山东省青岛二中2015届高三上学期期末考试数学(文)试卷

试卷（文科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．集合

，则A∩B=( )

A．（0，1） B．（0，1] C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0）∪（0，1）

2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z的共轭复数是( ) A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i

3．已知实数﹣1，x，y，z，﹣4成等比数列，则xyz=( ) A．﹣8 B．±8 C．D． 4．已知A． B． C． D．

5．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数为( )

①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α； ②若m∥l，且m∥α，则l∥α；

③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；

④若α∩β=m，β∩γ=l，γ∩α=n，且n∥β，则l∥m．

，则sin2α等于( )

A．1 B．2 C．3 D．4

6．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )

A．3 B．4 C．5 D．6

7．定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x﹣x，则当x∈[﹣1，0]时，f（x）的最小值为( ) A．﹣ B．﹣ C．0 D．

8．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是( ) A．f（1）＜f（a）＜f（b） B．f（a）＜f（b）＜f（1） C．f（a）＜f（1）＜f（b） D．f（b）＜f（1）＜f（a）

9．已知不等式|y+4|﹣|y|≤2+A．1 B．2

x

x

2

对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为( )

C．3 D．4

10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9π，则p=( ) A．2 B．4 C．3 D．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）

11．如图，某几何体的三视图均为边长为1的正方形，则该几何体的体积是__________．

2

12．已知=（2，1），=（1，﹣3），若=+2，=2﹣x，且 ⊥，则x=__________．

13．已知点P的坐标（x，y）满足两点，那么|MN|的最小值是__________．

14．若函数f（x）=x+x﹣ax在区间（1，+∞）上单调递增，且在区间（1，2）上有零点，则实数a的取值范围是__________．

15．设F1，F2是双曲线C：

（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若

3

2

过点P的直线l与圆C：x+y=14交于M、N

22

|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为__________．

三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．某市有M，N，S三所高校，其学生会学习部有“干事”人数分别为36，24，12，现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取6名进行“大学生学习部活动现状”调查． （Ⅰ）求应从M，N，S这三所高校中分别抽取的“干事”人数；

（Ⅱ）若从抽取的6名干事中随机选2，求选出的2名干事来自同一所高校的概率．

17．已知函数f（x）=2sin（x+

2

）﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f（x）取到最大

值．

（1）求f（x）的最大值及α的值；

（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣

，且sinBsinC=sinA，

2

求b﹣c的值．

18．如图1，在四棱锥P﹣ABCD中PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图与侧（左）视图如图2所示．

（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD； （Ⅱ）证明：AM∥平面PBC；

（Ⅲ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．

19．已知数列{an}中，a1=t（t为非负常数），数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足Sn+1=3Sn （Ⅰ）当t=1时，求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn．

20．（13分）已知椭圆M：

+

=1（a＞b＞0）的离心率为

，且椭圆上一点与两个焦

点构成的三角形周长为6+4． （Ⅰ）求椭圆M的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点（A，B不是顶点），且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，证明这样的直线l恒过定点，并求出该点坐标．

21．（14分）已知函数f（x）=a+x﹣xlna（a＞0，a≠1）． （1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）单调增区间；

（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．

x

2

2014-2015学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．集合

，则A∩B=( )

A．（0，1） B．（0，1] C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0）∪（0，1） 考点：交集及其运算． 专题：集合．

分析：根据对数函数的定义域求出集合A，再根据不等式求出集合B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B．

解答： 解：集合A={x|y=log2（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}=（﹣∞，1），

2

集合B={x|x＞0}={x|x≠0}=（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 故集合A∩B=（﹣∞，0）∪（0，1） 故选D．

点评：本题主要考查对数函数的定义域，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．

2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z的共轭复数是( ) A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i

考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数．

分析：直接由复数代数形式的除法运算化简复数z，则z的共轭复数可求． 解答： 解：∵（1+2i）z=4+3i，

∴，

则z的共轭复数是2+i． 故选：B．

点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．

3．已知实数﹣1，x，y，z，﹣4成等比数列，则xyz=( ) A．﹣8

B．±8

C． D．

考点：等比数列的通项公式． 专题：等差数列与等比数列．

2

分析：由等比数列的性质可得y=xz=（﹣1）（﹣4），解方程易得答案．

2

解答： 解：由等比数列的性质可得y=xz=（﹣1）（﹣4），

2

解得xz=4，y=﹣2，（y=2时，和x=﹣y矛盾）， ∴xyz=﹣8． 故选：A

点评：本题考查等比数列的性质，属基础题．

4．已知A． B． C． D．

，则sin2α等于( )

考点：二倍角的余弦；诱导公式的作用；两角和与差的正切函数． 专题：计算题． 分析：利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，整理后求出tanα的值，然后将所求的式子分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化为222

sinα+cosα，分子利用二倍角的正弦函数公式化简，然后分子分母同时除以cosα，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanα的值代入即可求出值．

解答： 解：∵tan（α﹣∴tanα=2， 则sin2α=

）==，

===．

故选C

点评：此题考查了二倍角的正弦函数公式，两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．

5．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数为( )

