硕士论文高精度频率估计算法研究摘要 频率估计是数字信号处理的重要内容对淹没在噪声中的正弦波信号进行频率估计是信号处理的一个经典课题。目前，高精度频率估计已经成功应用于雷达探侧、声纳地震监测、桥梁振动检测以及电子通信技术中，因此，研究高精度频率估计算法，具有重要的理论意义和应用价值。 论文对几类高精度频率估计算法进行研究，包括幅度比值法、相位差法、频谱细化法和自相关辅助法，在分析算法原理及特点的基础上比较算法的性能，通过蒙特卡罗仿真模拟，得出频率估计均方根误差与相对频率偏差以及信噪比之间的关系，并与频率估计均方根误差克拉美一罗下限比较。同时，在分析归纳各种算法的基础上，提出几种改进的高精度频率估计算法：改进的抛物线插值方法能在估计频率与频率间隔中心距离较小时对拓介算法起补充作用：结合自相关预处理思想的插值方法可有效抑制噪声，提高低信噪比下的估计性能；此外，对基于频偏校正的频率估计算法进行改进，降低了计算量。论文分析了一种简单有效、运算量少的Ｐｕｌ ，一Ｐ曲算法，Ｐｌｓｕｅ一Ｐａｒ算法的思想对ｉ诸多研究频谱分析的学者具有一定的借鉴作用。关键词：频率估计，ＦＦＴ，自相关，均方根误差，ＣＲＢ硕士论文高精度频率估计算法研究Ａｂｓｔｒａｄ Ｆ明ｕｅｎ叮ｅ蛇汕掀ｌｎｉｏｓａｎ汕训ｒｔｔｐａｎａｔｏｒｆｄｉｉｇ回５１，ａｌ户．比ｓｓｉｎｇ，ｏｅｔ拓ｍａ妞阮白闪ｕ即ｃｙｏｆｓ访理沁ｉｄ山ｒｏｗ压刃ｉｎＤｏｉＣｉｓｓａｃｌｓａｓｉ。目即切ｅｔｏＣｆｓｉ即ａｌｐ到洲义治ｓｌｎｇ，Ｃｕｎ笼旧目ｙ，ｈｉｈｇ口Ｐｒｃｅｉｓｏｎ丘闪朋ｎｃｙｅ蛇ｉｍ如ｏｎ恤５卜笼ｎ，ｕ。，活５五ｄｌｙ哪甲Ｉｉｄｅｔｏｒａｄａｒｄｅｅｔ比Ｄｇ，ｓｒａｎｏ幼ｄ。理ｔｈｑｕａ坛ｍ耐ｔｏ山唱，腼ｄｇｅｖｉｂｒａｉｔｏｎ加ｓｔ劝喀阳ｄｄｅＣｌｔ”ｎｉｃ伪浏力切面“时ｌｓｎｏｔｃｅｈｏｏｌｏｇ，ｙｔｈｅｅｒｏｆｅｒ，比ｅｓＵｔｄｙｏｆｈｉｈｇ．Ｐ卿ｉｓｉｏｎ介ｅｑ讹ｎｃｙｅｓｔｉｍ成ｉｎｏ目ｇｏｒｉｈｔｍｈａｓａｎ汕ｐｏｈｔｎａｔｈｏｅ祀ｔｉ喇胡ｄ越扣】ｉｄｅｖａｌｕｅ．ＴｂｅＰ即ｅ ｒｉｓｎ跳姆ａＪ陷ｈｏｎ邓ｖｅｌ幻诊衅ｓｏｆｈｉｂｇ．Ｐｒ沈ｉｉｓｏｎ丘月ｕｃｎｅｙ已蛇ｉｒ比时ｉｏｎｌａｏｇｒｉｈｔｍｓ，泳１侧阮ｇｔｅｈａｍｐｌ而ｄｅｈａＯｍｅｈｔ，ｄｏｐｈａ阴ｄｉ月七ｒｅｎＣｅｍｅｈｔｄｏ，５详烈刊比山１仙ｉｎｇｍｅｔｈｏｄａｎｄａｕｔｏｃｏｎ℃１西ｏｓｎａｓｉｓｓｔ目ｍｅｈｔ。氏叨ｍＰａｅｒｔｅｈａｌｏｇｒｉｈｔｍｓ，ｐｅ雨ｎｎａｎｃｅｂａｓｄｅｏｎｔｅｈａＩ１ａＩｓｙｓｉｏｆｉｓｔＰｎｎｃｌＰｉｅ田ｌｄｆｅ刊吐ｒｅｓ，ｇｅｔｔｅｈｒｅｌｉｔａｏｎｏｆｏｒ－ｔｏｍ‘田．ｓｑ谈比ｅｄｅｖｉｉｔａｏｎａｎｄ旧ａｉｔｖｅｆｒｑｅｕｅｎｃｙｄｅｖｌｉｔａ。氏ａｓｗｅｎａｓｔｈｅｓｉｎｇａｌｏｔ－一ｉｅｓｎ妓１ｏｂｙＭｏｎｔｅＣａｌｒｏ５面ｕｌｉｔａｏ氏助ｄ公ｌｅｎｃｏｍＰａｒｅｔｈｅｅｓｔｉｍａｔｄｅｍｏｔ刀Ｑｅａｎｓｑ侧叮ｅｅｒｒｏｒｔｏ此Ｃｎ泣ｎｅ－ｒ凡”１￣ｂａｎｄ．Ｍｅｎａｗｈｉ】ｅ，ｔｅｈＰａ，叮目ｖｓｅｃｎａｓｅｍｏｌｌ刀ｐｒｏｖ曰ｉｈｈｇ．ＰｒＣｅｉｉｓｎｏｆｒｑｅ咖ｃｙｅｓｔｌｍａｔｉｎｏａｌｇｏｒｉｎｈｔ招．Ｔ七ｅｌ找ＬＰｒｏｖｅｄｐａｒａｏｂｌｃｉｉｎｔｅ耳心ｌｉｔａｏｎｍｅｈｔｄｏｉｓａｓｕＰＰＩ。刃ｅｔｎｔｏ几ｆｅ目ｇｏｒｉｈｔｍ，ｏｆ嘱七Ｉｈｃｐｅｒｏｆ￣ｃｅｌｓ户沁ｒｗｈｅｎｔｅｈｓｉｎｇａｌ丘叫朋。。ｙｉｓｎｅａ了ｔｏｔｈｅｄｉＣＳｒｅｌ已肠闪ｕｅｎｃｙ．Ｔｂｅｌｎｔｅ耳幻ｌａ幼ｏｎｍｅｈｔｄｏｒｅｌ助闭俪由ａｕ奴兄Ｏｒｅｒｌｉｔａｏｎｐｒｅｒｔ已劝ｍｅｎ丸ｃｎａｂｅｅ巧戈ｔｉｖｅｌｙｓＰｕｐｒｅｓｓ吨ｎｉｏｓｅａｎｄｍｌＰｏｒｖｉｇｎｔｅｈ伴而ｎ刀ａｎｃｅｉｎｌｏｗＳＮＲｅｎｖｌｒｏ到ｍｅｔｎ．ｂａｄｄｉｉｔ叽ｔｅｈＰａｌ兄ｒ代月ｕｃｅｓｔｈｅｃｏｍＰｕａｔｉｏｎｏｆ丘阅逃ｎ‘ｙｅｔｓｌｍａｔｉｏ刀ａｉｏｇｒｉｈｔｍｂｓａｄｅｏｎ伪叫，ｅｎｃｙ。任沁ｔｃｏｎ卫ｃｔｉｏｎ．丁ｂｅｐａ ＰｅｒａｎａｌｙｓＺＩ笼ｓａｓ如Ｐｌｅ皿ｄｅｆ改石ｖｅＰｕＩｅＳ．Ｐａ厅ａｌｇｏ对ｔｈｍ初ｔｈ】ｅｓｓ叨ｍｐｕｔｔａｉ叭ｔｅｈｔｈｉｋｎ如ｇｏｆｐｕ比，ｐａｒｉｍｅ山ｅｄｍａｙｈａｖｅａｒｅｅｆｒｅｎＣｅｔｏｎ娜叮ｙＳｅＰｃｒｔ侧ｍｅｒ，出引陷ｈｓｃｈｏｌａ了５．ｅｒｆｑｕｅｎｃｙｅｓｔｉｍａｔｉｎｏ，ＦＦＴ，ａｕｔｏ介ｌｉｔａ叽ｒｏｏｔｍｅａｎｓｑｕａＪ吧ｅｒｒｏ乙ＣＲＢｌｌ声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本 学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文中作了明确的说明。研究生签名：了问年７月）日学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。研究生签名：问年〕月１日硕士论文高精度预率估计算法研究１绪论Ｌｌ课题研究背景及意义 随机信号的频谱分析在现代数据分析中起着重要的作用。频谱分析就是基于有限的数据估计信号、随机过程或系统的频率成分。处理时变信号的一种常用的技术是将其变换为频域中的等价形式，这就是根据信号类型（周期的、非周期的或随机的）的不同，找出它的傅里叶级数或傅里叶变换的关系式，这种傅立叶变换技术已经广泛地应用到数据整理中。因为在很多情况下，信号的频域形式比较易于解释和表征，信号的频谱通常是原始信号的一种更为简单的表达方式，同时因为利用频域方法适于解释信号通过线性系统以后的变化，所以随机信号的频谱分析法在科学、工程、经济、社会科学等领域中得到了广泛的应用。例如，对汽车、飞机、轮船、汽轮机等各类旋转机械、电机、机床等机器的主体或部件进行实际运行状态下的谱分析，可以提供设计数据和检验设计效果，或者寻找振源和诊断故障，保证设备的安全运行等，在声纳系统中，为了寻找海洋水面船只或潜艇，需要对混有噪声的信号进行谱分析，以提供有用信息，判断舰艇运动速度、方向、位置、大小等。因此对谱分析方法的研究，受到普遍注意和重视，是当前信号处理技术中一个十分活跃的课题。 高斯白噪声中正弦波频率估计问题是频谱分析的重要内容，正弦信号频率估计是指通过对信号采样值的计算和变换，估计出淹没于噪声中的信号频率的过程。频率估计不仅在理论上，而且在实际应用中，都有着非常重要的研究价值。对被污染的有限长正弦波信号频率进行精确估计在雷达、通信和声纳等领域有着广泛的应用，特别是在ＦＭＣＷ雷达测距方面占有举足轻重的地位。如在电子对抗领域，雷达信号的频率信息是信号分选、威胁识别、引导干扰的重要参数，如何对截获雷达信号载频进行高精度估计一直是电子战接收机的设计重点，大规模集成电路的发展为数字测频提供了硬件平台，数字接收机既可以进行实时处理，也可以将信号存储起来，数字测频的核心在于算法，灵活多样、精度高是数字测频算法的特点，采用什么算法要根据实际信号环境以及所要达到的精度来确定川。 目前国内外己经提出了不少方法，主要分为时域、频域及时一频分析算法等，计算量小、精度高的快速频率估计更是倍受电子领域专家学者的关注，利用Ｍｕｓｉｃ算法、ＡＲ模型算法以及最大似然估计算法等现代谱估计的方法，可以对正弦信号频率进行精确估计，但由于算法复杂，计算量巨大，难以实时处理而了进一步应用。而采用离散傅立叶变换（Ｄ盯）的直接谱估计法，由于物理意义明确，计算量小（借助于ＦＦＤ，得到了广泛的应用。因此，基于ＦＦＴ的高精度频率估计技术研究具有重大的实际意义和应用价值，在目前的工程实践中也具有广阔的发展前景。但ＤＦＴ中存在能量泄漏和栅栏效应，使得这种方法具有很大的误差，并且算法精度在很大程度上依硕士论文高辅度频率估计算法研究赖于采样长度Ｎ周。因此，为了提高ＤＦＴ的精度，诸多学者致力于频谱校正理论的研究，来解决离散频谱误差较大的问题，提出了许多快速、精确、实用的频率估计改进算法。ＩＪ频谱校正技术发展现状及趋势 自１％５年库利一图基在《计算数学》杂志上首次提出快速傅里叶变换算法以来，随着微机的推广和普及、运算速度的提高，ＦＦＴ和频谱分析很快发展成为机械设备故障诊断、振动分析、无线电通信、信息图象处理和自动控制等多种学科重要的理论基础。ＦＦｒ和谱分析运算速度迅速发展，而且还会随着微机运算速度的提高而进一步加快，已经能够满足大部分工程界的需求。但由于计算机只能对有限多个样本进行运算，ＦＦＴ和谱分析也只能在有限区间内进行，这就不可避免地存在由于时域截断产生的能量泄漏，使谱峰值变小、精度降低，即经ＦＦＴ得到的离散频谱其幅值、相位和频率都可能产生较大的误差。长期的应用和理论分析表明：单频正弦波加矩形窗时最大误差理论上可达３６．／０４，即使加其他窗时，也不能完全消除此影响，在加Ｈ￣９窗时，只进行幅值恢复时的最大幅值误差仍高达巧．３％，相位误差高达９０度。因此，频谱分析的结果在许多领域只能定性而不能精确的定量分析和解决问题，大大了该技术的工程应用，特别是在机械振动和故障诊断中的应用受到极大ｆ１３．从７ ０年代中期，有关学者开始致力于频谱校正理论的研究以期解决离散频谱误差较大的问题。９１５７年Ｊｏｈｎｃ．Ｂｕｒｇ韶等从事电学领域研究工作的学者采用插值法ｌ，ｊ’对加矩形窗的离散化频谱进行校正，解决了电学中的离散高次谐波参数的精确测量问题；１９８３年Ｔ、ｏｓａｎｔＧ“山ｄｋｅ提出了加Ｈ朋画ｎｇ窗的内插法阁，进一步提高了离散高次谐波参数的分析精度：１９９３年，丁康和谢明提出了三点卷积法幅值校正法１１６，提高了频率间隔较大的信号的离散频谱幅值精度，解决了工程实际中的一些问题；１９９４年，谢明、丁康和黄迪山等提出和发展了比例频谱校正方法Ｉ，ｖ幻，使内插法系统地发展成为一种通用的频谱校正仿，法，解决了频率间隔较大的离散化频谱幅值、相位和频率的精确求解问题，并开始对离散频谱的校正方法和误差分析进行了深入系统的分析和研究；１９９５年，刘进明，应怀樵等提出了ＦＦＴ谱连续细化分析的傅立叶变换法【．］０引入了频谱细化的概念，提高了频率分辨率，有效提高频率估计精度；１９８９年刘渝提出了采样一段信号作Ｎ点和Ｎ口点ＦＦＴ的校正方法，利用相位信息估计频率１１：］０１９９９年，丁康、谢明等提出了对连续时域信号分前后两段作傅里叶变换，利用其对应离散谱线的相位差校正出谱峰处的准确频率的相位差校正法，该方法可在不知道窗谱函数表达式的情况下，直接用其相位差进行频率和相位校正［ｌ１；２００３年，丁康、钟舜聪总结了以往相位差校正法的思想，提出了通用的离散频谱相位差校正方法１２１气０２０６年，张英龙、刘渝提出了基于频偏校正的正弦波频率估计方法ｆ３ｌ１，用一点自相硕士论文高精度须率估计算法研究关值来辅助估计频偏，时频域算法结合，有效提高精度，且计算量小；２００６年，ｓａｎａｍ５．Ａ比ｙｅｓｋｍ，结合ＦＦＴ提出了几种基于ＰＰ算法的综合算法１１叼，通过自相关函数结合ＦＦＴ估计信号频率，算法简单且性能优越。目前国内外有四种对幅值谱或功率谱进行校正的方法：第一种方法是离散频谱三 点卷积校正法［１６，它是在已求出的加能量恢复系数的多段平均功率的基础上，采用系数为１的三点序列与功率谱进行卷积得到校正幅值的功率谱，这种方法的优点是简单易行、运算速度快、精度高（理论分析加Ｈ别山山ｎｇ窗时最大误差只有１）、不受频率（／０转速）有小波动的影响。第二种方法是对幅值谱进行校正的比值法卜‘７・ｓ．．２ＩＺ），这种方法利用归一化后差值为１的两点窗谱函数比值，建立一个以校正频率为变量的方程，解出频率，再进行幅值和相位的校正，校正的频率、幅值和相位精度可达细化１００倍以上效果．第三种方法是ＦＦＴ十ＦＴ谱连续细化分析傅立叶变换法网，该方法用ＦＦＴ作全景谱，针对要细化的局部再用ＤＦＴ进行运算，以得到局部细化精度极高的频谱，这种方法的优点是适应性好，精度较高，缺点是计算速度下降太多。第四种方法是相位差法川一１，在相位差校正法中，第一种做法是采连续两段样本，对这两段序列进行傅立叶变换，利用其对应离散谱线的相位差校正出谱峰处的准确频率和相位，这种方法进一步发展成为时移相位差法四，平移的点数是可以选择的；第二种做法是只采样一段时域信号，对这一段序列分别进行Ｎ点和Ｎ１２点的Ｆ盯分析，利用其相位差进行频谱校正。ＯＪ，这种方法进一步可以推广为改变窗长法；第三种做法是将原时域序列前Ｎ１２点平移Ｎ１４点，将序列的前后Ｎ／４点置零，再分别对原序列和新序列进行Ｆ盯分析，利用对应峰值谱线的相位差进行频谱校正１叨．实际上，所有相位差法的基本原理是一致的，就是通过时移和加不同的对称窗进行两次ＦＦＴ分析，并利用离散频谱对应峰值谱线的相位差求得频率和相位校正量，综合这些方法并推广即为通用的相位差校正法［ｌ刀． 从目前国内外学者所进行的大量研究工作来看，主要是对单频率信号（或频率间隔较大的多频率信号）离散频谱的自动识别和校正方法进行探讨，密集频率的校正也只限于两个临近频率成分的校正件川，未能深入到连续频率成分频谱的误差和校正方法的研究。而实际工程中的很多信号是密集频率成分或连续频率成分的信号，在有限样本长度下，由此类信号的ＦＦＴ谱很难识别其频率构成，确定各频率的参数。而且由于旁瓣泄漏或主瓣千涉的影响，基于单频率信号频谱校正的比值法不再适合此类多频信号。对此类信号在进行离散频谱分析时所产生误差的分析方法与频率间隔较大的信号误差分析方法存在巨大差异，校正方法也不相同，校正的难度极大。因此，只有对这类信号在进行离散傅里叶变换时所产生的误差进行深入系统的分析与研究，并找到一种较完善的频率、幅值和相位的校正方法，才能使离散傅里叶变换和频谱分析在工程中得到更广泛应用。当前，具有密集频谱的频谱校正问题是目前频谱校正技术硕士论文商翔度频率估计算法研究最难解决的问题之一，成为工程界和研究离散频谱校正的学者们关注的焦点１１３。１３本文主要工作及论文结构 本文主要工作是研究频谱分析的几类高精度频率估计算法，主要包括幅度比值法、相位差法、频谱细化法和自相关辅助法。以不同信噪比下频率估计均方根误差作为比较对象，以频率估计均方根误差理论下限ＣＲＢ作为衡量指标，对各种算法性能进行分析、比较及计算机仿真，针对算法存在的缺陷，对算法作适当改进。论文结构如下： ＼第一章论述课题的研究背景和现状，同时简述论文的主要工作和结构安排． 第二章研究幅度比值法频率估计算法，分析基于Ｆ们，次大谱线和最大谱线幅度 比值的频率插值方法，即又ｆｅ频率估计方法的算法原理和特点，比较不同信噪比下的频率估计均方根误差，针对形ｆｅ算法当信号频率位于量化频率点附近时精度降低的缺点，分析两种改进的算法，即修正几丘算法和综合拓丘算法。同时分析了利用主瓣内三条谱线幅值的三角形插值方法，并基于此思想，提出一 种新的抛物线插值方法。由于插值算法易受噪声影响，因此，基于自相关处理提高信噪比原理，提出了结合自相关预处理和抛物线插值方法的改进算法，有效提高低信噪比下的估计精度。自相关预处理的思想具有较好的通用性，特别适合于易受噪声千扰的频率估计，在强噪声背景下，也可采用多重自相关预处理，有效提高估计精度。 第三章研究相位差法频率估计算法，以分段ＦＦＴ相位差法作为特例分析相位差法估计频率的算法原理，比较算法在不同信噪比和采样长度下的频率估计均方根误差，并在此基础上引出通用的相位差校正算法。 第四章研究频谱细化法频率估计算法，包括ＦＦＴ谱连续细化分析的傅立叶变换法和复调制乙为川一ＦＴ算法，研究算法原理和实现方法，同时分析算法的优点和局限性。 第五章研究自相关辅助法频率估计算法，分析基于频偏校正的正弦波频率估计算法，通过分析信号下变频前后自相关函数的关系，对频偏校正算法提出改进，减少了计算量。同时介绍了一种运算量小的内ｌｅ．ｓＰａｉｒ算法及基于Ｐｕｌ－Ｐ应算法的几种综ｅｓ合算法，结合ＦＦＴ和自相关的频率估计算法达到时域与频域估计的有效结合，算法简单，计算量小，且性能卓越。第六章总结全文，并指出下一步的研究方向。 硕士论文高梢度频率估计算法研究２幅度比值法频率估计算法正弦信号频率的估计方法很多，基于Ｄ盯的频率估计方法可以利用ＦＰＴ实现，， 因而速度快、便于实时处理。ＤＦＴ对正弦信号的信噪比增益作用使得基于Ｄ盯（ＦＦ’Ｄ的频率估计方法比直接在时域估计频率的方法信噪比闽值低很多，在信噪比很低时，只要ＤＦＴ长度足够大，仍可得到较高的频率估计精度，因此这种方法得到广泛应用。但由于ＦＦＴ得到的是离散频率值，频率的分辨率了频率估计精度，只有当信号频率为ＦＦＴ频率分辨率丫的整数倍时，ＦＦＴ得到的频率估计值才是准确的网。