2.4含绝对值不等式的解法(含答案)

一、 基本解法与思想

解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。

（一）公式法：即利用xa与xa的解集求解。 主要知识： 距离.。

2、xa与xa型的不等式的解法。

当a0时，不等式x的解集是xxa,或xa

不等式xa的解集是xaxa;

当a0时，不等式xa的解集是xxR

不等式xa的解集是;

3．axbc与axbc型的不等式的解法。

把 axb 看作一个整体时，可化为xa与xa型的不等式来求解。 当c0时，不等式axbc的解集是xaxbc,或axbc

不等式axbc的解集是xcaxbc;

当c0时，不等式axbc的解集是xxR

不等式abxc的解集是;

[例1] 解不等式x23

分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“x2” 看着一个整体。答案为x1x5。

[例2] 不等式|x2－3x|＞4的解集是________．

分析 可转化为(1)x2－3x＞4或(2)x2－3x＜－4两个一元二次不等式．

由(1)可解得x＜－1或x＞4，(2)．

1、绝对值的几何意义：x是指数轴上点x到原点的距离；x1x2是指数轴上x1，x2两点间的

答 填{x|x＜－1或x＞4}．

［例3］解不等式2＜｜2x－5｜≤7．

解法1：原不等式等价于2x5|2或2x52∴72x5|7|2x5|2|2x5|7

73x或x即221x6

1

∴原不等式的解集为｛x｜－1≤x＜

32或

72＜x≤6｝

解法2：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集． (Ⅰ)2＜2x－5≤7 (Ⅱ)2＜5－2x≤7 不等式(Ⅰ)的解集为｛x｜

72＜x≤6｝，不等式(Ⅱ)的解集是｛x｜－1≤x＜

3232｝

∴原不等式的解集是｛x｜－1≤x＜[例4] 解关于x的不等式x2或

72＜x≤6｝．

3x810

2解：原不等式等价于10x23x810，

x3x810x1或x2即2

6x3x3x810 ∴ 原不等式的解集为(6,2)(1,3) 练习：

（1）4x32x1； （2）4|2x3|7 ； （3）352x9； （4）1|x1|3 （5）x2103x （6） x142。

117解答：（1） xx或x2 （2）x2x或x5

322（3）2,14,7 （4）(4,2)(0,2)（5）x|2x5 （6）x5x1或3x7

a(a0),（二）定义法:即利用a0(a0),去掉绝对值再解。

a(a0).[例] 解不等式

xx2xx2.

分析:由绝对值的意义知，aaa≥0，aaa≤0。 解:原不等式等价于

xx2＜0x(x+2)＜0-2＜x＜0。

练习: （1）|x＋2|＞x＋2的解集是 ； ｛x｜x＜－2｝

（2）不等式

x2xx2x的解集是 。xx2或x0

2

（三）平方法:解f(x)g(x)型不等式。

[例]、解不等式x12x3.

解:原不等式(x1)(2x3)(2x3)(x1)0

(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0(3x-4)(x-2)<0 43x2。

2222

练习：解关于x的不等式

(1)2x15x； (2)2x1x2 ； （3）|x2||x1|

答案：（1） ；（2）(

11,3)；（3） xx。

23（四）分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。 [例1] 解不等式x1x25.

分析:由x10，x20，得x1和x2。2和1把实数集合分成三个区间，即

x2，2x1，x1，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。

解:当x＜-2时，得x2(x1)(x2)52x1,(x1)(x2)5， 解得：3x2

当-2≤x≤1时，得， 解得：2x1

当x1时，得x1,(x1)(x2)5. 解得：1x2

综上，原不等式的解集为x3x2。

[例2] 解关于x的不等式2x1xx31.

x3解：当x3时，得，无解

(2x1)x(x3)11313xx 当3x，得，解得： 2242(2x1)xx31111xx 当x时，得，解得： 2222x1xx311 综上所述，原不等式的解集为(

34，

12)

3

15练习：1.解不等式：x12x2 （答案： xxa或x ）

222.解不等式：x1x25 （答案：(,3][2,)）

13. 解不等式：|2x1||x2|4 （答案：xx或x1

2

（五）几何法：即转化为几何知识求解。

[例] 对任何实数x，若不等式x1x2k恒成立，则实数k的取值范围为 (

(A)k<3

(B)k<-3

(C)k≤3

(D)

k≤-3

)

分析:设yx1x2，则原式对任意实数x恒成立的充要条件是kymin，于是题转化为求y的最小值。

x-10 2解:x1、x2的几何意义分别为数轴上点x到-1和2的距离x1-x2的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离之差，如图可得其最小值为-3，故选（B）。 练习:

1对任意实数x，|x1||x2|a恒成立，则a的取值范围是 ； 2对任意实数x，|x1||x3|a恒成立，则a的取值范围是 ；

3若关于x的不等式|x4||x3|a的解集不是空集，则a的取值范围是 ；

⑴ a3 ； ⑵ a4 ； ⑶ a7 ；

4