①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α； ②若m∥l，且m∥α，则l∥α；

③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；

④若α∩β=m，β∩γ=l，γ∩α=n，且n∥β，则l∥m． A．1

B．2 C．3 D．4

考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系． 专题：空间位置关系与距离． 分析：①根据两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，判断①； ②根据直线与平面平行的判定定理，得出②错误； ③根据空间中的线面平行关系，判断③错误； ④根据空间中的线面平行关系，得出④正确．

解答： 解：对于①，当m∥l，m⊥α时，l⊥α，∴①正确； 对于②，当m∥l，m∥α时，l∥α，或l⊂α，∴②错误；

对于③，当α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n时，l∥m∥n，或l、m、n交于一点，∴③错误； 对于④，当α∩β=m，β∩γ=l，γ∩α=n，且n∥β时，l∥m，∴④正确． 综上，正确的命题为①④． 故选：B． 点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应用问题，是基础性题目．

6．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )

A．3 B．4 C．5 D．6

考点：程序框图．

专题：算法和程序框图．

分析：根据程序框图，运行相应的程序，写出每次循环i，a的值，判断a＞50满足时，输出i的值即可．

解答： 解：运行相应的程序，有 a=1，i=0， i=1，a=2，

a＞50不成立，有i=2，a=5， a＞50不成立，有i=3，a=16，

a＞50不成立，有i=4，a=65， a＞50成立，输出i的值为4． 故选：B．

点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．

7．定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x﹣x，则当x∈[﹣1，0]时，f（x）的最小值为( ) A．﹣ B．﹣ C．0 D．

考点：二次函数的性质． 专题：函数的性质及应用．

2

分析：设x∈[﹣1，0]，则x+1∈[0，1]，故由已知条件求得 f（x）=再利用二次函数的性质求得函数f（x）的最小值． 解答： 解：设x∈[﹣1，0]，则x+1∈[0，1]，

22

故由已知条件可得f（x+1）=（x+1）﹣（x+1）=x+x=2f（x），

=，

∴f（x）==，

故当x=﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣，

故选：A．

点评：本题主要考查求函数的解析式，二次函数的性质应用，属于基础题．

8．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是( ) A．f（1）＜f（a）＜f（b） B．f（a）＜f（b）＜f（1） C．f（a）＜f（1）＜f（b） D．f（b）＜f（1）＜f（a） 考点：函数零点的判定定理．

专题：计算题；函数的性质及应用．

分析：首先判断两个函数的单调性，再由定义知f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，从而可判断0＜a＜1＜b；从而再利用单调性判断大小关系．

x

解答： 解：易知函数f（x）=e+x﹣2在R上是增函数，g（x）=lnx+x﹣2在R上也是增函数；

又∵f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0， ∴0＜a＜1＜b；

x

故f（a）＜f（1）＜f（b）； 故选C．

点评：本题考查了函数的单调性的判断与应用及函数零点的判定定理的应用，属于基础题．

9．已知不等式|y+4|﹣|y|≤2+

x

对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

考点：绝对值不等式的解法． 专题：不等式的解法及应用．

分析：令f（y）=|y+4|﹣|y|，利用绝对值不等式可得|y+4|﹣|y|≤|y+4﹣y|=4，从而将问题转化

为2+

x

≥f（y）max=4，令g（x）=﹣（2）+4×2，则a≥g（x）max=4，从而可得答案．

x2x

解答： 解：令f（y）=|y+4|﹣|y|， 则f（y）≤|y+4﹣y|=4， 即f（y）max=4． ∵不等式|y+4|﹣|y|≤2+∴2+

x

x

对任意实数x，y都成立，

≥f（y）max=4，

x

2

x

x

2

∴a≥﹣（2）+4×2=﹣（2﹣2）+4恒成立；

x2x

令g（x）=﹣（2）+4×2， 则a≥g（x）max=4，

∴常数a的最小值为4， 故选：D．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查化归思想与构造函数思想，突出恒成立问题的考查，属于中档题．

10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9π，则p=( ) A．2 B．4 C．3 D．

考点：抛物线的简单性质．

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．

解答： 解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切， ∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径 ∵圆面积为9π，∴圆的半径为3

2

又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=， ∴+=3 ∴p=4

故选：B．

点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上） 11．如图，某几何体的三视图均为边长为1的正方形，则该几何体的体积是或．