而当信号频率不是ＦＦＴ的频率分辨率丫的整数倍时，由于Ｆ曰，的“栅栏”效应引起频谱泄漏，此时信号的实际频率位于ＦＦＴ主瓣内两条最大谱线之间，可以借助第二谱线与最大谱线的幅度比值来估计信号的实际频率在两条谱线之间的位置，即基于ＦＦＴ幅度比值的频率插值方法，也称为拓介频率估计方法１２习．．２１插值ＦＦＴ频率估计算法．２ＬＩＦＵｆｅ算法原理单一频率实正弦信号表示为 戏ｔ ）＝ａｃｏｓ（２万儿ｔ＋氏）２（ｌ：”其中ａ、儿和民分别为正弦信号的幅度、频率和初相。按等间隔夕＝ＴｊＮ对ｘ（）ｔ在。一Ｔ区间内进行采样，得到长度为Ｎ的序列ｘ（）ｎ，ｘ（）ｎ的Ｎ点ＤＦＴ记为Ｘ（）ｋ，鉴于实序列的ＤＦＴ的对称性，忽略ＤＦＴ频谱的负频率成分，只考虑离散频谱的前Ｎ／２点，有Ｘ（ｋ）二ａ・ｓｎｉ［二（ｋ一儿Ｔ）］Ｚｓｉｎ防（ｋ一儿Ｔ）／Ｎｌ．。“今“，，，、＝０，１，２…，万／２一１仅．１・２）ｘ（ｋ）幅度最大值处的离散频率索引值记做气，凡＝ｉｔｎ以ＴＩ，ｉｔｎ〔］ｘ表示取最接近ｘ的整数，对于较大的Ｎ，在幅度最大处，Ｘ（）ｋ的幅度可以近似表示为铸＝匡（凡）Ｉ＝入公ｓｉ（ｎ砧）２砧２（．１３）其中，占＝（儿一ｋｏ刃〕／丫为信号频率与其ＤＦＴ幅度最大处对应频率的相对偏差，鱿月厅，占的变化范围为一０．５。在紧邻气的左侧和右侧的两条谱线中幅度较大处（即幅度次大值），对应的离散频率索引值记做气，气＝ｋｏ士１，Ｘ（）ｋ的幅度可近似表示为几＝Ｉｘ仇）＝ｌＮａ！ｎｉｓ（哟！２万（１一！占１）２（．１．４）鸿与鸿的比值记做ａ，由式（２．１．）３和式（２．１４．）得１咨１１一１占１２（．１５）硕士论文高精度频率估计算法研究可得到１仆井＝凡 １＋已 城＋凡２（．１６） 根据占值可对离散频谱得到的儿的估计值插值从而得到更精细的频率估计值儿＝（ｅｋ土！引）琴，式中符号根据气的位置确定，若气＝气＋１取加号，反之取减号。．２Ｌ２高斯白嗓声下频率估计误差 ＤＦＴ系数幅度最大值凡及次大值凡都位于ｓｎｉ。函数的主瓣内，气＝ｋｏ士１，当占接近。时，！凡｝较小，与最大谱线另一侧第一旁瓣内的谱线幅度１凡１接近，凡的位置记做气，气＝气土２，无噪声千扰时始终有！凡１习凡！，但是，在噪声千扰背景下．当占较小时会发生！凡１闷凡！的情况，占的符号根据第二大谱线是位于最大谱线的左边还是右边来确定，因此ＤＴＦ幅度第二大谱线位置的错误将造成含的符号错误．当信号的实际频率为几＝（凡＋句扩时，根据ＤＦＴ系数幅度次大值与最大值的比值得到的频率估计值为ｆｏ＝（ｏｋ一句丫，从而造成频率估计出现（妨）军的误差，若这种错误出现的概率较大，则这种频率估计方法失去意义，发生这种情况的概率与ＤＦＴ点数Ｎ以及信噪比有关，同时也与占值本身的大小（即信号频率偏离最大谱线的大小）有关，因此对应一定的ＤＦＴ点数和信噪比，存在一个闭值气，只有在占＞编时，才能利用Ｄ曰，系数的幅度信息进行频率插值。由文献口ＺＪ可得，插值Ｆ门，方法估计频率的总的湘对）均方误差为时＝０一｝占１）２权１一！咨｝）２＋占２］万（ 夕伏。）ｓｎｉｃ，（司＋２；，。喊咎禁到扭（万Ｌｌ一０夕 叽）１ｏ．１乃其中，ｅ诱（）ｘ为补误差函数。插值ＦＦＴ方法的频率估计均方根误差为 丐＝价・吠／刃．２（１８．）利用不加窗频谱次大谱线与最大谱线的幅度之比进行频率插值的优点是插值公 式简单。不考虑噪声影响，ＦＰＴ主瓣内的次大谱线的幅度永远大于旁瓣幅度，因此插值不会出现方向错误。但是在有噪声的情况下，当占的绝对值较小时，可能出现位于ＦＦＩ，频谱最大值另一侧第一旁瓣的幅度超过主瓣内次大值的情况，从而造成频率插值方向相反，引起较大的频率估计误差。为了抑制旁瓣，通常在ＦＦＴ之前对采样数据进行加（非矩形）窗处理。加窗使主瓣变宽，主瓣内出现多条谱线，也使得分别位于最大值两侧的第一大和第二大谱线更容易区分，因此基本避免了频率插值方向错误。．２ＩＪ仿真分析用计算机Ｍ心ｎ ｔｅＣａｌｒ。对插值ＦＦＴ估计正弦信号频率算法仿真，将模拟结果的频率估计均方根误差‘件）与理式的计算结果进行对比．图２ ．１１为不加窗时频率估计均方根误差理论计算与模拟结果对比，仿真取硕士论文高精度须率估计算法研究冷１０２４，天＝１０４比，儿＝（２Ｎ／４十司丫，信嗓比分别为０、１２、２叼Ｂ。可以看出，理论计算与仿真曲线基本吻合，信噪比较低时，频率估计均方根误差较大。对于同一信噪比，频率估计均方根误差与万有关，当占接近０．５，即信号的频率位于两频率间隔中心附近时，估计精度高，而当占小于某一闷值编时，频率估计均方根误差较大，例如卜１０２４，信噪比为１２Ｂ时，心约为０ｄ．巧，当占《气时插值估计频率误差较大，不加窗时日谁卜妇旧算法 ．０１４模拟值０．，２卜－－一理论值（艺０一１￣一＿＿Ｊ＿＿／方一丫Ｊ儿‘。犷、，绷书彩长骊本华哥纂护一一一一一…一・．…＿一＿＿＿Ｌ－一＿一一毒、￣一升一１ｒ一一一一一１￣一－一一｛洲．‘．；＼－一｝．．．．．一．．……＿｛匕ＮＲ＝０妇日：５．＼ＮＲ卜２认｛ＳＮＲ益１２ｄＢＯ００．０５０．１０１５０．２０，２５０．３０．３５０．４。．５４０．５６ 图２ ．１．１不加窗时频率估计均方根误差理论计算与模拟结果对比图２． １２为几ｆｅ算法与ＦＦＴ算法比较，Ｎ司。２４，兀＝１０２４刊吃，儿＝（Ｎ／４十必琴，信噪比分别为０、１２、２４ｄＢ。从图中可以看出，若ＳＮ协用ｄＢ，此时，当占＞０．４时，用ＦＦＴ直接估计频率的均方根误差急剧增大，占＝０．５时均方根误差达到０．５地，为１２／个频率分辨率，而当占＜０．４时，用ＦＦｒ直接估计频率的均方根误差为小对于几企算法，当占＞。科时的频率估计均方根误差约为０．０１７个丫，明显小于ＦＰＴ直接估计所得的误差，当０２５＜占＜０．科时，用侧介算法估计频率的均方根误差约为０．Ｏ１９比，而当占＜０．５２时，均方根误差较大，占＝０．３１时最大可达到０，１１８３地。所以，当信号频率位于两个离散频率的中心区域时，几ｆｅ算法估计性能很好，误差远小于ＦＦＴ算法，但是，当信号频率接近两个离散频率谱线时，估计的误差有可能大于ＦＦＴ算法，信噪比越高，出现这种可能性的概率越小。７硕士论文高精度颐率估计算法研究众５涌０．４睫０．３啥０．２忧川．００５Ｏ０一１２０．１一．．．一…０‘二：…－一－一￣今￣￣－－一‘－一￣一Ｊ一＿＿－－二 －一一一厂一￣￣一气一户 二二 口 ．一犷一：址二；＿＿＿：＿＿＿少＿＿￣一１－一一＿图２１．３为不加窗和加Ｈａｘｍｉｎｇ窗时频率估计均方根误差与占关系对比，卜１Ｏ２４，８ 苦（全 翎鸭 彩 长 牙卞华研纂（里‘绷醚彩板牙卞华哥壕－－一￣１ ￣＿￣＿］ ‘ 、｝１一：＿＿续．．．月．一，一・・、一：一ＮＲ＝２＿＿＿＿＿一＿＿＿＿一＿＿＿＿＿‘代ＳＮＲ＝１２ｄ日０．１５Ｏ２一考山！１－－，．１１吉一．…１，：决二，．．一．．一凡！：－－一息Ｎ百只充百一０．３０．０５０．１０口２５６ ０一３５０．４Ｄ一４５０．５图２．１２Ｒｊ介算法与ＦＦＩ，算法频率估计均方根误差对比未加窗加日ａｎｎｉ叫窗｝１ ／广｛，‘－．．一－一 ０．０６０．０４姗００２０一，・・一…＿－－一１－－一＿＿＿＿＿＿１￣一＿．＿＿＿＿一一：＿＿一Ｊ＿＿＿一一儿＿＿＿一＿１二 １＿＿－、沪、‘贾二’．咔、￣－‘口卜．口‘沪角．＿＿二ＳＮＲ弓‘琐旦｛＿￣，护了，，‘．，，尸一、、碑尸，．．、 ‘－０巳竺二兰ＳＮＲ＝２叼￣－：Ｎ只二万Ｓ泛ｄ日二之二二巴二全，一十－－一‘－・・一补－－一‘－－・一卜．－二０，２０．２５６ ０．３０．３５０．４０．４５０一５日．口口．白．口０．０５０‘１ ０．１５图么Ｉ Ｊ未加窗和加Ｈａｔｍ加９窗时频率估计均方根误差对比硕士论文高精度频率估计算法研究人＝１２０４ＨＺ，几二（Ｎ１４十司丫，信噪比分别为。、１２、２４ｄＢ。与不加窗相比，加窗使正弦信号的ＦＦＴ主瓣变宽，避免了在占较小时频率估计误差增加的现象，但在相同信噪比和ＦＦｒ长度情况下，当咨＞编时，比不加窗时的估计误差增加，如ｓＮＲ＝ｏｄＢ，占＝０．５时，未加窗形企算法的频率估计均方根误差为０３．Ｏ１８４ＨＺ，而加窗后频率估计均方根误差为０．０２８９Ｕ比，频率估计均方根误差约为未加窗情况时的１．５倍，因为加窗使得ＦＦＴ有效数据长度缩短，降低了ＦＦＴ对正弦信号的信噪比增益，造成信噪比损失。图２１４为不同信噪比下未加窗和加Ｈａ ｎ垃叩窗时频率估计均方根误差对比，Ｎ＝１２０４，厂＝１０４２批，儿＝２００２．Ｚ，虚线表示ＣＲＨＢ，由文献［２１６，实正弦信号参数估计方差ＣＲ下限为ｖ州。）之ａＺｒ，刃（万２一１）即ｖ盯（力之３ 汀，ｒ，万（万，一１）ｓＮ天’其中ｓＮＲ＝矿／叮２，Ｔ二１／人。０．心拍住０８。０７￣一一分一￣￣一，一－一￣一一一一一，一一分一￣一￣一一・－－一未加窗—加Ｈａｎｎｉｇ窗ｎ．．．……ＣＲＢ，‘．１１荟ｗｅ－－不－５１。１！１，－．诬。Ｉｔ工・ｔｔｔＪＩ 厂ｗｅ－产ＩＪ－．厂： 』１ ｜冬、 ￣１ －－－－－－－－一－－－－－一｝－一不１‘．Ｊ，｜』：由于儿＝２Ｏ０ ．２ＨＺ，此时占＝０．２，图中可以看出，当ｓＮＲ‘４．ｓｄＢ时，加窗的频率估计均方根误差小于未加窗的频率估计均方根误差，但当ＳＮＲ＞４‘ｓｄＢ时，加窗的频率估计均方根误差反而大于未加窗的频率估计均方根误差，例如频率估计均方根误差为。．０３Ｈｚ时，加窗与未加窗信噪比分别为０．ｓｄＢ和３一ｓｄＢ，此时信噪比改善３ｄＢ：当，（全苦绷缪彩长软本华哥纂０．月犯。．５０｛二＼二．１几，，１忆．。１－ｌ１｜｜｝１‘！‘Ｌｔ－．Ｏ０４．的０－一、．ＪｌｌＪ‘仁‘！－一＿＿＿＿＿＿Ｊ￣、｝．００２０．０１种＿＿￣￣Ｌ￣，‘盯，．Ｏ０共菜；表；众￣５１０１５２０５２０３信噪比ｄ Ｂ图２ ．１４不同信嗓比下频率估计均方根误差与ＣＲＢ对比．硕士论文高精度频率估计算法研究频率估计均方根误差为０．１比时，加窗与未加窗信噪比分别为１００ｄＢ和７ｄＢ，此时信噪比损失３Ｂ，这与图２ｄ．１．２分析的当占＞编时加窗造成信噪比损失的结果一致。因此，加窗侧丘算法性能可总结为：加窗拓丘算法的性能与信嗓比和占有关，对于同一信噪比，当占＜气时，加窗性能优于未加窗性能，反之，则次于未加窗性能；对于同一占，当信噪比低于一定值时，加窗性能优于未加窗性能，反之，则次于未加窗性能．如ｓＮＲ钾。ｄＢ时，蝙约为０．７，而当气为０２时，对应信噪比门限约为４２．ｓＢ・ｄＺＪ修正Ｒｉｅ算法ｆ 利用信号频谱的最大两根谱线进行插值对频率进行估计，即形ｆｅ算法。当信号频率位于离散傅里叶变换（ＤＦＤ两个相邻量化频率点的中心区域时，算法精度很高，均方根误差接近克拉美一罗下限（ｃＲＬＢ），但当信号频率位于量化频率点附近时，几丘算法精度降低［ｌ。修正形ｆ２ｅ算法就针对Ｒｊ介算法这一特点，当信号频率位于量化频率点附近时，对原信号进行适当平移，通过频谱的搬移，对形ｆｅ算法进行修正１７２１．．２．２１几介算法不足利用两根谱线进行正弦波频率估计的计算公式（即Ｒｉｅ算法）ｆ、１［＿ｌｘ（ｋ。＋ｒ、１１１＝一１瓜＋ｒｗｅｓｅｓｅｓｅｓｅ‘ｅｓ二一二－‘‘－￣一！ＴＬ’｝ Ｘ（ｋ。）卜１义（ｋ。＋产）１］２：（２１）式中：当｛Ｘ（ｋ。＋１）卜｝Ｘ（ｋ。一１）｝时，ｒ＝一１，当！Ｘ（ｋ。＋１）｝之｝Ｘ（ｋ。一１）！时，；＝１，Ｔ＝Ｎ夕。 计算机模拟结果表明，在适度的信噪比条件下，当ｆ位于两个离散频率的中心区域时，ｆ性能很好，频率估计的误差远小于ＤＦＴ算法。反之，当信噪比较低而且ｆ十分接近ｋｏ大／Ｎ时（尤为采样频率），估计的误差将可能大于ＤＦＴ算法。死允算法的这一特点也可以这样分析：如果ｆ很接近两相邻离散频率的中点（凡＋，ｊ２）关／Ｎ，则Ｘ（ｋ。ｌ）很接近，这时采样内插公式具有较高的精度・反之若ｆ很｝Ｘ（ｋ。＋ｒ）１的幅度与｝接近于ｋｏ五／Ｎ，则｝（ｋ。Ｘｒ＋Ｉ）很小，在有噪声存在的情况下，噪声对Ｉｘｋ（。ｒ＋）｝的影响比较大，这将影响内插的精度。．２．２２修正几介算法原理 利用当ｆ位于两个离散采样频率的中心区域时形ｆｅ算法性能很好的特点，定义ｋ＋（ｌ／３，ｋ＋２／３）为离散频率点ｋ与ｋ＋ｌ之间的中心区域。该算法的基本思想是：先用二ｆｅ算法进行频率估计得少，然后判断少是否位于两相邻量化频率点的中心区域，如果是，则将少作为最后的频率估计值，否则对原信号进行适当的频移，使新信号的频率位于两个相邻离散频率点的中心区域，再用拓丘算法进行频率估计，这样就可以保证较高的估计精度。假设ｘ（）经过ＦＦＴ以后的频谱为ｘ（ｎ），即ｋ硕士论文高精度频率估计算法研究洞艺ａ－．Ｘ（ｋ） 一，架醉Ｌ去…，Ｎ一１，ｘ（）ｅ一万，ｋ＝０，ｎ２：（２２），少根据式（．２．２）１得到ｆ的估计值ｆ・由于｝求得最大谱线位置ｋｏ，Ｘ（ｋ。）｝之｝Ｘ（ｋ。＋ｒ）｝满足２（式中丫为ＤＦＴ童化频率间隔）。如果满足凡人／‘丫１则认为少位于量化频率中心区域，作为最终估计值．反琴１３＜ｆ一凡关／＜２鱿１３，之，需进行修正估计值少可能还有两种情况：（１）０‘ｆ－棍人１万‘丫１３（）ｗ２ｅ鱿１３‘ｆ一气天ＩＮ‘０为了使被估计信号频率尽量接近量化频率中点，将信号ｘ伪）向左或向右频移凡 量化频率单位，爪可以按式（．２．２）３确定（．２．２３）２！ 大ＬＫ。）＋人ＬＫ。＋ｒ）】平移之后的信号为频谱为ｌ ｌＸ（ｋ。＋ｒ、１ｌｘ）ｋ（一望ｘ）ｎ（・岁等“一‘，＊一。，１，２，…，Ｎ一１当｝Ｘ（ｋ。十１１）ｌ＞Ｘ（ｋ。一１１）时，；＝１，对应于谱线右移，反之对应于谱线左移，；＝一１． 修正拓丘算法仅利用ｘｌ（）的最大两根谱线值。将原始信号的频谱平移氏丫后，ｎ当ｒ＝１时，戈（）的最大两根谱线一定位于ｋ。和（ｋ气＋ｌ）处，而当，＝一１时，最大两根谱线一定位于（ｋ。一１）和ｋ。处，于是仅需计算出相应的两根谱线，再作简单的判断就可以确定戈（）的最大值，最后再用式ｅ：ｋ２１）估计频率。因此不需要对ｘｌ（）作ＦＦＴ，ｎ仅需计算ｋ。和（ｋ。ｒ）两点的Ｄ＋ＦＴ即可。修正拓介算法的算法流程图如图２．．２１所示。作ＦＦＴ 一一、（）ｎ＝二（ｎ）．。，平、２・（．２４）２：（２）｛ ｘ（ｎ）１Ｘ（ｋ）求最大值双凡）用形ｆｅ算法求几求最大值山卜侧戏少石。的求最大值＊‘冬丫频率布些（垂）愉共闷＊林蒸Ｊ刊」刀匕塑》晋呵频率左移戈（ｋ）图２．．２１修正形介算法流程图硕士论文高精度顺率估计算法研究２Ｊ３仿真分析图２ ．．２２为几介算法与修正形介算法在不同占时的频率估计均方根误差曲线，卜１０４，天习０２２４Ｆ吮，儿＝（Ｎ／４＋司丫，ｓＮＲ声１２Ｂ，由图可知，修正拓介算法在ｄ所有频率区域都具有稳定的良好性能，当占＜０．３时，珑介算法的均方根误差明显大于修正兀丘算法，占二０．１时，几介算法的均方根误差为０．仍７３比，而修正瓦丘算法的均方根误差仅为０．００４５Ｚ，约为形介算法的十分之一。Ｈ０．《冶．００５０．０４０．０３０．０２０‘０１＿＿ｊ＿一＿一友一一＿＿＿一＿＿＿＿一＿＿＿＿＿一＿＿＿＿一ｊ一＿一＿＿＿＿＼一一）一＿丫二０．５００．１０．１５川一一一匡逻摹｛＿＿＿＿＿！＿＿＿＿一＿扛＿一＿＿＿＿＿一／一＿飞＿＿＿＿＿—Ｒ湘算法＿＿－一ＭＲ湘算法图２ ．．２３为不同信噪比下修正几ｆｅ算法与拓企算法频率估计均方根误差比较，卜１２０４，儿＝１０２４Ｈ２，儿＝２０．２Ｚ，咨＝０Ｈ．２，虚线表示频率估计均方根误差的理论下限，从仿真图形可以看出，频率估计均方根误差为０．ｌＨｏＺ时，修正斑ｆｅ算法与Ｒｉｅｆ算法的信噪比约为ｓＢ和７ｄｄＢ，此时修正几ｆｅ算法比侧丘算法信噪比改善ＺｄＢ，对于同一信噪比，如ＳＮＲ产１０ｄＢ时，两者的均方根误差分别为０．００５４妇比和０，００６９Ｈ比，此时，修正形介算法的频率估计均方根误差约为几ｆｅ算法的五分之四，频率估计精度比兀ｆｅ算法有很大改进，方差接近ＣＲ下限。（望）言期咚彩板公卞担并壕一尸一甲一．０．４０．４５０．５００．２０．２０５０．３０一３５８ 图２ ．２２拓ｆｅ算法与修正侧企算法比较ｌ２硕士论文高精度顺率估计算法研究Ｒ而与ＭＲ湘比值法比较．１０拍“．－二Ｒ而算法．１０拍—Ｍ一ｉＲｅｆ算法认０７ｉ’－’ｔｏ．．一．．．．一、、・・一、・・、一・、、．－－Ｍ，， 「！１．”．．…ＣＲＢ２３综合Ｒｉｅ算法ｆ２３．１补充几介算法估计的修正因子｝Ｘ（ｋｏ＋ｌ）ｒ川Ｘ（ｋ。）卜Ｉｘ（ｋｏ＋Ｉ）ｒ）偏大，欲减小修正因子，可采取减小分子和增大分母的办法。下面分析一种补充见ｆｅ算法阴．相差很小，这时，ｆ充分接近ｋｏ（天／扔，即使在信噪比较低的情况下，ｆ的估计性能依然良好，当儿不接近凡（人／Ｎ）时，如几接近（气十０．