428π 得: a

5sin54 （Ⅱ）在ABC 中, sinCsin[(AB)]sin(AB)

sinAcosBcosAsinB423275252210 ABC 的面积为:s1absinC1827228

2251025

- 8 -

（16）（本小题共13分） 解：

（I) 5名学生数学成绩的平均分为:(91939597)93 5名学生数学成绩的方差为:

[(93)(9193)(9393)(9593)(9793)]8 5名学生物理成绩的平均分为:(879293)90 5名学生物理成绩的方差为:

[(8790)(90)(90)(9290)(9390)]15152222215152222224 5 因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定.

(Ⅱ)设选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分为事件A

5名学生中选2人包含基本事件有：

A1A2, A1A3,A1A4,A1A5, A2A3,A2A4,A2A5,A3A4,A3A5,A4A5, 共10个.

事件A包含基本事件有：A1A4,A1A5,A2A4,A2A5,A3A4,A3A5,A4A5,共7个. 则 P(A)7

10 所以，5名学生中选2人, 选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率为

(17)（本小题共13分）

解: (Ⅰ)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，所以AA1BC, 在等边ABC 中，D是BC中点，所以ADBC

因为 在平面A1AD中，A1AADA，所以 BC面A1AD 又因为A1D面A1AD，所以，A1DBC

7. 10 在直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形，所以B1C1//BC 所以，A1DB1C1

(Ⅱ) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ACC1A1是平行四边形，

- 9 -

在平行四边形ACC1A1中联结A1C,交于AC1点O,联结DO. 故O为A1C中点.

在三角形A1CB中,D 为BC中点,O为A1C中点,故DO//A1B. 因为DO平面DAC1,A1B 平面DAC1,所以,A1B//面 ADC1 故,A1B与面 ADC1平行 （18）（本小题共14分） 解：定义域为R

f'(x)(ax1)'ex(ax1)(ex)'ex(axa1)

'x(Ⅰ)①当a0时，f(x)e0,则f(x)的单调增区间为(,)

a1a1',解f(x)0得, x,

aaa1a1,),f(x)的单调减区间为(,) 则f(x)的单调增区间为(aaa1a1'' ③当a0时，解f(x)0得, x,解f(x)0得, x,

aaa1a1),f(x)的单调减区间为(,) 则f(x)的单调增区间为(,aa' ②当a0时，解f(x)0得, xa0(Ⅱ) ①当a12a时, 即 当a1时, f(x)在(2,a1)上是减函数,在aa1aa1a1f()ae(,0)上是增函数,则函数f(x)在区间[-2,0]上的最小值为 aa

a0 ②当a1时, 即 当0a1时, f(x)在[2,0]上是增函数,

2a 则函数f(x)在区间[-2,0]上的最小值为f(2)12a 2ea1a综上: 当a1时, f(x)在区间[-2,0]上最小值为ae

当0a1时, f(x)在区间[-2,0]上最小值为

- 10 -

12a 2e

（19）（本小题共14分）

解：（Ⅰ）设P(x,y)，由题意知 k1APkBPyy4，即

x2x214(x2) 化简得曲线C方程为：x24y21 (x2) （Ⅱ）思路一

满足题意的直线AQ的斜率显然存在且不为零，设其方程为yk(x2)，

由（Ⅰ）知k11QBk4，所以，设直线QB方程为y4k(x2)， 当x4时得N点坐标为N(4,12k)，易求M点坐标为M(4,6k) 所以|MN|6k12k=|6k|11|2k|2|6k||2k|23，

当且仅当k36时，线段MN的长度有最小值23. 思路二：满足题意的直线AQ的斜率显然存在且不为零，设其方程为yk(x2)，

联立方程：x2y214

yk(x2)消元得(4k21)x216k2x16k240，

- 11 -

设Q(x0,y0)，M(x1,y1),N(x2,y2)，

由韦达定理得：2x16k2404k21， 所以x8k2204k21，代入直线方程得y4k04k21， 28k2所以Q(14k2,4k14k2)，又B(2,0) 4k所以直线BQ的斜率为,14k20128k24k 14k22以下同思路一

思路三：设Q(x0,y0)，则直线AQ的方程为yy0x2(x2)0直线BQ的方程为yy0x(x2) 02当x4，得y6y06y0Mx2，即M(4,x) 002当x4，得y2y02yNx，即N(4,02) 02x0则MN6y02y02y2x08x02 02x02x04MN24y22x080(x24)2 0又x204y204

MN24(x04)2所以4x2

0利用导数，或变形为二次函数求其最小值。 （20）（本题满分13分）

解：（Ⅰ）A2{4,3,2,1,0,1,2,3,4}；

{an}为2阶完备数列，n阶完整数列，2阶完美数列；

- 12 -

（Ⅱ）若对于xAn，假设存在2组i及i（i1,2,n）使xaii1ni成立，则有

11002102n10n111002102n10n1，即

(11)100(22)101(nn)10n10，其中i,i{1,0,1}，必有

11,22nn，

所以仅存在唯一一组i（i1,2,n）使xaii1ni成立，

即数列{an}为n阶完备数列；

Sn0，对xAn，xiai，则xiai(i)ai，因为i{1,0,1}，

i1nnni1i1则i{1,0,1}，所以xAn，即Sn0

（Ⅲ）若存在n阶完美数列，则由性质1易知An中必有3个元素，由（Ⅱ）知An中元素成对出现（互为相反数），且0An，又{an}具有性质2，则An中3个元素必为

nn3n13n33n33n1An{,,1,0,1,,}。

2222an3n1

- 13 -