５Ｘ天／扔处时，｝Ｘ（ｋ。＋１）｝和同理，当儿接近（气一０．）５（儿／Ｎ）处时，｝Ｘ（ｋ。）｝相当显然，ｆ将小于儿，误差较大；ｆ将大于几（全）‘荆书彩长刃卞坦哥撼．一．．００６０．０５０．０４护＿＿＿＿＿＿＿＿七＿＿＿口 吐０．０３。．２０＿＿＿＿＿分＿＿１＿＿＿－－＿＿＿上＿＿＿＿＿一￣￣护－一￣＿￣于一户＿００１斗资；５巴竺．－－０Ｏ１０１５２０５２０３信噪比似Ｂ ）图２ ．２）不同信噪比下频率估计均方根误差与ＣＲＢ对比拓介算法在估计频率儿靠近最大谱线凡忧／ 扔时性能下降，其性能下降原因是 设｝Ｘ（ｋ。）｝是｝Ｘ（ｋ）！（ｋ＝０，１，…，Ｎ１２一１）中的最大值，则估计频率；式［，｝ｘ（无。＋１）｝一｝ｘ（无。一１）１１１＝七份・１凡十井丁户一长ｒ下吮二一万节芯万广份丁下！刀Ｌ！ 人ｔＫ。一１）】＋１人Ｌ布。）！＋１入ｔＫｏ＋Ｊ）ＩＪ２３１（）当被估计频率儿十分接近ｋｏ（儿／）时，Ｎ根据频谱的对称性，ｌｘｋ（。一１１）和！Ｘ（ｋ。ｌ＋Ｉ）１３硕士论文高精度频率估计算法研究Ｒ湘算法与补充Ｒ湘算法—日湘算法．．怪．…：…一一－一补充Ｒ湘算法１．￣．（卫一飞一｝… 甲 ｜ ｜ 丁 ）‘．１ …： 翎。Ｊ，＿．＿＿＿＿线．１，！！－Ｊ释．‘－长｜护．｜口－毋．几－卞０一１Ｊ－一＿￣＿公… 月一．…Ｊ －－－． 担哥｜｜１－－－－．．…・…纂，．Ｊ…１－：众０５＿＿＿＿＿二＿＿＿＿￣Ｊ一一＿＿＿＿＿＿￣工＿＿．－二十－．－一：－．门‘１，－，才０００．０５０．１０，１５０．２０．２５０．３．０３５０，４０．４５０．５吞 图２ ．．３１斑ｆｅ算法与补充形介算法比较图２ ．．３１为Ｒｌｅｆ算法与补充几ｆｅ算法比较，Ｎ＝１０４２，天司０２４Ｈｚ，几二（万／４十句琴，ｓＮＲ节１２Ｂｄ，仿真表明，当被估计频率儿十分接近ｋｏ以／）Ｎ时，补充形ｆｅ算法的精度很高，而当儿接近两谱线中间处时，误差相对较大，与几ｆｅ算法正好相反。如此种情况下，当占＞０．３１时，瓦ｆｅ算法优于补充死介算法，而当占＜０．３１时，侧介算法则次于补充形ｆｅ算法，可见，两者各有利弊，如在不同的频率范围选择不同的估计算法，则可提高估计的精度。２人２综合Ｒｉｅｆ算法原理 由上面的分析可以看出，形ｆｅ算法和补充形丘算法各有利弊，但是它们可以相互补充．因此可以结合频谱细化技术进行智能化判决，在不同的频率段采用不同的估计算法，使估计的整体性能提高。在频谱的主瓣，当ｋ变化很小时，频谱值却变化相对较大，分别定义 礼，，凡十０ ．５，七５＝ｋｏ一０．５，ｋ＋１＝气十１，丸：＝凡一１ 利用频谱细化技术分别求气和ｑ形，当儿靠近最大谱线气（羌／的时，气，和久，的幅度较小，而ｑ劫Ｊ和气，的幅度相对较大，在存在噪声的情况下，由于ｑ，和民的幅度较小，噪声对它们的影响比对ｑＪ和ｑ匆ｊ要大，因此直接利用补充脉算法的效果没有细化后的补充形ｆｅ算法好，当儿不十分靠近最大谱线ｋｏ以／劝时，不妨设天／Ｎ＜儿＜（ｏｋ＋０．）５人／Ｎ，由于噪声的影响，出现！ｑ袖Ｊ目气，｛的概率比出ｌ４ 硕士论文高精度颁率估计算法研究现１气目ｑ，１的概率小得多，但试验表明用ｌｑｊｌ，Ｉｑ相，｝和１气｝进行插值的性能没有用１久．！，！久，１和！气１的好，为了改善频率估计性能，这里提出利用１气ＪＩ和ｌｑ初』１的相对大小选择插值项，即当｝气Ｊ！闷气Ｊｌ时，＾ｆ＜ｆ一“‘扔・〔‘一ｌｑ。ｌ（ｌ．气１＋！ｑ：＋ｔＧ。１！））〕当ｌｑ初」日ｑ匆ｊ｝时，＝“，扔・〔‘＋１气！（／１民！＋Ｉ〕综合算法的主要思想是在儿靠近最大谱线棍认／ 扔处采用细化后补充几ｆｅ算法，其他处采用形介算法，具体步骤如下：ｌ（ ）对信号加噪声序列ｘ（叻＝ｓ（）ｎ＋ｖ（功进行ＦＦＴ分析，搜索频谱最大值点位置气，得到左右相邻位置ｋ＋，和ｋ－，，进行频谱细化得到！ｑ七１和ｌｑ翻卜取！气Ｊ卜１气ＪＩ中的较大值为不幽，较小值为瑞，设Ｔ习益１瑞・２（ ）当Ｔ＞ｔｈｓｅｒｈｏｌｄ（ｈｔｅｒｓｈｏｌｄ为１．）５时，采用形ｆｅ算法进行频率估计＜了Ｊ胡＜了一（叼一（刀朴【刀岭〔ｏｋ＋ｏｋ一｝ｌ几。气！｝ｌ（／一川（ｌｑ初Ｊ｝闷ＧＷｋＪＩ）｝ｌ（／气１气１１＋１＋气气否则进行步骤（３）。」Ｉ（气ｊｌ习气，１）３（）按细化后补充儿介算法进行频率估计少＝叨Ｎｔ）〔协（ｌ气｝一１气ｔ）Ｉ（／气１１＋叼十１气１］）２３３仿真分析图２ ．３．２为综合拓介算法与形丘算法及补充拓众算法在不同占时的频率估计均方根误差曲线，卜１Ｏ２４，尤＝１Ｏ２４Ｕ比，几＝（Ｎ１４十司丫，ｓＮ获产１２ｄＢ，综合形ｆｅ算法在不同频率范围内分别用几ｆｅ算法和细化后补充觅ｆｅ算法进行估计，频率范围选取由门限Ｔ决定，综合形介在所有频率区域都具有稳定的良好性能。 从仿真图形可以看出，当占＝０．５２时，综合几介算法采用形ｆｅ算法估计频率，此时，补充形介算法的频率估计均方根误差为０．ｏｓｌＨｚ，丸企算法的频率估计均方根误差为０．００５比，综合形ｆｅ算法的频率估计均方根误差为众００５ＨＺ，与形ｆｅ算法相同。而当占＝０． １时，综合兀ｆｅ算法采用细化后补充拓介算法估计频率，此时，补充Ｒｌｅｆ算法的频率估计均方根误差为０．ｏ９５ＨＺ，死ｆｅ算法的频率估计均方根误差为．００３４３Ｈｚ，而综合几ｆｅ算法的频率估计均方根误差为０．００５５ＨＺ，频率估计均方根误差比几ｆｅ算法小０．０２８８个频率分辨率，比补充兀介算法小０．００４个频率分辨率。图２ ．３．３为不同信噪比下频率估计均方根误差与ＣＲＢ对比，仿真取占＝０．２，从仿真图形可以看出，当ＳＮＲ＜６ｄＢ时，综合死ｆｅ算法采用细化后的补充犯ｆｅ算法估计频率，均方根误差小于死丘算法和补充Ｒｉｅｆ算法，如信噪比为ｓｄＢ时，丸免算法的频率估计均方根误差为０．２０２Ｈｚ，补充几介算法的频率估计均方根误差为０．Ｏ１９ＨＺ，硕士论文高辅度频率估计算法研究，：．－－一Ｒ湘算法１：．…・・…补充Ｒ湘算法｜１１．综合Ｒ湘算法￣－一车—１．１．（艺ｅｓ．．！｜．｜…｜‘｜｜｜｜…翎｜－ｌ－｜』醚｜骥。・｜。板河卞０．１．仁工＿＿＿＿＿呼－华哥场一．１＿＿＿＿＿一＿＿＿．－｜．．．｜，．．｜．．｜…．．｜．．｜．－｜Ｊ：。．５０Ｊ，，｜．．｜．．．．‘．．１…‘…．．．……Ｏ００．０５０．１０１５０一２０２５０一３０‘３５０．４０．４５０．５６ 图２．．３２综合Ｒｉｅｆ算法与形ｆｅ算法及补充瓦ｆｅ算法性能比较０．《阳－－－一Ｒ阳算法０．０７一－一－・－一补充Ｒｉｅｆ算法—综合Ｒ湘算法（之０．（招．．……”ＣＲＢ！Ｊ‘｜绷０．０５彩形长．００４河、、一、．，・｝・！・・、－－－－’、、、、卞华哥：・一・・‘・Ｊ｜－．｜｜！｛一－．－一￣－－一￣－一十口￣一钾－一￣一弓一一－一一一￣一￣卜－一－－一－－一０．０３－－－－－－－－－一－－一氯．０眨．￣￣，－一￣￣一一本一一一一－一＿一司分一一￣一￣一一一卜一￣￣￣・一Ｊ粅．｜｜００１｜Ｊ｜ｒ｜气｜鴟｜盈＝尸￣￣＿｜＿。００５１０１５０２２５印信噪比旧 图２．．３３不同信噪比下频率估计均方根误差与ＣＲＢ对比侧＝１ ０２４，关，１Ｏ２４ＺＨ，儿＝２０・ＺＨｚ）ｌ６硕士论文高精度频率估计算法研究而综合形ｆｅ算法的频率估计均方根误差为０．０１３地，频率估计均方根误差比形ｆｅ算法和补充Ｒｉｃｆ算法分别减少０．００９Ｈｚ和０．ｏ６ＨＺ。当ＳＮ服》叼Ｂ时，综合斑ｆ ｅ算法采用拓介算法估计频率，曲线与刃介算法曲线重合，如信噪比为１０ｄＢ时，综合几ｆｅ算法与几ｆｅ算法的频率估计均方根误差为．０ｏ７ＨＺ，补充几丘算法的频率估计均方根误差为０－ｌ０ｌＨ之，此时，综合形丘算法的频率估计均方根误差比补充斑ｆｅ算法减少０．（０抖Ｅ比。．２４插值方法改进由上分析，先介算法通过次大谱线和最大谱线的比值进行插值，在估计频率位于 频率间隔中心附近时精度较高，反之则易产生插值方向错误，误差较大，为克服斑ｆｅ算法这一不足，前面分析了补充形ｆｅ算法，补充凡ｆｅ算法选择三条谱线改变了插值的方法，使得在占较小时，插值错误概率减少，与形ｆｅ算法性能互补，下面介绍一种三角形的插值方法１］９２，然后，基于此思想提出新的抛物线插值方法。．２．４１三角形插值方法 三角形法是根据几何原理进行频率校正的。当用直线分别连接主瓣内谱峰左右谱线时，可近似认为形成一个三角形，以谱峰左右各取１根谱线为例，介绍该方法的校正原理，如图２．４．１所示．・小ＰＭ川非哪ＱＯＬ图２４ ．１三角形法利用谱峰左右各一根谱线进行频率校正原理图 在图２．４．１中，假定搜索到的谱峰为谱线刀Ｃ，其对应的谱线号为ｋ，且其右边的谱线ＫＬ幅值大于其左边谱线ＧＰ的幅值，则实际谱峰的位置应在点Ｑ和Ｌ之间，如图中虚线Ａ口所示。假设线段口口的长度为口，那么“就是要求的谱线修正量。将谱线ＫＬ以Ａ口为对称轴移至Ｅ几了处，分别连结点Ａ，Ｋ，以及点Ａ，Ｄ，Ｇ，组成了一个近似胡刀Ｃ，剑刀Ｃ近似为等腰三角形，在八ＤＥ尸和△刀ＧＨ中，利用等比原理，有Ｇ厅ＥＦ刀万刀厂，２（，４．１）假定ＧＰ，ＤＱ，心三根谱线的幅值分别为Ｌ（ｋ一１），Ｌ（）ｋ，Ｌ（ｋ＋ｌ），则有硕士论文商精度频率估计算法研究Ｇ万二１，刀万＝Ｌ（ｋ）一Ｌ（ｋ一１）由于几在〕＝口乙＝１二ａ，则五Ｆ＝１一ａ一ａ＝卜Ｚａ，刀尸二Ｌ（ｋ）一Ｌ（ｋ＋１）根据式（．４．２）１，有１一２口Ｌ（ｋ）一Ｌ（ｋ一１）Ｌ（ｋ）一Ｌ（ｋ＋１）可以得到２．（．４）２Ｌ（ｋ＋１）一Ｌ（ｋ一１）溉Ｌ（ｋ）一Ｌ（ｋ一１］）２．（４一３）．２．４２抛物线插值方法 三角形插值方法是利用频谱幅度最大值谱线和左右两根谱线构成近似的三角形，通过几何原理进行校正的，但是，对于正弦信号，其傅立叶变换的包络形状为ｓｎｃｉ（），ｘ相对于三角形来说，三条谱线形成的图形更接近于抛物线，因此，基于三角形插值方法思想，本文提出一种新的抛物线插值方法，即将三角形转化为抛物线，同时利用解析几何关系来求ａ值，抛物线插值方法原理图如图２．．４２所示。图２４ ．２抛物线插值方法频率校正原理图 与前述三角形法对应，谱峰为谱线刀口，其对应的谱线号为ｋ，其左右两根谱线为心和Ｇ尸，实际谱峰的位置为Ａ口，即抛物线的对称轴，以０为原点，Ａ口为中心轴建立直角坐标系，同样，线段口。的长度为ａ，ａ就是要求的谱线修正量。在直角坐标系中，只要确定Ｇ，Ｄ，Ｋ三点的坐标，代入抛物线方程，即可求得“的值。由于Ｇ Ｐ，ＤＱ，ＫＺ三根谱线的幅值分别为Ｌ（ｋ一１），Ｌ（ｋ），Ｌ（ｋ＋１），所以Ｇ，Ｄ，Ｋ的坐标分别为Ｇ： （代１＋ａ），Ｌ（ｋ一１）Ｄ：（嘴，Ｌ（ｋ））Ｋ：（１一ａ），Ｌ（ｋ＋１）假设抛物线方程为ｙ＝ａｒＺ十ｂ，将Ｇ，Ｄ，Ｋ的坐标分别代入，得到硕士论文高枯度颐率估计算法研究Ｌ（ｋ）毋堆＝ａ．“２＋ｂ２：（４４）＋１）二ａ・ｌ（一。广＋ｂ一１）＝ａ．（ｌ＋ａ）２＋ｂＬ（ｋ一１）一Ｌ（ｋ＋１）化解求得理侣二溉乙（ ｋ＋１）一ＺＬ伏）＋Ｌ（ｋ一１］）２：（４）２．４３仿真分析２４，对拓介算法和三角形插值方法和抛物线插值方法进行仿真分析，Ｎ＝１０ 羌＝１０２４ＨＺ，ＳＮＲ二仅扭、６ｄＢ，儿＝（Ｎ／４十句可，图２．．４３为不同插值方法的频率估计均方根误差仿真结果，可见，三角形插值方法和抛物线插值方法在占较小时，性能优于死介算法，而在占较大时，性能次于形ｆｅ算法，抛物线插值方法与三角形插值方法性能相当。Ｄ．１８０１８０１４若ＳＮＲ＝６ ｄＢ，此种情况，当占＜０．２时，抛物线插值方法的估计性能优于形ｆｅ算法，如占二０．１处死ｆｅ算法的频率估计均方根误差为０．０７６３Ｈｚ，抛物线插值方法的频率估计均方根误差为０．ｌＺＨｏＺ，比死企算法减少。０６４３地。而当占＞０．２时，抛物线插值方法的估计性能则不如斑企算法，如占＝。３５时，斑ｆｅ算法的频率估计均方根误差为．０００９４ＨＺ，而抛物线插值方法的频率估计均方根误差约为０．１６０８Ｈｚ，约为形介算法的２１９（里‘翎残骥长骊卞担哥壕０．１２．１０．００８．０Ｄ６．Ｏ０４．００２‘－－．一，．．．－．产￣－－．－．……，侧．－－．－．．－．－归．Ｏ０ ０一５００一１０．１５０．２０，５２０．３０．３５０一４０４５０．５６ 图２ ．４３三种插值方法性能比较硕士论文高精度频率估计算法研究倍。 可见，在估计频率与频率间隔中心距离较小时，改进的抛物线插值方法能对几丘算法起补充作用，但当估计频率位于频率间隔中心附近时却为力，与综合死介算法类似，我们同样也可以结合这两种算法，在不同的频段采用不同的估计算法，使估计的整体性能提高。２占低信噪比下算法改进 插值的算法由于需搜索谱线的幅度，因此易受到噪声干扰而导致插值错误，在低信噪比下性能较差，改进的算法先对信号进行自相关预处理，然后再进行插值算法估计，由于信号经自相关处理提高了信噪比１］０３，因此在低信噪比下也具有很好的估计性能，在强噪声背景下体现出算法的优越性。．２．５１自相关处理提高信噪比的原理自相关检测１ ３叩Ｉ］２Ｊ，是将输入信号和延迟：后的输入信号通过自相关运算，利用信号和噪声、噪声和噪声之间不相关的特性达到提高信噪比的目的。设输入信号为 ｙ（ ｔ）＝５（ｔ）＋ｎ（ｔ）＝Ａｃｏｓ（“＋护）＋ｎｔ（）２（・５・１）其自相关函数为凡（ ｒ）＝班（ｙ（ｔ）・只ｔ＋了）１＝Ｒ ｓ仓）十五沙（才）・ｔ（ｎ＋灼１十月以ｒ十约・ｔ（ｎ）］十心（灼２（．５２）对于具备各态历经性的过程，可以利用样本函数的时间自相关函数来代替随机过 程的自相关函数，此时，自相关函数可以表示为凡〔。一、争沙・ｔ（ｘ・但２（．．５３）在实际测量中，考虑到实际观测时间ｒ总是有限的，因此，通常按下式实现相关运算：ｒ（ｘＲ）二ｘＲ（ｒ）＝升ｒ（－二ｔ（）二。＋：）＊２（五４）１一万石 下面就利用式（２．．５）４求解式（２５．）２中各项的值：（１）信号的自相关函数凡（了）兰Ｒｓ（ｒ）＝Ｔ一ｒ１）ｔ（ｓ・玲＋约改Ｔ一ｒＩＡｃｏ成“＋４．）‘ｃｏ和（ｔ＋小刃改（２．５‘５）兴了菩ｃ１一Ｔ石‘ｏｓ‘。‘ｔＺ十ｒ，＋，１山＋兰ｃ２ ｏｓ（。：）硕士论文高精度颐率估计算法研究２（）信号与噪声的互相关函数如果噪声为标准的高斯白噪声， 则研岭）］、五仁城ｒ＋ｒ］）均为０，从而凡‘）・ｔ（ｎ（ｔ十约］、［ｓＥｔ＋灼・（（ｎ］也都为０．但在实际测量中，由于观测时间有限、噪声白化程度未必十）ｔ分理想，从而导致Ｅｌｎ（ｔ］）、凡ｎ（ｔ＋ｒ）１并不一定为零。因此，根据式（．５．２）信号与噪４声的相关函数可写为。（．）ｔｔ（ｎ・朔一击了ｔ（ｓ．ｔｄ）击了、・＆）ｒ。（＋ｔ仆ｎ］）ｔ（一六了ｔ（ｓ・仙击了ｎｔ（ｔｄ）２．（．５６）２：（５乃３（）噪声的自相关函数尽管在理论上高斯白噪声除ｒ＝０外，其余值均为０，但是在实际测量时，噪声不 可能达到理论所设想的那样。因此，马（）ｒｒ转０（）总是存在的，并且是：的函数。但是其幅度与原噪声相比必然大幅度减小，可视为新的噪声，至于凡（）是一个比较大０的数，在实测或仿真时可以不计算，而以。代替，至此，可以将式（，５．２）写为２凡‘・，一誓ｃｏｇ‘・）ｒ・击了ｏｃｓ：。（ｔＺ二）・、１＊・击ｒ了ｔ（ｓ．ｔｄ）击了ｔ（ｎ・恤・六了ｔ（ｓ・恤击丁、・。闭如果将积分时间由Ｔ一ｒ改为Ｔ，则式５．）可化简为８．，、ＡＺ，、ＡＺ人护叹ｒ）＝—ＣＯ成口ｒｌ＋，，，恤（ｔ＋乃十却ｌＺｔｄ２ ’一ＺＴ２．（．５８）式（２５．）是一个关于了的极其复杂的表达式，用式（８．５２．）的方法很难继续化简，４・奋沙争卜）＋ｔｄ奋沙）．ｔｄ告沙・凡。式（．５２．）可改写为２（２５．９）ｌｙ ｔ（）＝瑞ｃｏ成，Ｉｔ十妈）十叹（ｔ）２（５１．）０式中：再ｃ ｏｓ（。Ｉｔ＋诚）是凡（：）和Ｅ【５（ｔ＋ｒ）・ｔ）（ｎ］的叠加，乓（ｔ）是月５（ｔ）・，（ｔ＋，）］和凡（价的叠加。对比式（２５１．）和式（．５．２１）０，尽管两者信号的幅度和相位不同，频率却没有变化，从上面的推导可以看出，信号通过相关运算抑制了噪声，增加了信噪比，因而在信号检测中具有重要作用。考虑单频正弦信号，若有待检测正弦信号为５ ）＝Ａｓｔ（（四十奶，并混有噪声信号ｎｉ（ｎＯ，则输入信号为双乃＝５ ｔ（）＋ｎｔ）＝Ａｓ（ｌｎ（“＋ｐ）＋ｎ（ｔ）（２．５．１１）２Ｉ 硕士论文高精度预率估计算法研究假设噪声ｎ（）为标准的高斯白噪声，根据“同频相关，不同频不相关”原理，式ｔ．５２（．）９的后三项均趋于零值，则理想状况下ｘｔ）的自相关函数为（大＿《丁，＝—ＣＯＳ口ｒ‘一’２ ＿、矛２（ ，５．１２）就可以得到信号准确的频分析式（ ２５‘１）１可知，理论上，经过一次自相关运算，率信息和幅值信息。然而实际测量中，由于观测时间有限，嗓声的白化程度未必十分理想，从而导致式（．５２．）９的后三项值并不一定为零，若将其视为新的噪声ｎ，ｒ），则经（过一次自相关后的信号可表示为凡（！）。＝誓ｃｏｓ。一（・）小，从而使信噪比得到了提高．２．（５１３）与原信号（ ．５２．１）式相比，经过自相关运算后，虽然相位信息丢失了，但是频率并未发生变化，此时的幅值也和原来的幅值之间存在解析关系，因此通过计算也可以得到原信号的频率信息和幅值信息。新产生的噪声砂）（约的值要比原来的噪声。（）ｔ多重自相关法就是将ｘ（ ）的自相关运算的结果，再多次进行自相关运算，ｍ次自ｔ相关后的结果为彩翻，的二．２．５２仿真分析口ｒ＋ｎ（邢）仓）２．（５１４）在低信噪比下对改进的算法仿真模拟，信噪比选择一１ ０一ＯｄＢ，插值算法以抛物线插值算法为例，选择信号频率为２０．ＩＺ，采样频率关二１Ｈｏ２４地，点数为Ｎ＝１０２，４此时占＝０．１，图２．５，１为改进算法与形ｆｅ算法和抛物线插值算法比较结果，改进的算法先对信号作自相关预处理，然后用抛物线插值算法估计频率，算法性能比凡ｆｅ算法有很大改进，当ｓＮ卜．翻Ｂ时，形ｆｅ算法的频率估计均方根误差为０．１３３２比，抛物线插值算法的频率估计均方根误差为０．４６００别压，而改进算法的频率估计均方根误差仅为．００４３３几，比形ｆｅ算法降低０．０８９９Ｆ［ｚ，比抛物线插值算法降低０，加２７Ｅ比，约为几ｆｅ算法的１３／，但是，由于只进行一次自相关处理，所以对抛物线插值算法的改进不大，信噪比只比抛物线插值算法改善约０．ｓｄＢ。可以看到，经一次自相关处理的改进算法比单纯的抛物线插值算法性能有所改 善，但改善的信噪比有限，为进一步提高估计精度，可以将信号通过多次自相关预处理进一步提高信噪比，自相关预处理的方法特别适用于强噪声背景下的信号频率估计，而且，自相关预处理适合于其他频率估计算法，具有较好的通用性，对于精度受噪声干扰影响较大的频率估计算法尤为有效。硕士论文高精度频率估计算法研究．１８０．１６０・・…Ｒｉｅｆ算法・”…抛物线插值方法一改进算法．２‘小结本章介绍了基于ＦＦＴ幅度比值的几ｆ ｅ频率估计方法，分析了拓企算法的原理和性能特点，以及加窗对算法性能的影响。基于形企算法在估计频率ｆｏ靠近最大谱线ｏｋ（关Ｉ）时性能下降的缺点，分析了两种改进的算法，即修正侧ｆＮｅ算法和综合几ｆｅ算法。仿真表明两种算法的频率估计精度较凡介频率估计算法有很大提高，在Ｎ＝１０２４，占＝０．２时，修正形介算法比几ｆｅ算法信噪比改善ＺｄＢ，频率估计均方根误差约为形ｆｅ算法的４／５；在占二０．２，ＳＮＲ牛ｓｄＢ时，综合形ｆｅ算法的频率估计均方根误差比形ｆｅ算法减少０．０９个频率分辨率。同时，论文提出了一种新的抛物线插值方法以及信号自相关预处理和抛物线插值 方法相结合的改进算法，可有效提高低信噪比下的估计精度，在占＝０．１，ＳＮＲ＝一ｄＢ６时，改进算法的频率估计均方根误差约为凡ｆｅ算法的１３。为进一步提高精度，可对１信号进行多次自相关预处理。（艺言翎邪彩长牙卞华哥撼．１４Ｆ￣０．万吸０．１２Ｊ一￣一￣一Ｌ－－－一口一扩＿＿＿＿Ｊ＿＿＿＿＿止＿＿＿￣予沙一卜一１－．＿一犷、一：一“、一．１０Ｊ一．．…．００８女赴竺．．．阳０恤溉二．｝概翔七竺，￣．以０粗徽之，、。 ・叹矿一享下扩一幸一言一字一二一言一￣盲￣一．常一几图２ ．．１改进算法与Ｒｉ５ｅｆ算法和抛物线插值算法比较汗件翔沁之竺．．信噪比（ 阳）２３硕士论文高精度预率估计算法研究３相位差法频率估计算法 相位差法是通过对同一信号进行不同长度或连续两段的傅里叶变换，首先校正相位，然后再校正频率。在相位差校正法中，目前有两种方法。第一种方法是对连续时域信号分前后两段作ＦＦｒ，利用其对应离散谱线的相位差校正出谱峰处的频率：第二种方法是采样一段时域信号，对这一段序列分别进行Ｎ点和Ｎ几点的ＦＦＩ，分析，利用其相位差进行频谱校正．第一种方法可以推广为时域平移法ｌｑｌ，第二种方法可推广为改变窗长法ｆｌ）０。而综合这两种方法，推导出相位差校正法的统一校正公式，即为通用相位差校正法１１］２．作为特例，我们先介绍分段ＦＦＴ相位差法１１习，然后介绍通用相位差校正法。．３１分段ＦＦＴ相位差法．３ＬＩ算法原理设观测信号为单一频率复正弦波信号 ５ ｔ（）＝ａ・ｖｘｅ［（ｊ（２厅儿ｔ＋汽）］（３．１１）其中ａ、儿和再分别为信号的幅度、频率和初相。对上述信号进行采样，设信号的记录时间长度为Ｔ，总采样点数为Ｎ，将采样序列分为两个长度相同的序列，气（）ｎ对应前Ｎ几点，凡（）ｎ对应后Ｎ几点，则采样序列可记为 咖）二ａ．Ｐｘｅ［ｊ（２（“儿ＴｎＮｌ十４）０１，”＝０１，，．，２一Ｎ一１３（．１２）１５ （）ｎ＝ａ・娜Ｉ（ｊ（２端Ｔｎ／Ｎ＋儿）］，”＝０，１，２，一Ｎ／２，１（３．１３）‘（ 哟二５１ｎ（）以以扭儿Ｔ），”＝０，，１．，２一Ｎ／２一１３（．１，）４分别对５１（冲和凡（）ｎ进行Ｎ２２点ＤＦＴ，得到离散频谱凡（ｋ）＝人ｅｘ拭少汽）ｋ＝０，ＬＺ，…，（Ｎ／２一１）３（１．５）凡（ｋ）＝凡（ｋ）ｅ却（扭儿Ｔ），ｋ＝０，１，２，…，（Ｎ／２一１）（３．１．６）其中再和汽为从（）ｋ的幅度和相位，分别为人＝．ａｓ［ｎｉ武ｋ一儿Ｔ／ｚ１）ｎｉｓ［２刃（ｋ一ｆ０Ｔ／）２／月３（ ．１．乃几＝儿十０一２／ＮＸ儿Ｔ／２一ｋ）万 （３．１．８）根据式（３１．）６知，５１（）ｋ与又（）ｋ的幅度项完全一样。由式（３．１．乃，幅度最大值处对应的离散频率为气＝１儿Ｔ／ＺＪ（ｌ］ｘ表示取最接近ｘ的整数）。利用ＤＦＴ的最大谱线粗测频率为人＝凡丫，可＝ＺＩＴ为Ｎ１２点ＤＦＴ的频率分辨率，从丸３．１．）８可见，ＤＦＴ最大谱线的相位包含信号频率与ＤＦＴ最大谱线位置的偏差信息，但由于汽未知，不能直接利用ＤＦＴ的相位来估计频率．用叭和几分别表示况（）ｋ和又（）ｋ在最大谱线处的相位，则两者的差值为△尹，件一叭＝厅儿Ｔ一２凡二（３．１９）４２ 硕士论文高精度频率估计算法研究当儿在（凡士０．）５鱿范围变化时，由式（３．１．）９知，△尹在一二到，之间变化，因此利用△尹可以对儿与ＤＦＴ最大谱线对应的频率ｋｏ丫的偏差寿＝儿一凡颐进行估计，即＿元二弩、一努的估值为人八入八３Ｊ．（ １）０当儿在（棍士０．）５丫范围内变化也可以定义与Ｔ无关的相对频率偏差占＝几／丫，时，占在劲．５范围内变化，可以利用△中直接得到占的估计值占＝△尹／玩，然后计算几儿＝人＋寿＝（凡＋司丫（３．１．１１）１１２噪声对频率估计精度的影响在加性白噪声背景下，观测信号可表示为ｒ （）ｔ＝５ｔ（）＋２（ｌ），其中５（）表示信号，ｔ２ｔ（）为复白噪声，其均值为。，功率谱密度为ＮＯ，前Ｎ１２点采样序列记为弓（ｎ）＝ｓ（ｎ，）＋ｚ（）。设系统的等效带宽为几，则城ｎｎ）的功率（方差）为讨＝几ＮＯ，采样后的信噪比为￡拟尺＝矿／讨，白噪声为平稳随机过程，不满足Ｆｏｕｒｉｒ变换的绝对可ｅ积条件，不能对其进行Ｆｏｕｒｉｒ变换，因此一般只分析其功率谱密度，但功率谱密度ｅ不包含相位信息，无法分析噪声对相位测量的影响。对于采样后的白噪声序列，可将其ＤＦＴ变换看作是若干个随机变量的线性组合，每项ＤＦＴ系数仍为随机变量，所以噪声序列的ＤＦＴ仍为随机序列．因此我们可以定义噪声序列ｚ（）ｎ在概率意义上的Ｎ／２点ＤＦＴ变换刀ｊＺ ２（ ｋ）＝艺２（ｎ）以以一了４二肠／）＝ｂ・Ｎｅ拘风爪）ｋ＝０，１，２，…，Ｎ１２（３．１．１）２月．０ 式（ ３１．１）２只在概率意义上成立，因为对于成的的不同次实现，ｚ（ｋ）的值是随机变化的，ｂ和乳分别表示Ｚ（ｋ）的幅度和相位，均为随机量。可以通过上式分析Ｚ（ｋ）的统计特性。当式ｎ）为高斯白噪声序列时，Ｚ（ｋ）也服从高斯分布，而且对于同一次ＤＦＴ变换，不同的ｋ，或同一个离散频率ｋ不同次的ＤＦＴ变换（每次ＤＦＴ对不同的采样序列进句，Ｚ（ｋ）均为不相关的，即也为高斯白噪声序列，易知ｚ（ｋ）的均值为０，方差为ｖｒａ（２）＝押口了／２，于是气（的的ＤＦＴ可表示为整理式（３．１．３１），得风（ｋ）的幅度和相位分别为凡（ 无）＝又（ｋ）＋２（ｋ）＝凡ｅｖ（ｘ爪）＋ｂｅｘｐ（％）’ｊ。．１１３），，）ｋ（！＝、沪・景・登ｃｏ奴一。，八（）ｋ’汽一ｎａｔ一ｔ岩蕊斋〕（３．１．１４）３．（１．１５）对于较大的ＤＦＴ输出信噪比，式（３．１．５）１可近似为硕士论文高辅度频率估计算法研究ｂ 外吸‘）＝汽一气厂５山吸叭一叭） （３．１．１６）相位测量均方根误差为由ｖｒ［ａｂ５斌讯一乳）１二ｖｒ［ａｂｏ成忆一叭１ｃ１＝ｖ州２）／２，得ＤｐＴ丐凡 ＿兰反三２人３．（１．１刀 对于较大的Ｎ，在主瓣附近，凡可近似为人．（Ｎ１２）．咖ｃａ８），式中（ｓｃｎｉ（）＝ｓｘ（刃ｘ）／ｎｉ（对），当信噪比较大时，在ＤＦＴ最大值处Ｒ（ｋ０）仍近似为正态分布，所以，在幅度最大值处，ＤＦＴ频谱的信噪比为其方差为ｖ州Ｒ）＝ｖ城２），价以， （３．１．１８）式（３１１８）中ｐＧ芍，Ｎ风／翻尺＝ｓｉｎｃＺ必）（万／２）为Ｎ／２点ｏＦＴ的信噪比增益。因ｎｃｉ（以Ｎ：／２）ｓ城＝ＰＧ召Ｎ及乃汉凡＝尸今二＝ｓ 丫ａ几乙） ＿、＿ Ａ产此，ＤＦＴ最大谱线处相位叭的均方根误差为可表示为ｌ ｌ气＝厂万忿布；二＿：钾ｒ。、＝仄不万二犷寸Ｉｖ．例ｖ入ｓｌ ｌｌＣ气０）心‘田ｖ八。（ ３．１．１９）对于平稳白噪声，第二段采样序列ｒ（ｎ：）的ＤＦＴ的相位仇的测量误差与叭的测量误差是统计的，而且方差相同，因此相位差△俨的均方根误差为气，一迈弓。于是，相对频率偏差估计均方根误差为ｌ 氏＝甲￣一下＝＝留二２汀扩仅Ｎ凡 （ ３１．２０）由于ＳＮＲ。一根据相对频偏占的均方根误差便可得到几的均方根误差为２气／Ｔ．般较大，ＤＦＴ最大谱线位置错误造成的频率估计误差可以忽略，因此儿的估计误差主要取决于寿的估计误差。频率估计误差和被测信号频率与ＤＦＴ最大谱线的偏差有关，当被测信号的频率正好位于最大谱线上时，频率估计误差最小，为沥面丽藏万／（好），频率估计均方根误差略大于ｃＲ下限，当被测信号的频率正好位于ＤＴ两条离散谱线中间时，频率估计误差最大，为１Ｆ汉Ｔ沥而而）。．３１３仿真分析 采用单频率的实正弦波信号迭加高斯白噪声对ＦｆＴ相位差法进行ＭｏｎｅＣａｔｌ。模ｒ拟，由于ＤＦＴ对实信号的信噪比增益为对应的复信号的一半，因此实正弦信号频率及相位估计的方差为对应的复信号的２倍。所以，对于实信号，前面推导的计算频率均方根误差的公式要乘上扼，实信号的频率估值均方根误差ｃＲ下限也为复信号ｃＲ下限的扼倍。硕士论文高精度预率估计算法研究分段Ｆ「－ｒ算法喻州２点和后叼２点变换）．０１８０．１６户－一￣一￣－．￣－－－－一一－一下户＿＿＿＿＿＿＿一 ．模拟结果—理论计算．｜．：“””ＣＲ日（艺０．嗯４｜－．｝。０．１２期：・一咚彩０．１：板１牙．００８．卞华哥。．叱嵘一￣；口｜｜一・１｜｜．００４Ｊ＿＿＿＿＿＿一＿＿七＿＿＿＿。．２０＿＿￣＿＿＿＿」＿＿＿勺，、二＿一籣＿＿‘＿、介缺缺恤￣００５１０１５０２５２０ａ信噪比ｄ Ｂ图３．Ｌｌ频率估计均方根误差与信噪比的关系分段ＦＦ Ｔ算法渝州２点和后州２点变换）Ｊ． ．模拟结果 ０．９ 。。—理论计算 ： ．…““・ＣＲ日０．８（２毛 １， 众７。绷０．一：－－－－一｛－－－－一！－－－－－－－－一－一６哆彩板０．‘曰公卞０．４＿￣一￣一一＿￣一ｆ甲一＿－一种－－￣．一．‘ 华哥０．３ＩＬ － －冤． ｅｓｌ望￣－一，一￣升－－一一￣一阵一－一一一扮一一一ｔ分－－一一甲一甲，一￣￣一一一一一一尸一扣种￣一一一一ｅｓｅｓ０．２，ｒｌｌ１＿＿＿＿＿＿＿＿＿｝＿＿＿＿＿＿＿＿＿钾＿＿Ｊ￣＿＿＿＿＿一￣一‘一＿一＿＿＿＿＿０．１、一＿一＿一＿＿：＿一＿一一￣一－一一一－ｌ一一￣００２００月ＯＣ创Ｘ｝日００１０００１２００Ｎ图３．１．２频率估计均方根误差与Ｎ的关系２７硕士论文高精度频率估计算法研究 图３．１．１和图３．１．２分别为频率估计均方根误差与信噪比及ＤＦＴ长度的关系。图中‘＊’代表ＭｏｎｔｅＣａｌｒ。模拟结果，点线为按公式（实信号）理论计算结果，虚线为对应实信号的频率估值均方根误差ｃＲ下限。图３．１．１为几＝（２３＋句琴，占＝０．２，五：１２０４取，Ｎ＝２５６情况下，频率估计均方根误差与信噪比的关系，仿真表明频率估计均方根误差接近ＣＲ下限。信噪比为１２ｄＢ时，频率估计均方根误差约为０．４０ＨＺ，信噪比为１８ｄＢ时，频率估计均方根误差约为０．０２Ｅ比，可见，信噪比增加闭Ｂ，估值均方根误差约降低一半．图３．１．２为几＝（Ｎ／８＋司丫，占＝０．２，天＝１２０４Ｈ比，ｓＮＲ＝１２Ｂｄ条件下，频率估计均方根误差随数据长度Ｎ变化的情况，模拟结果与理论计算结果吻合。３２通用相位差校正法 通用相位差校正法的基本原理是时域平移十改变窗长十改变窗函数，即第二段时域序列比第一段滞后Ｌ点，采用不同的窗函数对这两段时域分别作Ｎ点和Ｍ点的ＦＦＴ分析，并利用离散频谱对应蜂值谱线的相位差以求得频率和相位校正量。文献ｔｏｌｌ、文献【１习和文献「１］９提出的校正方法分别只是此法改变不同参数的三个特例。仿真结果表明，该方法实现方便，精度较高，适合各种对称窗函数，抗噪声能力强。３：２时域平移的相位差校正法对加长度为Ｔ的对称窗琳（ ）ｔ的信号ｘ（）ｔ进行傅立叶变换有Ｆ［ ｘｔ（．）、（ｔ］）一卜（ｔ．）、．ｔ（ｅ）一Ｚｊ”‘３（．２）１其中，铸，）ｔ（由对称窗ｗｌ）ｔ（在时间上平移Ｔ２１得到，即巧１）ｔ（＝ｗｌｔ（一Ｔｊ）２设ｗ ｌ）ｔ（的傅立叶变换为Ｆｌｌｗ）ｔ（卜不的，根据傅立叶变换的奇偶性质，当玛（）ｔ是实偶函数时，不（）ｆ也为实偶函数，又由傅立叶变换的时移特性可得ｌｒ 踌１ｔ（１）＝砚（力心一Ｐ’ｊ．３（．．２）２设有一谐波信号ｘ（ ）ｔ＝Ａｃｏ（ｓ２才儿ｔ＋９），其傅立叶变换结果为（ｘ。一争一“价朴普内。一；）（３．２３）设关为校正前某谐波信号离散频谱的峰值频率，代入式（．３．２）３，得Ｘ。卜普一‘。＋、卜誉・ｅｊ‘。１、）３（．２．４）加窗后的谐波信号ｘ）ｔ（・Ｔｗ，）ｔ（的傅立叶变换可根据卷积定理表示为月工（ ．）ｔｗＴＩ）ｔ（】＝Ｆｌｘ（）ｔ」＊Ｆｌ铸１ｔ（Ｊ）＝［普ｅ，‘。＋、）＋苦ｅｅｊ‘。一；１・［：“）ｅ一Ｐ’ｊ，（３．２５）丁哟吸ＪＡ＿，，，＋儿）ｅ一ｌｊ甘“＋０，”】＋一尸，（ＩＡ．。，， ｔ一儿）ｅ一五刃“场”】艺Ｉ２ 硕士论文高精度频率估计算法研究（’铲表示卷积）由此可得，加窗后的相位为尹＝夕一好认一儿） ３２（．６）设频率误差儿＝石一儿，则 （将连续信号ｘｔ）平移马Ｔ得凡（），其中气＞０，并加对称窗牲（ｔ），铸２ｔ）是由对ｔ（称窗％（）平移功得到的。根据傅立叶变换的性质得ｘｔｏ）的相角为ｔ（ｐ＝９一汀玩 ３（．．２７）此＝夕＋２万儿马Ｔ 一３（２．８）此时，对ｘｏ）・ｔ（、（）和ｘ（ｔ）・ｔ铸２）作不同长度ＦＦＴ分析，根据上述推导同理可得ｔ（几＝夕一厅Ｔ伍一儿）＋２才儿乌Ｔ ．２３（．）９ 式中人为谐波信号平移且加不同窗后得到的未校正离散频谱峰值频率，因为两段信号作同长度的ＦＦＴ，所以人＝不，则肠＝夕一汀坑＋２兀几马Ｔ３‘（２．１）０式（３２．６）减式（３．２１０），故相位差△必＝ｐ一几＝０一汀Ｔｅ一（ｆ０一汀玩＋肠儿马Ｔ）＝一万马Ｔ（五一寿）（３２１１：）由此可得其频率修正量为２万马联一八尹儿＝２万马Ｔ３．（２．１２）３么２改变窗长的相位差参考上面的推导，对加窗连续信号ｘ ｏ）・ｔ（铸：）作Ｆ门分析可得相位为式（ｔ（．２３．乃，再加不同的对称窗、（），其窗长为几Ｔ（ｔ气＞０），铸２）由对称窗从（ｔ（）在时间上平移ｔ气Ｔ／２得到：３２．（１３）铸２ ）＝叭（ｔ（ｔ一气Ｔ／为对ｘｏ）ｔ（ＴｗＺ）作ＦＦｔ（Ｔ分析，根据前面的推导，同理得（３．２．１４）妈＝夕一码Ｔ（ 人一儿）式（３．２．乃减式（３２１：）４，又因为寿＝石一ｆｏ，故求相位差得八俨＝少一妈＝夕一”筑一田一万介２ 伍一儿）１（３２１５），汀久Ｔ伍一不）一寿（ 万气Ｔ一好）寿＝由此可得其频率修正量为：△尹一二几Ｔ伍一关）汀几Ｔ一汀Ｔ（３．２．１６）．３２３通用相位差法 （将连续信号ｘｔ）加长度为Ｔ的窗函数哟（），进行ＦＦＴ分析：再将ｘ（ｔ）向前平移ｔ马Ｔ，加长度为几Ｔ的窗函数玛（），进行ＦＦＴ分析，根据前面类似的推导可得：ｔ硕士论文高精度频率估计算法研究３．（２．１力 仇＝０一万口ＺＴ认一儿卜２汀以一寿）马Ｔ由式（．３．２）７减式口．２１乃，求相位差得△尹，甲一仇 ＝夕一万玩一贸一万马Ｔ（人一儿）＋２二以一寿）马Ｔｌ二万气Ｔ认一五）一２二石马Ｔ＋帆十２马一Ｄ二Ｔ ．ｆ可得其频率修正量为儿二（３．２．１８）▲ｐ＋２以风Ｔ一码Ｔ认一刀俩＋匆一１）二Ｔ（３．２．１９）上式中，必须保证几＋２马一１护。 上面所有推导没有具体利用哪一种窗函数，所以通用的相位差校正方法适用于所有的对称窗函数，时域平移相位差法、改变窗长的相位差法实际上分别是通用相位差当几二１和马＝０的特例。．３．２４通用相位差法实现方法 ｌ（）对信号ｘ（）进行离散采样，采样频率为关，采样点数为人里ｔ公（Ｎ，Ｍ＋Ｌ），其中第一段序列ｘ（）的起点为。，点数为Ｎ，第二段序列ｘｎｏ（哟的起点为Ｌ，点数为Ｍ，即马＝Ｌ／Ｎ，气二Ｍ／Ｎ，满足式气＋２马一１护０）对时间序列ｘ加）和ｘｚ（ ｏ（川ＦＦＴ分析，先后加不同的对称窗，对于ｘ（）作ＦＦＴ分ｎ析后对应谱线号ｊｉ＝０（，１，２，…，Ｎ一１），设频率校正量为寿二试人／Ｎ，其中试为归一化的谱线号修正量，这里－０．－５‘试‘众５，对于第二段信号ｘｏ（）作ＦＦＴ分析后对应谱线ｎ号ｊ（ｊ＝０，１，２，一，Ｍ一１），Ｔ＝Ｎ／天。３（ ）根据相位差，求出频率修正量。根据分析 △尹＝护一熟 ＝０一万玩一留一汀几Ｔ（人一几）＋２才（石一几）马Ｔｌ二万口Ｚ Ｔ（人一厂）一肠石乌Ｔ＋（久十２马一１）汀Ｔ，）ｆ△尹十２以马Ｔ一汀口ＺＴ伍一关）儿＝（３２．２０）（３．２．２１）（几＋２马一１）二Ｔ五＝１ 、＝ｊ音，：＝Ｎ，；，、＝试；／二Ｍ工Ｎ扔十—一１１汀代入式（３２２．１）得到△尹＋２万ｉＬ／Ｎ一万Ｍ（ｊ／Ｍ一ｉｌＮ）试＝２Ｌ Ｎ ３．（２．２２）份。＝△尹＋‘川下一厅Ｍ甘１对一矛＊＿．’＿．Ｌ作 ，由于相位是在（－凡厂）之间，周期为２万，所以咨可能超过卜汀，川这一区间，所以应取咨除以２二后的余数，咨＝了ｍｏｄ（咨，２的硕士论文高精度频率估计算法研究再作如下调整ｒ刃Ｊ、件‘占十２万必＜一幻占一２才伍＞＋万）（３．２．２３） 一一占 最后得试【—３了ＺＬ十—（３．２２４）、ＮＮ一１，万（４）校正频率校正的频率为厂＝抓／Ｎ一试五／Ｎ＝（ｉ一试从／Ｎ３：２仿真分析一般进行ＦＦＴ分析都是作基２的分析，所以Ｎ和Ｍ应为２的幕，通常取Ｍ为Ｎ和ＺＮ三种情况，Ｌ的选取比较灵活，一般情况下Ｌ‘Ｎ，这样可以缩短采样，提高数据的利用率，Ｎ通常为１０２４，所有参数选取的前提是必须满足式（３２．２４）。相位差校正法分别在作两次ＦＦＴ分析的时候可以加不同或相同的对称窗。这里我们选择两组不同参数来对信号进行仿真分析。（１）Ｌ＝Ｎ，Ｍ‘Ｎ（对应的马＝１，ａＺ＝１）仿真图形如图３．２．１所示，此种情况即为前一节描述的分段ＦＦＴ相位差法。通用相位差法（时域平移＋改变窗长十改变窗函数） ０．ＩＢｒ一－一一一一 ，￣，一一一－种，，份￣份－－￣林一，￣一－，－－一－－－－－－－一－－－丫－－－－－－－－，－一－－－－一０．１６‘－－－－－－一！！｜１１！Ｎ二Ｌ二Ｍ＝１２８，门．￣．１－．厂－・１｜１．』１．．……“ＣＲＢ０１４（望）｝。翎咚彩长河卞华哥纂｜众１２０．１了 ￣－一一一一一’几＼，！．』．．００８：．００６一！－－－－一＿＿＿＿１＿＿＿＿＿＿＿＿｜一１！．口．！．００４．００２工＿亡－－－－－－－－－一－－一５“．溉饭鼠蕊１５即５２０３Ｏ０１０信噪比川日） 图３．２．１不同信噪比下频率估计均方根误差曲线我们选择与图３．１．１相同的参数，儿＝２５６．２Ｚ，人＝１Ｈ２４Ｈｚ，占＝００．２，由图知，３Ｉ硕士论文高精度频率估计算法研究当信噪比为１２ｄＢ时，频率估计均方根误差约为０．４０Ｆ匕，当信噪比为１８Ｂｄ时，频率估计均方根误差为０．０２１］比，可见图３．．２１与图３．１．１吻合。所以，前述的分段ＦＦＴ相位差法即为通用相位差法的一个特例，由此也可以看出，通用相位差法的通用性和实用性，只要适当选取参数，即可实现不同的相位差频率估计方法。 ）２（Ｌ＝０，Ｍ＝Ｎ理附应的马＝。，气＝０．）５仿真图形如图３ ．．２２所示，儿＝２００２比，关＝１Ｏ２４Ｆ比，卜１Ｏ２４，咨＝０．２，此种情况即为文献［１］４采用的改变窗长方法．通用相位差法（时域平移＋改变窗长＋改变窗函数） 。． ０２５尸ｗｅｓｅ－ｅｓｓｅｅｓ－，，ｓｅｓｅｓｅｓｅ尸ｅｓ￣ｅｓ￣，￣一－－－－－，一－一一ｒ－一－－一一－－－￣一－－ｒ一－－－一－一，一一－一－卜０，Ｍ＝附２ｏＮ＝１０２４．：“‘￣ＣＲＢ（里‘绷哆＿＿＿＿＿一＿＿＿＿一＿＿＿＿彩长牙卞华哥一壕．｛资溉．‘户德概杯００５１０１５０２５２Ｏａ信噪比州日》 图３． ．２２不同信噪比下频率估计均方根误差曲线 从图中可以看出，当信噪比为ＯＢｄ时，频率估计均方根误差约为０．２０１３Ｈｚ，信噪比为闭Ｂ时，频率估计均方根误差约为０．ｌｏｌＺＨ，而当信噪比为１２ｄＢ时，频率估计均方根误差约为０．００５５比，可见，信噪比增加６ｄＢ，频率估计均方根误差约减少一半。３Ｊ小结 本章介绍了离散频谱频率估计的相位差校正法，这种方法对连续时域信号分前后两段作傅立叶变换，利用其对应离散谱线的相位差校正出谱峰处的准确频率。作为特例，论文重点介绍了分段ＦＦＴ相位差法，由分段ＦＦＴ相位差法引出了结合时域平移十改变窗长十改变窗函数的通用相位差校正方法，分析其原理及具体实现方法，通用的相位差校正方法原理简单、运算速度快、校正精度高，而且通用性好，实用性强，只要选择不同的参数即可实现不同的相位差校正方法。３２ 硕士论文高精度频率估计算法研究４频谱细化法频率估计算法 在信号处理中，研究信号的幅值、相位、能量、功率等特征随频率变化的规律，即频谱分析的应用非常广泛。常规频谱分析方法在计算机上处理时通常采用快速傅立叶变换（ＦＦＤ算法，但是ＦＦＴ固有的频率分辨率与计算量之间的矛盾了它的应用。频率分辨率表示频谱中能够分辨的两个频率分量的最小间隔，用频率间隔丫表示：犷＝天／Ｎ，要提高ＦＦＴ的频率分辨率，只能通过以下两种途径来实现：０）降低采样频率天，这会使频率分析范围缩小，其降低的幅度受到采样定律的：（２）需要增加分析采样点数Ｎ，这意味着计算机的存储量和计算量大大增加，由于实际系统软、硬件方面的，这样做并不总是可能的。可以看出以上两种方法提高频率分辨率的能力有限且灵活性差１３气 在许多实际应用中，人们所感兴趣的频谱往往只是在整个频谱中占据一个窄频带的范围，高分辨率和高效率地计算窄带信号的频谱在实际工程技术中有广泛的应用。为了解决只对一个窄频带的范围进行细致观测的问题，提出了频谱细化的概念，其基本思路是对信号频谱中的某一频段进行局部放大，即在某一频率附近局部增加谱线密度，实现选带分析。本章论文先介绍在选带范围内，将离散的傅立叶变换频域曲线变成连续曲线的ＦＦＴ谱连续细化分析方法凹，然后介绍基于复调制的２劝ｏｍ曰ＦＦＴ方法３ｌ洲．４ＩＦＦＴ谱连续细化分析的傅立叶变换法．４ＬＩＦ盯谱区间细化的算法原理对于采样频率为人，采样点数为Ｎ的时间序列ｘ（ ，ｔ），其中几＝ｋ夕，山＝１／儿，ｋ＝０，１，，２二，Ｎ一１则离散的傅立叶级数为久＝２一Ｎ洲艺城红）ｃｏ试２万知／Ｎ）二＝０，１，，２一，Ｎ／２４（．１．）１＝旗ｘ网，ｔ（，“（ｚ２“构ｎ＝０．１，２，…，Ｎ／２（４．１．２）ｎ鱿处幅度值矢量表达式为气一ｉ＂ｂ ＦＦＴ谱是上述离散傅立叶变换的一种特殊情况，即Ｎ＝２”（ｍ为正整数）时的情况，这种情况下，傅立叶变换可采用递推的快速算法。以上变换，频率分辨力为鱿二人／Ｎ，和采样点数成反比，Ｎ为一定时，频率分辨力无法再提高。时间序列ｘ （凡）中已包含有从０至五／２的频域信息，所以如果用连续的傅立叶变换对谱进行计算，把频谱曲线看成是连续的，即把公式（４．１１），（４．１．）２中的ｎ看作是一个在区间。‘ｎ‘Ｎ／２内的连续实数，公式（４１．）１，（４．１．）２变为硕士论文高精度频率估计算法研究洞艺网们艺ｋ－０２－ＮＺ－Ｎ仍具有物理意义，这时频率分辨力已不受采样点数的，ｆ是一个连续的频率。对指定的包含在冈， 儿１２］内的频率区间以，石］，用式（４．１３）和式（４．１．）４进行Ｌ点等间隔谱分析的步骤如下： ）１（确定频率分辨率丫＝认一石）ｌＬ；）确定计算频率序列“，２（ 关＋鱿沂＋２琴，…，ｆ．＋Ｌ扩＝石｝；３（ ）用式（）３和（）４进行Ｌ＋１点实部和虚部计算，求得幅值；４（ ）在Ｌ＋１点中搜索幅度最大值点对应的频率，即为细化后的信号频率。．４Ｌ２仿真分析假设信号频率几＝ ｌ２４．５６Ｚ，天＝１Ｈ０４Ｈ２Ｚ，卜１０４，ｓ２ＮＲ＝１０ｄＢ，细化前频率分辨率丫司ＨＺ，选择细化区间为「１２４Ｈ吞１２６Ｈｚ］，进行１０倍频谱细化，细化后频率分辨率为丫＝０．０１比。叨动０Ｏ１（幻ｘ（ｔ）ｏ成２才犷１五）（ｃ０＜ｆ‘人／）２ｘ（，）ｔｓｉｎ（２二犷１人）（０＜ｆ‘天／２）４．（１．３）４．（１．）４一＿＿＿＿｝＿一＿＿＿＿＿一＿＿＿＿一＿一＿一＿＿＿－ 一－一－ＦＦ Ｔ谱图一＿＿＿＿＿＿＿＿￣＿￣＿一Ｊ￣￣￣＿＿＿＿升＿上－－－－－－一－－－－一１２００３ｏｏ日Ｚ・・・一・＿＿＿＿＿＿＿＿一＿＿＿＿＿＿＿＿＿４ｏｏＳ力．．一．．．一：！一一，一．‘．一！，一．，６！沁图４．１．１细化前信号频谱３４硕士论文离精度频率估计算法研究ｒ７细化谱４一５４一一一－一ｒ一一￣一．．．．－１．１＿＿＿＿＿一＿＿＿－一一一－一广－－一户．…．｜｜｜￣．｜｜｜｜１一．．．．一．．．．一牛／３，５ｒｔ１－－一一一ｒ一一￣一一３任 ．１！１－－一：一－一饰￣￣一一１…１，１．…２一５１．．．．－．…２１５一＿＿一．叶．｜｜｜Ｊ｜｜｜｜． ． ． １＿＿＿＿＿一＿＼」Ｊ．｜Ｊ：ｌｌｅｓ＿＿＿＿＿一＿＿＿＿二一：－一１２６０．５－－－－－一－－－－一一｛－－－－－一图４．１２细化后信号频谱ＦＦ Ｔ谱连续细化分析」２４０１Ｌ０７ ０．。．叱卫 ４．４１２４．６１２４．８１２４２１２１２５１２５．２１２５４１２５．６１２５．８Ｈ之 １０倍细化１００倍细化（Ｎ忍‘翎咚形板牙卞华铃撼．００５・、、一；、、一二一一￣一份＿＿去￣－。．叫，、‘，，，…命二．００３０一０２又一＼５－０＿＿＿＿＿＿１＿＿＿＿＿＿．．．．．一；．…０一０１编５１０１５Ｏ２５２Ｏ３信噪比《 旧）图４．１３不同信噪比下频率估计均方根误差曲线图４．１．１为细化前信号频谱，图４．１．２为细化后信号频谱。细化前，频率分辨率为３５ 硕士论文高精度频率估计算法研究Ｉｚ，频率区间【Ｈ２１４比，１２６比」内只有３条谱线，通过ＦＦＴ最大谱峰搜索，可得估计频率为１５２ｚ，１Ｈ０倍频谱细化后，频率分辨率为０刀Ｉｚ，频率区间【Ｈ１４Ｈ２Ｚ，１６Ｈ２Ｚ】内有１１条谱线，通过ＦＦＴ最大谱峰搜索，可得估计频率为１０４．２５６Ｕ比，提高了分辨率，也提高了估计精度。图４． １．３为上述相同仿真环境下，信噪比从一１０ｄＢ一３０ｄＢ下，信号频率１０倍细化和１０倍细化后频率估计均方根误差曲线，从曲线可以看出，当信噪比达到一定值（此种情况为２４ｄＢ）时，频谱１０。倍细化后频率估计的均方根误差可达到。，而经１０倍细化后随着信噪比的增加，频率估计均方根误差趋于稳定，如图当信噪比大于１ｄＢ４时，频谱１０倍细化的频率估计均方根误差趋于０．０４Ｈｚ，由此得出，细化倍数的选择需要考虑初始信号所要求的分辨率，仿真中信号频率儿＝１２４．６５ｚ，就需要０Ｈ．ｌｏＺＨ的频率分辨率，这样才能在高信噪比下达到无误差。很明显，在低信噪比下，频谱细化方法也能达到很高精度，频谱细化方法大大增强了频率分辨率，提高了频率估计的精度，但这是以计算量和存储量的增加为代价的。４Ｊ复调制２０ｏｍ．ＦＦＩ，算法 对密集型频谱工程信号进行分析的最有效方法之一是复调制细化谱分析方法，又称为选带频率细化分析方法，是基于复调制移频的高分辨率傅里叶分析法，一般简称为２０。价ＦＦＴ（ＦＦＴ）ｚ方法，是信号处理领域７０年代发展起来的一项新技术。ＦＦＴ只能分析从零频开始的一个低通频带，且频带越窄分辨率越高，ｚＦＦＴ就是设法将感兴趣的那段频带谱移到零频附近，再进行常规的ＦＦＴ运算。．４．２１算法原理 ＦＦＴ法（以下简称ＺＦＦ巧能以指定的、足够高的采样频率分析频率复调制２泊ｏｍ一轴上任一窄带内信号的频谱结构。在序列变换点数相同的情况下，ｚＦＦＴ能获得更高的频率分辨率，或者，在相同的频率分辨率下，ｚＦＦＴ比基带ＦＦＴ需要更少的傅立叶变换点数。因此，ＺＦＦＴ非常适合要求大频率分析范围、高频率分辨率和少变换点数的场合．图４ ．．２１是复调制细化谱分析方法ｚＦＦＴ的原理分析。设模拟信号为ｘ（Ｏ，经抗混叠滤波、户“Ｄ转换后得到采样时间序列ｘｏ伪Ｘ”＝０，１，…，Ｎ一１），其离散傅立叶变换为洲艺祠Ｏ（Ｘｋ）凡（ｎ）畔（ｋ＝０，１，…，刃一１）４２．（１）式中，孔＝ｅ一ＺＪ川万假定要求在关一人范围内进行频率细化分析，则欲观测的频带中心频率为 ｃ＝（ｆ关十人）／２，频率中心移位乌＝关／丫，丫为频率间隔，频移几相当于对离散信 －一３６ 硕士论文高精度频率估计算法研究助Ｙ（ｋ．ｆ（Ｄ加ｙ刀夕厂‘厂 图４．．２１频带（厂一人）用Ｎ条谱线表示的ＺＦＦｒ谱图分析号ｘ（）用ｅｎ一Ｚｊ城ｌ．进行复调制，得到频移信号ｊ一ｘ（）＝凡（ｎｎ）ｅ一ｊＺ城“ｘｏ（ｎ）ｏ成２汀峨１ｃ五）一ｊｏ（ｘｎ）５飒２汀呱１人）ｏｘ（ｎ）ｃｏｓ（２二呜ＩＮ）一ｊｏ（ｘｎ）ｓ（舫呜１的ｎｉ４．（２．２）式中石为采样频率，天＝刃犷，根据ＤＦＴ的频移性质，ｘ（）的离散频谱Ｘ（ｎ）同ｘｋｏ（）ｎ的离散频谱ＸＯ（）应有下述关系ｋＸ（ｋ）＝ＸＯ（ｋ＋乌）（４．２３）３７ 硕士论文高精度频率估计算法研究此式表明，复调制使ｘ ｏ（闰的频率成分天移到ｘ（ｎ）的零频点，相当于ＸＯ（）中的ｋ第几条谱线移到ｘ（）中零点谱线位置．为了得到ｘ（ｋ）零点附近的一部分细化谱，可ｋ用选抽（重采样）的方法把采样频率降低至天／Ｄ，Ｄ是一个比例因子，又称为选抽比．为了保证选抽后不产生频混现象，在选抽前应进行低通滤波。滤波器的截止频率应为五１２Ｄ，此时滤波器的输出为Ｙ（ ｋ）二Ｘ（ｋ）Ｈ（）＝ＸｋＯ（ｋ＋乌）（ｋ＝０，１，，２…，二，Ｎ一１）（４：２４）式中Ｈ（）为理想低通滤波器的频率响应。滤波器输出的时间信号为ｋ只ｎ）＝李艺了（ｋ）‘成川 ４．（２５）以比例因子Ｄ对ｙ（）进行重采样深样间隔为Ｄ夕）ｎ，得到时域信号ｇ（ｍ）＝ｙ（Ｄ用）。考虑到式（４２．）１、式（４２３．）和式（４２４．）得９（脚，一责：套、（、十、）甲一戈、（、一、）平一〕。一）利用ＤＦＴ公式，可求出以ｍ）的频谱为！户兮 Ｇ（ｋ）９（ｍ）吟＋乌）会ｘｏｋ（十几一刃去ｘｏｋ（丝一１）ｋ＝０（，１，ｔ，２二，２【布＝—，—十１，‘二，Ｎ一１）洲艺润．．．２、．．毛‘胜、ＮＮ ２２ ４．（．乃２得到细化后频谱为ｒＯ（Ｘｋ） 由以上分析可知，经过几个处理步骤分析所得最终结果，完全能反映出原数字序列在某一频率范围内的频谱特性，幅度绝对值相差一比例常数Ｄ。与同样点数的直接ＦＦＴ相比，这一细化方法所获得的分辨率要高Ｄ倍．因为直接进行ＦＦＴ分析时，频率分辨率犷二天／Ｎ，重采样以后扩＝尤／刀那，故而Ｄ有时又被称为细化倍数。对采样得到的实信号，采用上述原理的细化选带分析，若细化前后都进行Ｎ点 谱分析，细化前的全景谱具有Ｎ／２条的谱线反映。一关／２频率范围的频谱，细化后的选带谱具有Ｎ条的谱线反映石一人频率范围内的频谱，显然其谱线条数是不一致的。为了使细化前后的谱线条数一致，采用将低通数字滤波的截止频率缩窄一倍为关／４Ｄ，隔ＺＤ点重抽样的方法。现代大多数频谱分析仪都采用这种算法。上述过程可以用ＺＦＦＴ的原理框图简单表示如下。 一一 一一Ｇ（ｋ一几）＿，＿，＿一１，（ｋ＝几，乌＋几．‘，石，十—２ Ｎ ＤＤ！・行伏一与＋刀）体＝与一万，“’，与一１），，＿Ｎ４２（．８） 一－‘ｒｌ．１‘硕士论文高精度频率估计算法研究图４．２２ＺＦＦＴ的原理框图４Ｊ．２算法步骤在实际中，我们所处理的许多信号都是带限信号，如雷达中的多普勒频率，以及 ＦＭＣＷ雷达测距中的距离频偏。其关心的信号频谱并不宽，在许多情况下，我们都可以采用这种测量方法。对于这一类测量我们首先用小数点的ＦＦ Ｔ求谱峰的初步位置，再用ｚＦＦＴ的方法作精确测量，即以粗测值对信号做频移，作ＦＩＲ滤波，对滤波后的信号进行抽样，再对抽样后的信号作ＦＦＴ，这样就可以得到较精确谱峰位置，从而达到精确测量。下面我们采用这一思想来估计信号的频率，具体算法过程可归纳为以下几个步骤： （１）粗测信号频率用Ｎ点ＦＦＴ估计信号频率，得到粗测频率儿． ２（ ）复调制移频所谓复调制移频就是将频域坐标向左移或向右移，使得被观察频段的起点为频域 坐标的零频位置。这里对离散信号ｘ（）ｎ用以以一ｊＺ万叽／天）进行复调制，把需要细化的频带中心频率移至频率轴原点，得到：式ｎ ）＝ｘ（哟ｅｘ试一２汀叽／天）＝ｘ（ｎ）ｏｃ成２厅喊／人）一ｊ（ｘｎ）ｓｉｎ（２二叽／天）俨．．２９） ３（）数字低通滤波为保证重新采样后不发生频谱混叠，必须进行抗混叠滤波，滤出所需分析频段信 号。设频率细化倍数为Ｄ，则低通滤波器的截止频率关＝儿／２刀。 ４（）重新采样信号被移频和低通滤波后，分析信号频带变窄，因而可以以较低的采样频率 芳＝儿／Ｄ进行重采样，芳比原采样频率降低了Ｄ倍，即对原采样点每隔Ｄ点再抽样一次。 ５（）复ＦＦＴ处理对重采样后的Ｎ点复序列进行复Ｆ ＦＴ处理，得到Ｎ条谱线，其频率分辨率丫‘二厂／Ｎ＝天／ＤＮ＝丫／Ｄ，分辨力提高了Ｄ倍．（ ）６频率估计３９ 硕士论文高精度频率估计算法研究搜索细化谱的幅度最大值对应的频率，加上频移频率儿即为信号初始频率。 ４ＪＪ仿真分析信号频率儿＝１ ４．２５６Ｅ吃，大月。２４Ｈｚ，卜１０２４，细化前频率分辨率ｙ＝１ＨＺ，分别进行１０倍和１００倍频率细化，细化后频率分辨率分别为０．ＩＨｚ和０．ｌＨｚ。如图４ｏ．．２３为信噪比从０￣３ＯｄＢ时频率估计均方根误差曲线，曲线与ＦＦＴ谱连续细化得到的曲线类似，同样可以看出，细化倍数的选择需要考虑初始信号需要的频率分辨率。互泊侧千门算法谱细化分析 ０一 ０５广ｅｓｓｅｓｅｅｅ一一￣￣一一，￣￣￣一一一一。．叫５．００４；一毛一匡一‘“一了－一，，＿＿，．曰甲助．侧．．．．．￣尸．．……０＝１０口后，ｃｏ尸－．４Ｊ．４ＺＦＩ叮运算量和局限性讨论 当采用时域抽取ＦｐＴ算法时，Ｎ点ＤＦＴ的复数乘法次数为（Ｎ１２）ｏｆｇ：Ｎ，复数加法次数为ＮｌｇＺＮ．为简单起见，比较两种算法的复数乘法次数。设频率分辨率ｏ琴＝天／ Ｎ，细化倍数Ｄ＝丫’／鱿，要获得丫’的分辨率，基带ＦＦＴ的运算量为 ５阿＝（刀Ｎ１２）ＩｇＺＯ（刀Ｎ）（４・２・１０）采用ｚ ＦＦＴ算法，在复调制时只计算重采样的点，需Ｎ次复数乘法。同样，调制系数的计算也需Ｎ次复数乘法。假设数字滤波器的阶数为Ｋ，滤波器系数离线生成，则滤波需要刀万・Ｋ次复数乘法，则总的运算量为（Ｎ丢』。绷哆骥板牙卞华哥壕。．０３５．００３．０２５０．健００．０１５０．０１＼：、、－－－一￣－－一，￣－－．－－－－－－一－－一ｌ一＿￣＿一１＿＿一－－一＿＿Ｊ一￣一￣一＿＿＿一‘－一＿－－一＿￣・・一・一－－－一．．．一．弓０洲〕５口一￣－－一一￣￣一ｒ一一一一￣曰－－００５１０１５０２５２匀信噪比（ 四）图４ ．２３不同信噪比下频率估计均方根误差曲线 吕行＝（Ｎ１２）ｆｏｇＺＮ＋ＺＮ＋刀万・Ｋ４（・２．１１）随着细化倍数的增加，基带ＦＦＴ和ｚ ＦＦＴ的运算量都会大幅度增加，ｚＦＦＴ只有０４ 硕士论文高精度频率估计算法研究当细化频带较窄哄时无需数字滤波）或长序列的情况下，与基带ＦＦＴ相比才具有运算量上的优势。ＺＦＦＴ算法存在自身的局限性，其存在的问题如下： ｌ（ ）需要存放中间数据的内存空间巨大了最大细化倍数。当实数据细化１０。倍时，则至少需要１）０ｘ１Ｘ（０２４ｘ２点的内存空间存放中间数据，占用内存巨大，由此了最大细化倍数。 ２（）低通滤波器特性了精度和最大细化倍数。实际的低通滤波器都有过渡带，当细化倍数越大时，过渡带的宽度对滤波精度影响越大，会使选带分析两端的分析精度大为降低，且产生频率混淆现象。当细化倍数达到一定值时，则整个选带分析频带都会产生很大的分析误差，这种方法实际上己不能实现，特别是采用软件实现时更是如此。３（ ）计算量较大。在上述流程中低通滤波和重抽样是一起完成的，即先确定选抽点，只对选抽点进行低通抗混滤波。但是必须对所有分析点进行移频处理，当选抽倍数很大时，这一步计算量是相当大的。４（ ）频率成分调整较复杂。将ＦＦＴ和谱分析得到的频率成分调整到所选频带的频率成分是较复杂的过程，特别是为了避免低通抗混滤波器的边缘误差造成的频率混叠，进行１０２４点谱分析时只显示中心频带的４００条谱线，这个过程就更复杂了。４３小结 本章介绍了两种频谱细化的方法，即ＦＦＴ谱连续细化分析的傅立叶变换法和复调制２冶ｏｍ．ＦＦＴ算法。ＦＦＴ谱连续细化分析的傅立叶变换法，用ＦＦＴ作全景谱，针对要细化的局部再用ＤＦＴ进行运算，以得到局部细化精度极高的频谱。这种方法的优点是适应性好、精度较高，缺点是计算速度下降太多。ＺＦＦＴ算法的关键在于利用傅立叶变换的移频特性将感兴趣的高频段频率移至频谱原点，降低采样率重新采样，从而获取较高的频率分辨率，它对于获得某些特殊频段，而不是整个带宽的信号细微谱结构十分有用，该算法在实际工程技术中有较广泛的应用。频谱细化提高了频率分辨率，选择合适的细化倍数，可大大提高频率估计精度， 但精度的提高是以计算量和存储量的增加为代价的。硕士论文高精度频率估计算法研究５自相关辅助法频率估计算法相关函数是描述随机信号的重要统计量，在信号处理中，相关函数的应用很广， 通过对采集到的信号做相关处理，可以较方便地实现信号的检测、识别和提取。在频率估计中，利用信号的自相关函数来检测频率，方便快捷，计算量小，下面介绍几种采用自相关函数思想的频率估计算法。．５１基于频偏校正的频率估计算法基于频偏校正的正弦波频率估计算法侧，利用ＦＦ Ｔ对信号频率作粗估计，然后对原信号下变频至基带，对基带信号作相位差分，采用一点自相关值估计频偏，然后对粗估计进行频率校正，使估计性能得到提高，在整个频带上该算法与几介算法互补，且算法实现简单，运算量小。．５ＬＩ算法原理假设正弦波表达式为 ５（ ｔ）＝ａｃｏＳ（２万儿ｔ十风），（０‘ｔ‘Ｔ）（５．１１）其中口，儿，００分别为振幅、频率和初相。为了分析方便，我们引沁（）ｔ的解析信歇（）ｔ，ｘ（ ｔ）＝ａ・ｅｊ（２咖‘）（５・１・２）以采样频率五进行等间隔采样，总采样点数为Ｎ，采样时间Ｔ＝Ｎ／ 天，得到离散序列：ｘ（ ｎ）＝ａｅｘＰ［ｊ（２炙凡刀改＋６０）］ｎ＝０，１，２，…，Ｎ一１（５．１．３）其中ｄｔ＝１／大是采样间隔． 通过对ｘ（司进行Ｎ点Ｆ盯计算，并在“０一天”的频域范围内搜索最大谱峰的位置ｏｋ，得到频率的粗估计：几＝ｋｏ儿／Ｎ，在此基础上用粗估计的频率创建一个Ｎ点的新序列： ｙ（陀）＝ｃｘｐ［（ｊ一汀儿抽右刀，＝０，１，２，…，万一１（５．１．４）将式（５．１３）和式（５．１４）相乘，即下变频后，得到：２（ｎ）＝工（”）・ｙ（ｎ）＝ａｅｘＰ［ｊ（２汀几月价＋比）Ｉｎ＝０，１，２，…，Ｎ一１５（．１５）其中几二几一儿，是频率偏差。若求得几，即可对粗估计的频率进行校正。令９＝艺２ ’（ｋ）２（ｋ＋。），‘［Ｎ／ＪＺ（表示取下整数）（５．１．６）将式（５．１，）５代入式（５．１．）６中，经过整理有：９＝（Ｎ一间巨）２ｅｘ（Ｐ２’ｊ炙几功改）９是一个复数，即为ｚ （）ｎ的自相关函数在ｍ点的自相关值，２二几ｍｄｔ为所求的相位，其相位中含有几的信息，且该相位是几的一次函数，因为几阅关／Ｎ卜ｍ‘ＩＮ／２］，ｔｄ＝ｌｊ天，则２”几，ｄｔ司‘卜所以利用反正切求其相位气不存在相位模糊问题，因此几＝气／（２‘耐），故校正后的频率为：４２ 硕士论文高精度频率估计算法研究ｆ＝儿十人＝气天／ Ｎ十儿５（・１・乃．５Ｌ２计算量分析 用基于频偏校正算法估计频率，求ｘ（）需要作一次Ｆ门，ｋ，在所有复数指数畔全部算好的前提下，需（Ｎ／２）ｌｇＺＮ次复数乘法和Ｎｆｏｏｇ：Ｎ次复数加法。另外下变频过程需要Ｎ次复数乘法，加上前后序列的相关累加所需的Ｎ一ｍ次复数乘法和Ｎ一－１次复ｍ数加法。因此，本算法共需要的计算量为： 复数乘法（Ｎ／２）ｏｆｇＺ万＋２万一加复数加法Ｎｌ ｏｇＺＮ＋Ｎ一ｍ一１与形ｆｅ算法计算量比较，增加的计算量只有ＺＮ一次复数乘法和Ｎ叨・１次复数加法。．５Ｌ３仿真分析为了证明算法的正确性和研究其性能，采用单频复正弦波信号迭加复高斯白噪声 干扰，对频偏校正算法进行计算机ＭｏｎｔｅＣａｌ。仿真，并与几ｆｒｅ算法进行比较。 设接收信号为：ｘ（）＝ａｔ．ｅｘＰ（户汀方十６０卜ｎ（）ｔ。（ ）是零均值，方差为口２的复高斯白噪声过程，信噪比定义为：ｓＮＲ＝矿／ｔ口２，仿真中，采样频率五＝ｌ０２４ＨＺ，ｓＮＲ＝６ｄＢ，点数分别为Ｎ＝２５６、５１２、１０２４，功＝Ｎ／２，取儿＝（Ｎ／４＋句鱿，占范围为。一０．５，对每一个频率儿进行５０次Ｍｏｎｔｅｃａｒｌｏ模拟，分别计算两种算法的频率估计均方根误差。图５１ ．１为同一信噪比下对应不用数据长度的刃介算法和基于频偏校正的频率估计算法比较，曲线表明，当被估计的频率接近两个相邻离散频率的中心时，即占在０．５附近时，形ｆｅ算法的误差较小，当被估计的频率在儿十丫／４以内，即占小于。２５时，误差较大。而频偏校正算法在整个频段范围内的误差比较平缓，性能稳定。从曲线可以看出，当占在０．５附近时，频偏校正算法性能不如形ｆｅ算法。如Ｎ＝２５６，占＝０．１时，频偏校正算法的频率估计均方根误差约为几比算法的１５／，但当占＝０．４时，频偏校正算法的频率估计均方根误差大于斑ｆｅ算法，约为兀几算法的１．２倍。图５１２为低信噪比下形ｆ ｅ算法和频偏校正算法的频率估计均方根误差比较，仿真环境为Ｎ＝１０４，羌＝１２０４２ｚ，儿二２０Ｈ０．ＩＺ，ｓＮＲ＝．Ｈ１０￣。ｄＢ，此时占＝。．１，从仿真图形可以看出，低信噪比下频偏校正算法比形ｆｅ算法性能有很大改善，当ＳＮＲ斗６ｄＢ时，兀化算法和频偏校正算法的频率估计均方根误差分别为０．１０１２地和。力３４５Ｈ乞，频偏校正算法的频率估计均方根误差约为斑介算法的１３／，当ＳＮＲ声．ＺｄＢ时，几ｆｅ算法和频偏校正算法的频率估计均方根误差分别为０．１２４Ｈ０Ｚ和０．０１８５ＨＺ，此时频偏校正算法的频率估计均方根误差约为形ｆｅ算法的１５，可见，频偏校正算法在低信噪比下的良好估计／性能。硕士论文高粉度频率估计算法研究一０月基于频偏校正的正弦波频率估计算法０二与一｝｝｝１－一气１」－・－－一频偏校正算法．——一频偏校正算法｝Ｒ湘算法Ｒ湘算法气－（艺一０３‘翎一｛：一八一［－＼残＿＿｝｝｝：｝彩板／２一／一一下一一一厂一十－－一一写一一＿一｝｝一 河卞：／、「一一华哥壕０一１Ｚ 厂一：一／「＿＼，八：ｒ｝：｛：｝！一一Ｎ二２５６：，００５尸尸一￣．，尸，．一，尸气’一￣，护．、了．－冲之二洲交２三泣－）戈三戈火三一又二，二，－．．一Ｎ＝５１２，０一二二二：二：二二二：笠二二二二反二压’一１１｛－一；—＿＿＿‘．＿＿＿．一下性丁汗为ｒ一￣一一￣－－￣叶“厂了一．一００．０５０．１０．１５．０２．０２５０．３。．５３０一４０．礴５０．５８ 图５．１．ＩＲｉｅｆ算法和基于频偏校正的频率估计算法比较０．ＩＢ广－－－一一Ｔ・。・一．．．．一（艺一．．．．一…＿．－一Ｒｉｅｆ算法：１１—频偏校正算法．０．１４，”碱二儿Ｊ１．勺－．１乍Ｉ．勺－０．１２ｔ．卜、了卜，长‘丫言．｜十｜期１一＿－一－蚁彩板一，．．．一，．…、、斗．－二０．｜｝￣＿＿＿＿Ｊ！。－：－＿１！甲，“…：｛｜。｜．００８星＿＿＿＿Ｔ户一卜一￣一Ｊ｜刃｜｜卞Ｊ担。份哥壕ｔ．一，：｜１－｜！一一！一．｜｜｜０１抖｜｜卜，｜．｜。｜．１０，０２口｛ 一侧￣、￣｜￣一￣一、一一－一一ｒ一￣一一Ｔ一一一一一，一行一￣－１．ｌ二 。ｌＪ ！ｌ二 供－１０・达！咬 １习召一名一４ｓ－２－・１ＯＳＮＲ 图５．１２．低信噪比下形ｆｅ算法和频偏校正算法性能比较４硕士论文离精度频牟估计算法研究可以看到频偏校正算法和几ｆ ｅ算法各有利弊，然而它们各自的缺陷却可以互相弥补。我们可以充分利用这两种算法，通过判断，在不同的频段采用不同的估计算法，使估计的整体性能提高。改进频偏校正算法的基本思想为：先采用几ｆｅ算法估计频率，若估计的结果不在ｆｏ十丫１４范围内，则结果保留．否则，用该频率校正算法进行计算。改进频偏校正算法附加计算量只是在形介算法的基础上增加ＺＮ一次复数乘法和 Ｎ一１次复数加法，不需要重新计算ＦＦＴ。真实频率落在量化频率间隔内的概率是均匀分布的，所以从统计的角度看，该综合算法的计算量为： 复数乘法：（Ｎ１２）１９０：Ｎ＋（ＺＮ一ｍ）／２复数加法：Ｎｆ ｏｇ：Ｎ＋（Ｎ一ｍ一１）１２综合计算量介于形企算法和频偏校正算法计算量之间，但估计的精度和稳定性有 很大提高。 图５．１３即为改进频偏校正算法与两种算法对比，当信号频率落在频率间隔中心附近时，采用形ｆｅ算法估计频率，否则，采用基于频偏校正的频率估计算法，仿真参数：Ｎ＝１Ｏ２４，兀月０２４ＨＺ，ｓＮＲ＝１２ｄＢ，图５．１４为放大后图，改进频偏校正算法在咨小于０．５２时使用频偏校正而在占大于０．５２时使用形ｆｅ算法，可明显看出改进频偏校正算法较频偏校正算法的性能改进。基于频偏校正的正弦波频率估计算法 ０１ 〕５尸一一一卜ｒ一一ｒ￣－￣一丫－．－一份丫一一，￣一－一一，一一甲－一－一甲份－一，尸一－一－－－，・・－一Ｒ淞算法，００４５卜－一几，ｌ六ｔ，＿＿＿」＿＿＿＿＿土＿（全１－：日苦．００３５翎一。。缪０．０３于彩板０．０２５。。。一．．．一．．．．一．．．一．…—频偏校正算法０．以”・・”“・改进频偏校正算法古・・一・１坷门｜卞０．０２．吉，，－注１，，－ｒ，，。．＿＿」筥＿＿＿＿ｔ－１－－－，－于ｔｔｔ于，－－－仆－１Ｊ｜七Ｊ￣＿一＿＿月＿＿＿＿＿，Ｉ华，，．；哥０．Ｄ１５，，ｔ，１‘壕０一Ｄｌ．０００５＿＿一＿＿＿一＿一＿．ｆ＿＿＿＿＿儿＿＿＿＿＿口＿＿＿＿＿－１－；；主；：龟｜１几０００．０５０一１０１５０．２０．２５０．３５０．４０，礴５０．５６ ，．「一．一。图５．１３．改进频偏校正算法与形ｆｅ算法和频偏校正算法比较４５硕士论文高精度频率估计算法研究么９ｘｌ砂基于频偏校正的正弦波频率估计算法３．８３７ ‘ （全 ）‘３６奋翎３５ ：哆 彩长３４刃龙３．３妈哥３．２最３１．．ｊ．．＼１３川００．０５０．１０．１５０一２．０２５Ｏ３。．５３０，４０‘礴５０．５６ 图５．１．４改进频偏校正算法与频偏校正算法比较‘一一一一一，一￣￣－一一￣一一￣一升－－一一户一Ｔ－一一一￣￣一１甘￣一一￣￣一份一ｒ￣一一种一份－一，１一．．一－－－一频偏校正算法：—改进频偏校正算法Ｊ．ｌ．．……ＣＲＢｗｅ・｝１（Ｎ丢＿＿丫－－－一－－一：－－－－－－－－一－一止－－一‘１、卜‘．翎哆－－－－－－－一Ｊ．人一．Ｌ￣！Ｊ．－彩１｜｜１长＋口软！卞．０印８二、一．．．一．…．一１华‘１．．．－－－－…哥－。．自万纂，１｜．０以抖０．００２＿＿＿＿＿＿＿＿一一！１－－－－－一：－－一）；；勺贬‘００５１Ｏ２Ｏ３ＳＮＲ＿１５Ｏ２５图５．１４不同信噪比下改进频偏校正算法和频偏校正算法与ｃＲＢ比较（Ｎ二１０２４，儿心００．５地）４６硕士论文高精度颐率估计算法研究 图５．１４为不同信噪比下改进频偏校正算法和频偏校正算法的频率估计均方根误差与ＣＲＢ比较曲线，取占二０．５，从仿真图形可以看出，当频率估计均方根误差为．０ｌＨｏＺ时，改进频偏校正算法和频偏校正算法的信噪比分别为ＺｄＢ和４．ｓｄＢ，此时改进频偏校正算法比频偏校正算法信噪比改善２．ｓｄＢ，对于同一信噪比，如ＳＮＲ＝１ｏｄＢ时，两者的频率估计均方根误差分别为０．００３８ＨＺ和０．００４６卜巨，改进频偏校正算法的频率估计均方根误差比频偏校正算法降低。０００８地，频率估计均方根误差更接近ＣＲＢ。．ｓＬ４降低运算量算法改进为估计频率偏差，我们引入了式ｎ ）在”取ｍ时的自相关值，取ｍ二Ｎ１２，那么，估计频偏即为求凡（Ｎ／）的值，我们由（２５．１．）３式可知，基于频偏校正的估计算法中采用直接求尺（Ｎ／）的值，这样需要先经过下变频过程首先得到：２（），需要Ｎ次复数乘法，ｎ下面论文提出另外一种求尺（Ｎ／２）值的方法，而不需要经过下变频可直接得到凡（Ｎ／２）值，由此，可以减少计算量。简单起见，把ｘ（ ）写为ｎ城川＝‘军ｐ［ （２万儿刀改）ｊｌ５（．ＬＳ）经过Ｎ点ＦＦＴ变换后得到粗测频率几＝气天／Ｎ，若经下变频，可以得到（ｚ心＝ｅ却口（２二认一几）”动）］（ｘ心与城功的自相关函数尺（ｍ）＝Ｎ一优Ｎ一勿（５．１．９）艺ｘ’（）ｎｘ（”＋，）．ｅｘＰ【ｊ（２二儿（ｎ＋ｍ）ｔｄ］５．（１１０）＝ｅ却口２汀儿加改１同理可得尺（ ）Ｎ一ｍ艺了（ｍ）ｎ（ｚ。十ｍ）ｌ ，黑，一儿）月故］．七却口２，饥一儿）（ｎ＋二）ｔｄ］（５．１．１１）Ｐ卜ｊｘＺ，（儿Ｎ一优艺ｅ＝ｅＫｐ【ｊＺ万认一儿）ｍ礴１考虑Ｎ左点自相关值、争＝Ｐｘｅ二以（枷〕（５．１．１２）硕士论文高梢度频率估计算法研究＿，Ｎ、盆（—１＝一２－ “ｐＵＺ，认一ｆｏ，． ＿＿，万、．，“ｐ【一ｊＺ才ｆｏ’ｅＰｕ疏几与）ｘｔｊａ’既ｐ【一ｊＺ万几 ＝尺学．（５．１．１３）／大则因为几＝凡石／Ｎ，山＝１ｅ却卜ｊＺ万１０吸丁）以】＝ｅｘＰＬｅｊ乙汀凡廿叹丁Ｊ丁」＝ｅＸＰ【一ｊ万凡】乙 几‘Ｊ．夸Ｎ＿＿＿ ＿＿＿。大Ｎ、１，吸）且・１勺所以当ｋｏ为偶数时，哪卜扭棍〕＝１；当ｋｏ为奇数时，ｅＰ卜扭棍卜一１ｘ由此，得到Ｒｘ（Ｎ／）与尺（２Ｎ／）的关系，即２凡（Ｎ／）２＝Ｒｘ（Ｎ１２）（凡为偶数）（５．１．１５）（５．１．１６）Ｒ（ｚＮ／）二一Ｒ２ｘ（Ｎ／２）（ｋｏ为奇数）因此只需要求ｘ （）在Ｎ／ｎ２点的自相关值，然后对凡做判断即可得到凡（Ｎ／），２然后用反正切得到频偏，这样就省去了下变频的Ｎ次复数乘法，减少了计算量。５・ＺＰｕｓｅｌ－Ｐａ扮算法 下面论文介绍一种简单有效的正弦波频率估计算法灿货．Ｐ曲算法［ｌ４”侧，简称Ｐ算法，它是基于信号的自相关函数来估计频率，只需要较少次数的复乘运算，运算量小，特别适合于高速的硬件实现，在雷达和声纳等系统中得到了普遍的应用。同时介绍几种基于ＰＰ算法的综合算法。．５．２ＩＰｕ肠卜Ｐａｉｒ算法５．．Ｌｌ算法原理２假设ｙ （）是加性白噪声环境下的复正弦信号，表达式为ｎ（ｎ）＝配卿＋ｅｙ （）ｎ＝０，ｎ…，Ｎ一１（５．２１）ａ月川产是信号的幅值，必〔卜二， 的是信号归一化频率，厦（ｅ）ｎ｝是零均值的高斯白噪声，方差为口２。由于信号与噪声不相关，所以火习的自相关函数可表示为ｒ（，）＝筑夕（ｎ）’ｙ伪一ｍ）］州ａｌ，ｅ画＋。２凡，０（ ５．２・２）ＩＥ］表示统计数学期望，凡．。表示白噪声的自相关函数，当二＝０时相关，凡，取１，而在其他任意时刻不相关，则氏，。为０，＊表示复数共扼・由于ｒ（ｅｓ功）二ｒ’伽），因此只考虑序列｛ｒ（）０，…，（ｒＮ一１）｝，得到，（ｍ）的无偏估计ｒｔｍ）＝二厂，二乙ｙＬｎ）ｙ气ｎ一邢）几一开二”．石 ＾，、１岩（５２．３）从式（５．．２），很明显可以得到，当二笋０时，２ｍ口＝乙卜（州刀＋２汀１５．（２．４）硕士论文高精度频率估计算法研究１是整数，满足。‘１＜ｍ，这里，哥１表示取反正切（恤一，），范围为〔寸，川的相位角。因此，对于不同ｍ值，就存在两种情况。（１）功＝１时，１＝０，奋＝口护ｌ（］，无相位模糊，由ｔ）ｎ一ａ，求得的频率即为信号频率。２（）ｍ笋１时，一红ｒ（ｍｌｌ＋２耐，‘工，土，口ＪＪ，、万日，、一＿一口二．刃臼卫，＊．，‘、，二，二，，二丫卜才目切叮口ＪＩＪ‘刀”月了吸．目乙边入任入．只，刀皿 的真实频率，存在相位模糊。目前，国外研究较多的是，当延迟ｍ取１和ＺＮＺ ３时的ＰＰ算法，取１，无相位模糊，在较高信噪比下方差接近ＣＲＢ，取ＺＮ１３，虽然存在相位模糊，但是在低信噪比下性能优越，是最佳的估计，因此结合这两种情况，扬长避短，便成了诸多学者的研究内容之一，由此也提出了不少改进的算法。 综上，可以将ＰＰ算法简单概括如下１４１”】：对于复高斯白噪声下的正弦波信号，ｚ （）ｎ＝ａｅｊＺ咖＋。（）ｎ，可由信号的自相关函数来估计频率六＿ｆｋＺ翩） 上、ｎａｔ一｛气纽（‘旦坚应）气））（５．２．５）其中（１、长井．，、， 元的方差弓为、＝Ｌ骊二石）么”ｎ，２沪＋ｍ，２、ｎ，（５．２，６）弓 ＝右日入￣八１１＝１— ＿ｒ（。＿、，１（１、！１—２（而ｎ‘ｍ，万一ｍ）＋—１、Ｉｔ）．名．，）＼Ｌ 一’一ｊ」戈２”２戈（Ｎ一ｍ）‘召脚双一２（Ｎ一ｍ）￡Ｎ双‘少诚的是数据窗，￡Ｎ况叫川２／ 护，因为ｔｎａ一，的范围为〔、，幻，所以当几＞１／２脚时，频率估计就存在相位模糊。．Ｓ．２ＬＺ两种常用ＰＰ算法（１）ｍ＝１ 加抛物面窗：城ｎ）二６［（Ｎ一１）＋（Ｎ一２）ｎ一ｎ２１１万（万２一１），ｎ＝０，…，（万一２）脚＝１时，由（５２．刀式得 弓＝—３ＳＮＲ一 ！十－－甲－二犷￣￣下－一－，二ＳＮ天一（６Ｎ３）２万‘Ｎ（Ｎ‘一１）４０汀‘（Ｎ‘一１）‘（５２８） 在大信嗓比下方差为３ＳＮ天一，２／砂Ｎ（ＮＺ一１），达到频率估计方差ＣＲＢ，当人Ｎ双＜ＮＺ／ｌ０时，频率估计方差明显偏离ＣＲＢ．ｍ＝ｌ时ＰＰ算法无相位模糊。（ ２）劝＝ＺＮ１３ 加矩形窗：诫ｎ）＝ｌｌ（Ｎ一间，ｎ＝０，…，（Ｎ一１一脚）对于给定Ｎ，从式（ ．５２．乃可以看出，在大信噪比下，当ｍ＝ＺＮ／３时，方差达到最小值为２７ＳＮＲ一，八阮２矿，高于ＣＲＢＯ．ｌｓｄＢ，但是，在信噪比较小时，如ｓＮＲ＜十１０ｄＢ４９ 硕士论文高精度频率估计算法研究时，频率估计均方误差偏离ＣＲＢ＋ＯｊｌＢｄ，误差较大，功二ＺＮ／３时ＰＰ算法存在相位模糊。．５．２ＩＪＯｐ“ｍｕ价Ｐｐ算法加矩形窗，延迟取萨ＺＮ１ ３时，采用ＰＰ算法估计信号频率最佳，特别是在低信嗓比下仍具有很好性能，但是会出现相位模糊，影响频率估计，下面分析一种有效算法来解除相位模糊１３习．由式（５．２．６）元二ｆ戈２。） 上、。一：厂戈组（包虽２、凡））（５．．２）９１钱坟延退为ｍ盯，狈华佰才误左为ｅ＿．＿＿＿、＿‘．＿＿＿．、．、＿，＿‘．－，芳愿切ｎ‘｝丁份子呀｝俐联沮沮围刀Ｌ＊、＿，‘ｌｍ‘及、、。＿一￣￣、，，戈ＫｅＬ 百，）ｊ一万，万），则可以得到ｎａｔ一｛又Ｒ Ｊｅ些（（互凡）丛２、少＋２、＝２汀ｍｆｏ＝２万脚（ｏｆ＋气）（５．２．１０）当ｍ＝１时‘幼”１＿＿＿．‘城５１—），、１＝气Ｒｅ（ １５）少２二儿＝２，沃＋场）５（．２．１１）（５２．１０）式减去（５．２．１１一〔）式，得设、＝，一〔黯），。黯）一〔一〔黯）黯），式２５（・一２。简／一‘““、：一’‘’・’・”， 蠢（、一，十２‘）一．ｅ（一凡，（５．２．１３）因为ｅｌ，气《１，所以（‘一ｅｌ）。０，即（几一ｍＩ由于０５１＜ｍ，且１整数，取１＝一ＪＵ目１沼“１—＿＿＿Ｊ（几一ｍＰＩＰ＋２对）、０、１气 ２军少代入式（．５２．１）３，即可得到（‘一月）的估计值（、一。）＝井ｆ几一用夕亩十２汀１（５：２．１４）乙兀ｍ、 式（５．２．１１）与式（５．２．１４）相加得—１ｔａｎ‘１一＿，厂Ｉｍ〔），５、１＋—１了１几一用尹１＋２汀１＝（（５２汀‘戈Ｒｅ（１５））２万ｍ戈儿＋ｅｌ）＋（‘．一ｅｌ）＝几十气１５）由此，得到了，取最佳值，误差为气的估计，同时也消除了相位模糊。硕士论文商精度频牟估计算法研究５２・Ｌ４仿真分析采用复正弦信号加高斯白噪声进行计算机模拟，对于复正弦波信号，在相位、幅 度和频率三个参数均未知的情况下，方差下限为１１４气ｖ州口）之１ ２口２ａＺＴＺＮ（万２一１），即ｖ州了）之，＆ＮＲ＝ａＺＩ叮２，ｒ＝１１人．２万２Ｔ２万（万２一１）￡Ｎ况３ 图５．．２１．１为萨１时，不同信噪比下对于不同Ｎ值的频率估计均方根误差比较曲线，频率估计均方根误差和频率估计均方误差用ｄＢ表示的数值一致，因此，纵坐标作者采用频率估计均方根误差的ｄＢ表示形式，以下类同。从仿真图形可以看出，对于旷１，当信噪比较大时，频率估计均方根误差接近ＣＲ下限，而低信噪比时性能较差。由文献１３５１知，萨１时，ＰＰ算法的信噪比门限为ＮＺ八。，若冲８，信噪比门限约为ｓｄＢ，此时理论信噪比门限为８．０６１８ｄＢ，若Ｎ＝１６，信噪比门限约为１４ｄＢ，此时理论信噪比门限为１．４８０２４ｄＢ，模拟所得的信噪比门限与理论门限近似。ＰＰｍ二１、子．５，一泛ＣＲＢ（ＳＰ）言动翎哆彩 ６０－长 三井擎一 卜、，＿一．ｔ’，、．．一、之沼又砂亥卞初华哥暴１００伽城纂．２０一００，０２００３４０信噪比ｄＢ图５．．２１．１萨１时，不同信噪比下的频率估计均方根误差，信号归一化频率为０．４５，长度从上到下分别为刊＝８， １６，２３，４６，１２８，２５６，５１２，虚线表示ＣＲＢ． 图５２．１２为ｍ＝ＺＮｊ３，解除相位模糊后的最佳ＰＰ算法，即御石ｍ帅．ｐＰ算法在不同信噪比下对于不同Ｎ值的频率估计均方根误差曲线。功＝ＺＮ１３的Ｏｐｔｌｕｍ．Ｐｐ算法的信噪比门限为ＩＯｄＢ，当信噪比大于１０ｄＢ时，频率估计均方根误差接近为ＣＲＢ扣．５ｌＢｄ。从仿真图形可以看出，当信噪比大于１０ｄＢ时，频率估计均方根误差硕士论文高精度频率估计算法研究曲线与ＣＲＢ接近，若Ｎ＝５１２，当ｓＮＲ井１３ｄＢ时，伪ｔｉｍ切口口ｐｐ算法的频率估计均方根误差值为一１１９４０４５Ｂ，此时ＣＲＢ＝．ｄ１２４６００２ｄＢ，相差０．１５６５ｄＢ，当ＳＮＲ＝３２ｄＢ时，卿ｔｉｍ帅一Ｐ算法的频率估计均方根误差值为・１０．２９６１６ｄＢ，此时ＣＲＢ二一２１４１６０２ｄＢ，相差０．４９８印Ｂ，由于仿真次数有限，模拟值与理论结果近似。０帷ＺＮＩ３叩ｌｉｍｕｍ一Ｐ‘印泛三枣溉叙一＿＿＿＿＿＿＿一＿＿＿＿＿＿ＣＲＢ图５．２．１．３ｍ＝ＺＮ１３０Ｐｔｉｍｕｍ．ＰＰ算法，不同信噪比下的频率估计均方根误差，信号归一化频率为０． ４５，长度从上到下分别为Ｎ绍，１６，３２，４，６１２８，２５６，５１２，虚线表示ＣＲＢ。 ＰＰ算法是一种简单有效的基于时域分析的频率估计方法，最早由Ｆ．Ｃ．Ｂｅ址坦ｍ和Ｈ．Ｌ．Ｇ功ｇｉｎｓｋｙ在１９７２年提出，因其操作简单、运算量少、估计精度高、适合硬件实现等优点在实际的雷达和声纳等系统中应用广泛。为适合工程应用的需要，频率估计领域的研究学者们提出了很多基于ＰＰ算法的综合算法，主要的研究方向是进一步提高频率估计精度和降低信噪比门限。下面介绍几种基于ＰＰ算法的综合算法１］４１。５・２．ＺＤｏｗｎｓａｍＰｌｄＰＰＭｅｔｅｂｏｄ乐２．．２１算法步骤（ＳＰ）言翎咚彩板卞华锌纂羌旧召Ｏ・套哪．２０一１０Ｄ１＊笃（）１通过ＰＰ算法（ｍ＝１），估计信号频率，得到无。２（）用儿解调原信号，积累信号幅度，得到新信号，并将采样率减少１瓜。（３佣ＰＰ算法（ｍ＝１），对降采样率后的信号进行频率估计。４（）重复（２）和（３），直到信号的长度减为２。５２ 期８印一￣－一－一一尸￣一－－－一￣尸－－－一分￣一ｒ－一加一￣一￣ｒ－－－一￣￣一宁－一一一一一－１００２加Ｏ４信噪比ｄ Ｂ硕士论文高精度颇率估计算法研究．５２．２２算法实现 ｌ（）假设复解析信号为ｘ（心＝ａｅＰ［ｘｊ（２万几破）卜ｅ（心，，＝。，…，Ｎ一１，人为采样率，少＝１１天，采用抛物面窗诚ｎ）二６１（Ｎ一１）＋（Ｎ‘２）ｎ一ｎＺ］／Ｎ（万，一１），ｎ二０，…，（Ｎ一２），取ｍ习，对信号进行频率估计，得到粗估计的频率ｆｏ。２（）用粗估计的频率儿创建一个Ｎ长的新序列，ｙ（）二以ｐ【ｎｊ（ｅＺ二儿耐刀，ｎ＝０１，，．二，，２Ｎ一１，下变频得到式ｎ）＝ｘ（功・只ｎ）＝ａｅｘｐＤ（２二试一儿）耐１１，，ａ＝几一儿ｆ是频率偏差，因此只要估计几，即可对粗估计的频率进行校正。这与前面分析的基于频偏校正算法的思想一致。由于待估计的频偏较小，而噪声相对较大，因此采用累加信号幅值来提高信噪比的方法，每两点信号幅度相加得到一个新的信号点，于是，得到长度为Ｎ／２的序列ｚｎ，ｚｎ（）＝２（ｉ２＊０＋ｚ（２＊卜１），１＝１，…，Ｎ／２，同时将采样率降低为儿／２。 ３（）对信号幼，采用与步骤（ｌ）相同方法，得到估计频偏石。４（ ）重复步骤（２）和（）３，每估计一次，信号长度和采样率均减小１２／，分辨率不变，直到信号长度Ｎ变为２，循环次数ｋ＝ｌｇＺＮ，得到估计频率石，石，ｏ二。，人＿１，则最终估计频率为ｆ＝儿十人＋．二十五＿，。．５２ＪＪ仿真分析０．、．，一ＯＳＰＰ．２０、之逐泛一Ｌ、’八之．……“ＣＲＢ图５．．２１１（ｇＰ）』。翎哆彩长刃龙华哥壕一，监动王泊一签头产月．石１弓－ｉ’’ｉ｜队钧Ｌ．’，一了９尧．‘之一今、舞东少、飞成仁、唤．刃．，、魏，一兑卜．２０一１０Ｏ１ＯＤ２田月Ｏ信嗓比ｄＢ算法，不同信噪比下的频率估计均方根误差，信号归一化频率为０．４５，长度从５３硕士论文商精度硕率估计算法研究上到下分别为冲８， １，６３２，“，１始，２５６，５１２，虚线表示ＣＲＢＯ图５ ．．２２．１为不同信噪比下，ＤＳ．ＰＰ算法的频率估计均方根误差曲线。由文献【４１１知，Ｄｓ一Ｐｐ算法的信噪比门限为ｓＮ况＞ｌ２／Ｊ万，频率估计均方误差为ｃＲＢ＋ｌ２５Ｂｄ．从仿真图形可以看出，当Ｎ＝８时，信噪比门限约为叼Ｂ，此时理论信噪比门限为６．７２份把Ｂ，Ｎ＝１６时的信噪比门限约为相Ｂ，而理论信噪比门限为４７７１２ｄＢ，与理论信噪比门限近似。若Ｎ＝５１２，当ＳＮＲ＝４０ｄＢ时，ＤＳ户ＰＰ算法的频率估计均方根误差值为一１２８．０２３ｌｄＢ，此时ＣＲＢ＝一１２９４６０２ｄＢ，相差１．４３７ｌＢｄ，当ＳＮＲ户１０ｄＢ时，ＤＳ．ＰＰ算法的频率估计均方根误差值为一８．１３２４ｄＢ，此时ＣＲＢ＝一９．４６０２ｄＢ，相差１．３２７８ｄＢ，频率估计均方误差与理论值ＣＲＢ＋ｌ．５２ｄＢ近似。５・２・３ＤｏｗｎｓａｍｐｌｅｄＤＦｒＢａｓｄｅｏｐｔｉｍ皿．ＰＰＭｃｔｈｏｄ．５２３．１算法步骤ＤＳ一 ＰｏＴ－ＤＦＴ算法与ＤＳ于Ｐ算法类似，只是第一步通过ＤＦＴ估计信号频率，得到九，需要复数乘法次数为ＮｌｇｏＺ（Ｎ）。（１）用ｆｏ解调原信号，得到新信号，对新信号用ＰＰ算法（ｍ＝ＺＮ／３）校正，得到估计频偏石。（ ２）用云解调步骤（２）得到的信号，得到新的信号，将此信号前朋和后Ｎ２／幅值分别相加，得到２个采样点，并将采样率关降为天／（Ｎ／２）。３（ ）对２个采样点信号用ＰＰ算法（ｍ＝１成行频率估计。．５１３．２仿真分析由于解调后信号Ｎ１ ２点幅值累加，使信噪比增加Ｎ／２，所以，式（５一２．）７方差公式中取，人脚双冲人ＮＲｘＮ／２，才冲万＊Ｎ理，Ｎ＝２，衍二１，得到石日＿ｒ（。＿、 戈‘人一入’‘’）Ｊ气！１＝１—２１（１、２（２Ｌ‘Ｎ）气ＮｘＳ｝！—ＲＮ＋，，二一￣，－－－：二Ｉ２、Ｎ‘ｘ撇‘｝ｔ）．乙１０）信噪比门限为．孙从》２４／Ｎ，频率估计均方误差为ＣＲＢ＋ｌ，５２ｄＢ。图５． ．２３１为不同信噪比下ＤＳ一ＯＰＴ－ＤＦＴ算法的频率估计均方根误差曲线。Ｎ到抖时的信噪比门限约为一４ｄＢ，此时，理论信噪比门限为一４．２５９７ｄＢ，Ｎ＝５１２时的信噪比门限约为一１ｄ０Ｂ，而理论信噪比门限为一１３．２９０６ｄＢ，仿真结果与理论信噪比门限存在一定误差。若Ｎ＝５１２，当ＳＮＲ叫记Ｂ时，ＤＳ心ＰＴ－ＤＦＴ算法的频率估计均方根误差模拟值和ＣＲＢ分别为．９４一２２９７ｄＢ和‘１１．４６０２ｄＢ，频率估计均方误差高于ＣＲＢＩ．３２０４ｄＢ，当ＳＮＲ井１０ｄＢ时，ＤＳ．ＯＰＴ－ＤＦＴ算法的频率估计均方根误差值为一８９．８１７５ｄＢ，此时ＣＲＢ＝一９４６０２ｄＢ，相差１．７２２７ｄＢ，与理论值１．５２ｄＢ近似，由于仿真次数有限，仿真所得的频率估计均方根误差与理论结果近似。硕士论文商精度频率估计算法研究０二、．．．……，．．２０一．…．扮．打尸斗ＯＳＯＰＴＤＦＴＣＲＢ介‘之之…之寸－．‘欲魏图５．．２．３ＩＤＳ刊〕Ｐｒ－ＤＦＴ算法，不同信噪比下的频率估计均方根误差，信号归一化频率为０．４５，５．２．４ＰＰＭｅｔｈｏｄＵｓ加ｇＡｌｌＬａｇ．．５．２．４１算法步骤ＤＦＴ －ＡＬＬ一ＬＡＧＳ算法使用所有延迟ｍ对应的自相关值，采用ＤＦＴ估计信号的自相关函数。值相加取平均作为ｍ月Ｎ／２点的自相关值。ｆ二儿十石・．５２：４算法原理ＩＦＦＴ计算相关函数在数字信号处理中，信号的互相关和自相关函数的计算可利用ＦＦＴ实现。由于 离散傅立叶变换隐含着周期性，所以用ＦＦＴ计算离散相关函数也是对周期序列而言（口Ｐ）卜。翎邓骤板卿卞坦哥暴）通过ＤＦＴ计算信号的自相关函数，需要复数乘法次数为ＺＮｌｌ（ｇｏＺ（的．（２随过Ｎ点ＤＦＴ的最大幅值搜索粗测信号频率，得到儿。）用儿解调步骤（３（ ｌ）得到的自相关函数，并对新信号加三角窗，将加窗信号所有４（ ）用ｍ月Ｎ尼点的自相关值校正（用ｔｎ一ａ，），得到校正频率石，则原信号频率为切名Ｏ斗珊．即一１０谧－｝溉－魏．…．奋之．一５，曳、．‘；之、、．‘欲‘魏、｛０，‘飞知，‘韶．石飞‘苛昆１０印ＯａＯ４信噪比ｄ Ｂ长度从上到下分别为Ｎ＝５ ，１６，３２，创，１２５，２５氏５１２，虚线表示ＣＲＢ。５， 硕士论文高精度频率估计算法研究的。直接做Ｎ点ＦＦＴ相当于对两个Ｎ点序列ｘ（）、ｙ（ｎ）作周期延拓，作相关后再取主ｎ值（类似圆周卷积）。而实际一般要求的是两个有限长序列的线性相关，为避免混淆，需采用与圆周卷积求线性卷积相类似的方法，先将序列延长补。叫。利用ＦＰＴ求两个有限长序列线性相关的步骤： ｌ（）设ｘｎ）长为凡，ｙ（（）ｎ长为从，要求线性相关。 ２〔）＝ｎ）ｙｋ（（ｎ＋ｋ）洞甲台 ．Ｘ （５．２．１乃２（）为了使两个有限长序列的线性相关可用其圆周相关代替而不产生混淆，选择周期Ｎ之拭十从一１，且Ｎ＝２，（ｖ为整数），将ｘ・（）ｎ，ｙ（ｎ）补零至列长Ｎ，即： ｎ＝０，１，…，凡一１ｎ＝凡，凡＋ｌ，…，Ｎ一１・‘‘）ｎ・，＝二｛｛言矛‘””，，月，０ ，１，…，从一１ｎ＝从，从＋１，…，Ｎ一１（５．２．１８） ３（）用ＦＦＴ计算ｘ（）ｎ和ｙ（）ｎ的Ｎ点离散傅立叶变换，得到Ｘ（）ｋ和Ｙ（ｋ）。４（ ）将ｘ（）ｋ虚部改变符号，求得其共扼Ｘ’（）ｋ．）５（ 组成乘积，ｚ（）ｋ＝Ｘ’（）ｋ（Ｙｋ），对成ｋ）作ＩＦＦＴ，即得相关序列城ｎ）。如果ｘ（ｎ）＝夕（ｎ），则求得的２（ｎ）是自相关序列。２．算法实现）１（ 假设复解析信号为ｘ（ｎ）＝ａｅｘｐ［ｊ（２二几ｎｄｔ１）＋ｅ（）ｎ，ｎ＝０，…，Ｎ一１，对信号进行ＺＮ点ＦＦＴ估计，并通过ＦＦＴ反变换得到信号的自相关函数。２（ ）用Ｎ点ＦＦＴ最大幅值搜索的方法，粗测信号频率为几。ｘ（）ｎ自相关函数的无偏估计表示为：人气。，、ｍ）＝二；１气乡１．，、，、，．，，、、ｌｙ一ｍ 一甲了乙ｘ沪）石骊ｘ叨十功）月ａｉ一ｅ一“脚＝１二，‘，’“，介一ｉ，，‘Ｌ）・＿‘．‘・五为，构造序列夕（ｎ）＝ｅｖｘ［ｊ（一二几ｎｔｄ）１，”＝０，１，２，…，万一１下变频得到２（ｎ）＝ｘ（。）（ｙ月）＝ａｅｘＰ［ｊ（２汀（儿一儿）刀山）］５（．２２０）（ｚ）ｎ自相关函数的无偏估计表示为尺（ｍ）＝Ｎ一ｍ一艺。２’（ｎ）２（ｎ＋ｍ）月ａｌ，ｅｊＺ，（ｏｊ一ｏｊ）翩＝凡伽）・ｅ一ｊＺ井几耐（５．２．２１）因此城ｎ）的自相关函数就可由ｘ（ｎ）的自相关函数乘以ｙ（）ｎ得到。）３（ 由步骤（）１得到的ｘ（心的自相关函数凡（间与ｙ（）ｎ相乘，并加三角窗气，对ｍ从１到Ｎ一１所有点的自相关值相加取平均，作为Ｎ了２点的自相关值。４（ ）由得到的Ｎ／２点自相关值估计校正的频率。硕士论文高精度颇率估计算法研究天＝［又‘万ｍ 二匕）ｏｊ斌戈歹、ｅ（ｊＺ一二・ｊ；））５（２２２）．吕气一Ｐ其中凡＝。ＺＪ州＋戈＋ｊ珠为二（）ｎ的自相关函数对应于二点的自相关值。戈，玖表示实际过程中的噪声，由于气对于残对称，因此上式是无偏估计， 在大信噪比下，方差为：・红“一‘）’一＝〔仁匕）六丁’・：！仃｛．．响一Ｐ营、；了、］、２厅气）Ｌ戈加．吨一Ｐ二码一Ｐ、。；；１）｝（５．２．２３）为估计Ｅｌ凡凡１，我们引用文献［３］６中提出的关系式：筑兀兀」＝而ｎ（Ｎ一ｍ，Ｎ一ｎ）一ｍ洲（０，Ｎ一ｍ一”）人四左（ Ｎ一ｍ）（Ｎ一ｎ）（５．２２４）代入残＝Ｎ／２，尸＝Ｎ／２一１，得到、、１．．２ ２ 一３ｅｓｌ 矛 算法中三角窗为・｝（“一、）’｝一〔六）’〔刃￣１万￣１艺艺气气而ｎ（Ｎ一ｍ，Ｎ一月）一ｒｎａｘ（０，Ｎ一ｍ一ｎ）．一１．＝１改Ｎ双（Ｎ一。ＸＮ一ｎ） ５．（ 代ＺＩＮ一ｌｍ一ＺＩＮ！）ｍ＝１，…，Ｎ／２一１代２／Ｎ一！Ｎ一脚一２／ＮＩ）ｍ＝Ｎ／２．…，Ｎ一１（５．２２６）当Ｎ＞１６时，式（５．２２５）右边部分趋于１５０６５ｘ万／（ＮＺ一１），相当于ＣＲＢ步ｏｏｌｓｓｄＢ。另外，对于确定的数据窗气，也可以选择其他ｍ点的自相关值来估计频率，例 如，选择延迟为Ｎ１５和ＺＮ／５，可以得到均方误差为ＣＲＢ功１９Ｂｄ的估计精度，类似结果可以在文献［３６１中得到，选择越多的延迟点值，可以得到越高的估计精度，同时，也具有越小的信噪比门限。５：２Ｊ仿真分析 图５．．２４．１为不同信噪比下ＤＦ不ＡＬＬ一ＬＡＧＳ算法的频率估计均方根误差曲线，ＤＦＴ－ＡＬＬ．ＬＡＧＳ算法的理论信噪比门限为ＳＮＲ＞２４加，频率估计均方误差为ＣＲＢ＋０一Ｏ１８８ｄＢ。从仿真图形可得，ＤＦＴ－ＡＬＬ一ＬＡＧＳ算法频率估计均方根误差接近理论下限，在低信噪比下也能达到很高精度，且曲线平滑、性能稳定。ＤＦ卜ＡＬＬ一ＬＡＧＳ算法比ＤＳ－Ｐ算法和ＤＳ一ＯＰＴ－ＤＦＴ算法性能都优越。图示Ｎ＝８时的信噪比门限约为４ｄ Ｂ，此时，理论信噪比门限为４．７７１２ｄＢ，Ｎ巧１２时的信噪比门限约为一１３ｄＢ，而理论信噪比门限为一１３．２０９６ｄＢ，仿真结果与理论信噪比门限吻合。若Ｎ＝５１２，当ＳＮＲ＝１２ｄＢ时，ＤＦＴ－ＡＬＬ户ＬＡＧＳ算法的频率估计均方根误差值为一５９．科３８ｄＢ，此时ＣＲＢ＝一５９，拓ＯＺｄＢ，相差０．１０６４ｄＢ，仿真图形所得的频率估计均方根误差与理论结果近似。５７ 硕士论文高精度频率估计算法研究０－２０（。Ｐ）‘ｂ期缪彩扳刃本担哥撼时限同门一队」庆ＤＦＴＡＵ－ＬＡＧＳＣＲＢ．．．．．．－．二十…苏羌泊侧．２０撇一，监图５．．２．４ＩＤＦ卜ＡＬＬ．ＬＡＧｓ算法，不同信噪比下的频率估计均方根误差，信号归一化频率为０．４５，５Ｊ３算法比较 Ｐ算法原理简单直观、运算量小、速度快，适于实时处理场合，在高信噪比情况下精度高，对各种ＰＰ算法的性能作比较，将各种算法需要的复乘次数、反正切数、信噪比门限、均方误差统计列表如下ｎ４：１算法抛物面窗ＰＰ御ｔ如ｕｍ一ＰＤＳ一ＰＰＤＳ一ＯＰＴ－ＤＦＴＤＦＴ－Ａ工Ｌ一ＬＡＧＳ图５．．２５．１为不同信噪比下各算法的性能比较，仿真中选择Ｎ＝５１２，信号归一化频率为０．５，图示表明， ４ＤＦＴ－Ａ工Ｌ－ＬＡＧＳ算法的频率估计均方根误差更接近ＣＲＢ，，ＤＦＴ－ＡＬＬ・ＬＡＧＳ算法和ＤＳ一ＰＴｏ－ＤＦＴ，如图示，Ｏｐｔｉｍｕｍ一ＰＰ算法的信噪比门限约为ｓＢ，ＤＳ一Ｐ算法的信噪比门限ｄ劝＿＿＿＿￣＿一工＿＿＿＿＿＿＿取卜汉＼－－－－０１０印Ｏ３Ｏ４一１０信噪比ｄＢ长度从上到下分别为卜８ ，６１口２，４，６１５，２２５６，５１２，虚线表示ＣＲＢ． 表５．．２５频率估计算法性能比较均方误差反正切数ＳＮＲ门限复乘次数２困・１）４Ｎ／３－２ｌ２ＳＮＲ＞ＮＺ／１０ＳＮＲ＞＋１０ｄＢＣＲ．ＢＣＲＢ＋０．５ｌｄＢＣＲＢ＋１２５ｄＢＣＲＢ＋１．２５ｄＢ２困一１）ＮＲ＞１２／而１０９２（Ｎ）ｓ２ｌＮｆｏｇＺ（Ｎ）＋４Ｎ１３一２ＺＮＩｇＺ（Ｏ）＋Ｎ一１ＮＳＮＲ》２４／ＮＳＮＲ＞２４加ＣＲＢ＋００１８８ｄＢ算法比其他两种算法具有更小的信噪比５忿 硕士论文高精度频率估计算法研究０一ＯＰｔｉｍｌ月１１一ｐ份、‘２０－．…０５一ｐ丫…－０５心Ｐｔ一ＤＦＴ（里一月…ＯＦＴ－创卜ＬＡＧＳ 动＿Ｌ＿ｐ卜｛＼钾＿一￣一￣上扮一－．．……ＣＲ日‘０ ＯＦＴ．目ｔ－０琪ｉｍ咧于Ｐｔ，期－￣骥七Ｏ｛一ｔ１一彩．板龟二，．一救，端ｔ卞华姆侧・时｛哥暴研ｌｅｓ｜ＯＬ翻佗Ｏ一１０Ｏ１ＯＯ２Ｏ３叨信噪比ｄＢ图５．．２．５１不同信噪比下各算法的频率估计均方根误差比较１ ｝！命恤必妙皇豹－ＯＰｔｉｍｕｍ一ＰＰ．．．．……０５一户户—ＤＳ－Ｏ例一ＤＦＴ（ｓｐ）』。．……ＯＦＴ－ａｌｌ．ＬＡＧＳ一一一一一一，一一几一一一几厂呼一一｛ ０５沁币妞一叮—ＧＲＢ绷嗒彩板｛＿酬ｉｍ月ｍ灵尸＿＿＿＿：＿；＿！＿＿＿＿＿＿公卞华产－－一八哥画斤雄砂一’－晕‘ＧＳ左一芳群丫一 ’一｝朋侧！毋‘Ｖ今咨，尸｛．枯＿＿．＿＿＿＿＿离八｛订Ｖ入介之下、：犷，功浦一廿，灿蛊；：七拱，｝从一万；，｛｛｛丫 １取，｛ＣＲＢ｛，。｛｝军呀归一化频率图５．．２．５２不同信号频率下各算法的频率估计均方根误差比较５９硕士论文高精度频率估计算法研究ＡＧＳ算法约为一叼Ｂ，ＤＳＰＴ－ＤＦｒ算法的信噪比门限约为一１叼Ｂ，而ＤＦＴ－的信噪比门限仅为一１３ｄＢ，性能最佳。可以看出，结合ＤＦＴ的ＰＰ算法的信噪比门限更小，在低信噪比下性能更优越。 图５．．２．５２结果为卜５１２，ＳＮＲ＝２０ｄＢ，１．洲用次Ｍ。口ｔｅＣａｒｌｏ仿真后得到，横轴为信号归一化频率，在切．５范围内变动，ＤＳ户ＰＦ算法与ＤＳ刃ＰＴ－ＤＦＴ算法的频率估计均方根误差相当，约为一１８．０ＺｄＢ，相对其他两种算法，误差较大，伪ｔｉＵ．ｍＰ算法的频率估计均方根误差其次，ＤＦＴ－Ａ工Ｌ．ＬＡＧＳ算法性能最好，频率估计均方根误差接近ＣＲＢ，图示一些点数的频率估计均方根误差超过了理论下限，原因是仿真次数有限所致．５３小结本章主要介绍了基于自相关函数思想的频率估计算法，分析了采用一点自相关辅 助校正频偏的算法，同时重点介绍了国外学者研究较多的ＰＰ算法和基于此算法的几种综合ＰＰ算法，ＰＰ算法的最大特点就是运算量小，Ｎ点ＤＦＴ的复数乘法次数为（Ｎ１２）ｏｆｇ：Ｎ，而未加窗犷ＩＰＰ算法的复乘次数为Ｎ一１，ｍ＝ＺＮ／３ＰＰ算法的复乘次数仅为Ｎ／３．１，比ＦＦＴ频率估计算法大为减少，特别适合于ＦＰＧＡ等高速的硬件实现，同时，ＰＰ算法在低信噪比下也具有相当好的性能，因此，ＰＰ算法作为一种高效的频率估计算法在工程作业中得到了广泛的应用。硕士论文高精度频率估计算法研究６结论 谱分析是一种对信号和系统进行分析处理的有效方法，对高斯白噪声中正弦波频率估计的问题一直是人们研究的重要课题，并且具有重要的实际应用价值，在通信、声纳、地震监测、生物医学等领域有着广泛的应用，如移动通信中频率偏移的估计，通信中数字接收的载波检测和恢复及广播信号全数字接收等，都需要对信号的频率进行精确估计。如何提高测频精度一直是人们探讨的问题，主要的频率估计方法可分非参数化方 法和参数化方法两类，前者以傅里叶变换为基础，计算量较小，但分辨率往往较低；后者包括Ｎ田Ｓｌｃ、ＥｓＰ川Ｔ等方法，具有较高的频率分辨率，但涉及到矩阵的分解和求逆，计算量较大，难以实时实现。因此，基于ＦＦＴ的频率估计算法就受到诸多研究学者的青睐，并由此提出许多实用性强、运算量小、精度高的频率估计算法，本文就是在频谱校正理论的基础上，探讨目前研究领域的一些高精度的频率估计算法。本文的主要工作是基于频谱校正理论思想，分析频谱分析中的高精度频率估计算 法，并对算法作适当改进。总结为以下几点：（ １）分析基于ＦＦＴ幅度比值的频率插值方法，即拓ｆｅ频率估计方法的算法原理和特点，针对几ｆｅ算法当信号频率位于量化频率点附近时精度降低的缺点，分析了两种改进的算法，即修正形ｆｅ算法和综合几丘算法。同时基于三角形插值方法的思想，提出了一种新的抛物线插值方法。基于自相关检测提高信噪比原理，提出结合自相关预处理和插值方法的改进算法，有效提高低信噪比下的估计精度。且自相关预处理的思想具有较好的通用性。 ２（）分析相位差频率估计方法。以分段ＦＦＴ相位差法（序列分前Ｎ／２点和后Ｎ１２点两段）作为特例分析相位差法估计频率的算法原理，并在此基础上引出通用的相位差校正算法。侈） 分析频谱细化法频率估计方法。包括ＦＦＴ谱连续细化分析的傅立叶变换法和复调制Ｚｏｏｍ．ＦＴ算法，研究算法原理及特点，同时分析算法的特点和局限性。）分析基于自相关函数思想的频率估计方法，研究基于频偏校正的正弦波频率４（ 估计算法，并对频偏校正算法提出改进，减少了计算量，同时介绍了一种运算量小的Ｐｕｌｅｓ一心算法及基于Ｐｕｌｅｓ・Ｐ碗算法的几种综合算法，结合ＦＦＴ和自相关的频率估计算法达到时域与频域估计的有效结合，算法简单，计算量小，且性能卓越。 本论文只是在“高精度频率估计算法”这方面作了一些初步研究工作，论文较为系统的分析了一些频率估计算法，也提出了一些改进算法与思想，但是，由于时间有限及作者本身的知识缺陷，在方法和分析考虑时尚有不完备之处。对于一些算法原理的推导理解有一定的不足，同时对于更进一步的分析归纳算法特点，结合不同算法提出改进思想，则更具难度。提出的抛物线插值方法虽然在信号频率位于量化频率点附６ｌ 硕士论文高精度频率估计算法研究近时误差较小，但是，在信号频率偏离量化频率点时误差较大，需要不断完善和改进。同时，自相关预处理的思想在实际应用算法中时也存在一问题。因此，下一步的研究内容之一即为解决论文中存在的问题，同时在分析解决问题的过程中不断学习，不断提高。其次，下一步将对密集谱和连续谱的误差理论分析及校正方法进行研究。在不增 加采样长度的情况下，根据傅立叶变换时域尺度性质可知是无法在频率域将密集频率成分区分开的，此时只有利用时域或频域参数识别理论来进行密集频谱的识别和校正。这是目前频谱校正理论最难解决的问题。对连续谱在离散频谱分析中的误差和谱峰的校正也是有待解决的研究问题。连续 谱是在工程信号中一种较为常见的信号，对这种信号进行离散傅里叶变换，由于时域截断而产生的加窗效应，其信号的频谱为实际的连续卷谱与窗所产生的连续谱的卷积，从而使得到的频谱与实际频谱存在较大的误差。目前，国内外对连续谱的误差理论分析及校正方法的研究方面，工作开展的较少。 由于受学术水平和研究条件的，论文工作还有许多不完善的地方，需要在今后的研究工作中加以完善。硕士论文高精度频率估计算法研究致谢 近两年的硕士学习生活即将结束，我也将告别二十余年的求学之路。回首这段难忘的时光，我所取得的每一分成绩，都离不开我的亲人及诸多良师益友的鼓励和帮助，在此，谨向他们表示最衷心最诚挚的谢意。首先，由衷地感谢我的导师谢仁宏教授。在我的硕士学习期间，从论文选题到每 一步研究工作的进展，谢老师都给予我悉心的教诲和指导。他那渊博的知识，敏锐的思维，深刻的洞察力，迅速把握问题核心及穿透问题的能力，潜移默化地成为我求知上进的动力。谢老师严谨的治学作风，对科学不懈的追求，对工作的忘我热忱，以及对学生的倾心相授与耐心教诲，都使我获益匪浅。在此，谨向导师谢仁宏教授表示最衷心的谢意！感谢您的智慧，感谢您的朴实无华！其次，感谢通信教研室的孙老师、丙义斌老师、老师、束锋老师、韩玉 兵老师，还有陆继悬和齐连宝两位老师，他们严谨求实的治学作风，锐意创新、孜孜不倦的科研精神和平易近人的师长风范，深深地鞭策和教育着我，从他们身上，我学会了怎样去做人，怎样去做事，怎样去做学问，在此，谨向诸位老师表示衷心的感谢和崇高的敬意！ ７教研室的所有同窗好友．特别是小毕和小明在学习和生活上给予再者，感谢９０我莫大的关怀和帮助，感谢所有同伴给予我的关心和帮助，支持和鼓励，欢笑和感动，真心地感谢你们， 深深地感谢我的父母和亲人，感谢他们多年来对我无尽的关爱和始终如一的支持。最后，向在百忙之中为我评审论文及参加我答辩的专家们表示亲切的问候和真挚的谢意！硕士论文高精度频率估计算法研究参考文献１闻军会，赵国庆．数字测频算法研究雷达与对抗．Ｎｏ．４，加０２２朱雪田，彭玉华，周正，于岱峰，低信噪比下的提高正弦波频率估计精度算法．电路与系统学报．ｖ ｏｌ６，Ｎｏ．．４，２００１．２１３丁康，张晓飞．频谱校正理论的发展．振动工程学报．、ｂ】．３，１ｏ．Ｎ１，２００．３４Ｊ０ｈｏＣ．Ｂ．Ｏｎ压９１因５声川刘叻八刀目ｙｉｓｏｓｆＰ幼冈ＩｃＳｌｎ目５．ＩＡｃｇｏｕｓｔ．Ｓｏｃ．Ａｍｖ‘ＯＩ．Ｖ ５８，Ｎｏ３，１９７５ＳＴｂｏｍａｓＧ提叮ｄｋｅ．Ｉｎｔｅ耳幻ｌａｔｌｏｎ月ｇｏｒｉｈｔｍｓｆｒＤｉｏ叉ｒｅｔｅＦｏ叹ｒｉｒＴｅｒａｎｓｏｎｎｓｏｆｆＷ七ｉ ｈｔｇ曰ｓｉｎａｇｌｓ１ＥＥＥＴｒａ拙朗ｔｌｓｏｎｌｎｏｎｓ七”ｍｅｎｔａｔｌｏｎａｎｄＭｅａｓｕｒｅｍｅｉＶｎｏＬＩＭ一犯，Ｎｏ， ２，１９８３６丁康，谢明．离散频谱三点卷积幅值修正法的误差分析．振动工程学报Ｖｏｌ９，．Ｎｏ．，Ｉ１９９ ４７谢明，丁康离散频谱分析的一种新校正方法．重庆大学学报（自然科学版）．ｖｏｌｌ，ｓＮｏＺ，１９９ ５３８黄迪山．ＦＰＴ相位误差分析及实用修正方法．振动工程学报．ｏｌｖ７，．ｏＺ，１Ｎ９９４．６９刘进明，应怀樵ＦＦＴ谱连续细化分析的富里叶变换法．振动工程学报．ｏＬＳｖ，Ｎｏ．，２１９ ９５．６１刘渝．正弦波频率快速估计方法．数据采集与处理．０ｏｌｌｖ３，Ｎｏ．１，１９９８．３１谢明，张晓飞，丁康频谱分析中相位和频率校正的一种新方法．振动工程学报．ＯＩ．Ｖ １２，Ｎｏ４，１９９９．１２１丁康，２钟舜聪通用的离散频谱相位差校正方法．电子学报、ｂ砚３１，ｏ．Ｎ１，２００３．１３张英龙浏渝．基于频偏校正的正弦波频率估计及仿真分析．第二十一届南京地区１研究生通信年会论文集 ４５田的ａｎｓ．Ａｂ１ｅｙｓｅｋｅｒａ．Ｅｆｉｃｆｉ以Ｆ比ｑｕｅｎｃｙＥ刘如ａｉｏｔｎＵｓ１ＤｇｔｈｅＰｕｌｅｓ一ＰａｒＭｅｉｈｏｔｄａｔ确ｒ ｉｏｕｓＬａｇｓＩＥＥＩｒ’ｎｓａＣａｔｉｓｏｎｏｎＣｏｎｌｌｎ山ｕ。时ｌｓ．ｎｏｏｌｖ５４，．Ｎｏ．９，ＳｅＰｔｅｍｂｅｒ２００６巧齐国清，贾欣乐．基于ＤＦＴ相位的正弦波频率和初相的高精度估计方法．电子学报． Ｏ１２９，ＮＯ．Ｖ９，２００１．９６丁康，１罗江凯，谢明离散频谱时移相位差校正法．应用数学和力学．ｏｌｖ２３，Ｎｏ７，．２００２７ １朱小勇，７丁康．离散频谱校正方法的综合比较．信号处理．ｌ．ｏｖ７，１Ｎｏ１，２００１．２８丁康，１朱小勇，谢明，钟舜聪，罗江凯离散频谱综合相位差校正法振动工程学报．ｏｌＶ 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