考点：由三视图求面积、体积． 专题：计算题．

分析：先由三视图判断几何体的形状，画出其直观图，再利用正方体的体积减去棱锥的体积求得．

解答： 解：由三视图知，几何体有两种情况，如图：

几何体为边长为1的正方形消去一个三棱锥或消去两个三棱锥， 三棱锥的体积V=

∴几何体的体积为或． 故答案是或．

点评：本题考查由三视图求几何体的体积．

12．已知=（2，1），=（1，﹣3），若=+2，=2﹣x，且 ⊥，则x=

=，

．

考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系． 专题：计算题；平面向量及应用．

分析：根据平面向量的坐标运算，利用两向量垂直，数量积为0，列出方程，求出x的值．

解答： 解：∵=（2，1），=（1，﹣3）， ∴=+2=（4，﹣5）， =2﹣x=（4﹣x，2+3x）， 又 ⊥，

∴•=4（4﹣x）﹣5（2+3x）=0； 解得x=

．

．

故答案为：

点评：本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了平面向量的数量积的应用问题，是基础题目．

13．已知点P的坐标（x，y）满足

过点P的直线l与圆C：x+y=14交于M、N

2

2

两点，那么|MN|的最小值是4．

考点：简单线性规划的应用． 专题：计算题；数形结合．

分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，欲求|MN|的最小值，只需求出经过可行域的点的直线在圆上所截弦长何时取最大值即可． 解答： 解：先根据约束条件画出可行域， 当直线l过点A（1，3）时，A点离圆心最远， 此时截得的弦MN最小， 最小值是4， 故填4．

点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．

14．若函数f（x）=x+x﹣ax在区间（1，+∞）上单调递增，且在区间（1，2）上有零点，则实数a的取值范围是＜a≤3．

考点：函数零点的判定定理．

专题：综合题；函数的性质及应用．

2

分析：求出f′（x）=x+2x﹣a，根据函数性质，和零点的判断方法得，f′（1）=3﹣a≥0，f（1）f（2）＜0，求解不等式即可．

32

解答： 解：∵函数f（x）=x+x﹣ax， ∴f′（x）=x+2x﹣a，

∵对称轴x=﹣1，f′（1）=3﹣a≥0， ∴a≤3，

∵在区间（1，2）上有零点， ∴f（1）f（2）＜0， ∴＜a＜

．

2

32

∴实数a的取值范围是＜a≤3， 故答案为：＜a≤3

点评：本题考查了函数的单调性，零点的判断方法，属于中档题．

15．设F1，F2是双曲线C：

（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若

．

|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为

考点：双曲线的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．

解答： 解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a， 不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a 所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，

∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，

222

∴|PF2|=|F1F2|+|PF1|﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，

222

即4a=4c+16a﹣2c×4a×， 22

∴c﹣2ca+3a=0， ∴c=a 所以e==

．

故答案为：．

点评：本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．

三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．某市有M，N，S三所高校，其学生会学习部有“干事”人数分别为36，24，12，现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取6名进行“大学生学习部活动现状”调查． （Ⅰ）求应从M，N，S这三所高校中分别抽取的“干事”人数；

（Ⅱ）若从抽取的6名干事中随机选2，求选出的2名干事来自同一所高校的概率．

考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法． 专题：概率与统计． 分析：（Ⅰ）求出抽样比，即可从M，N，S这三所高校中分别抽取的“干事”人数；

（Ⅱ）在抽取到的6名干事中，来自高校M的3名分别记为1、2、3，来自高校N的2名分别记为a、b，来自高校S的1名记为c，写出选出2名干事的所有可能结果，设A={所选2名干事来自同一高校}，写出事件A的所有可能结果，利用古典概型求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）抽样比为：，

故应从M，N，S这三所高校抽取的“干事”人数分别为3，2，1；

（Ⅱ）在抽取到的6名干事中，来自高校M的3名分别记为1、2、3， 来自高校N的2名分别记为a、b，来自高校S的1名记为c， 则选出2名干事的所有可能结果为：

{1，2}，{1，3}，{1，a }，{1，b }，{1，c}， {2，3}，{2，a}，{2，b}，{2，c}， {3，a}，{3，b }，{3，c }， { a，b }，{ a，c }，

{ b，c}共15种．

设A={所选2名干事来自同一高校}，

事件A的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{2，3}，{a，b}，共4种， 所以

．

点评：本题考查古典概型的应用，分层抽样，基本知识的考查，是高考文科概率考试类型题目．

17．已知函数f（x）=2sin（x+

2

）﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f（x）取到最大

值．

（1）求f（x）的最大值及α的值；

（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣求b﹣c的值．

考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用． 专题：三角函数的求值．

，且sinBsinC=sinA，

2

分析：（1）利用二倍角公式对函数解析式化简利用x的范围判断出2x﹣的范围，利用正

弦函数的性质求得函数的最大值及α的值．

（2）利用正弦定理把已知角的正弦等式转化成变化的等式，进而利用余弦定理求得b﹣c的值．

解答： 解：（1）依题

． 又故当

（2）由（1）知

2

2

2

2

2

，则即

，

时，f（x）max=3．

，由sinBsinC=sinA即bc=a，

2

2

又a=b+c﹣2bccosA=b+c﹣bc，

222

则b+c﹣bc=bc即（b﹣c）=0， 故b﹣c=0．

点评：本题主要考查了余弦定理的应用，三角函数图象与性质．是对三角函数基础知识的综合考查．

18．如图1，在四棱锥P﹣ABCD中PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图与侧（左）视图如图2所示．

（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD； （Ⅱ）证明：AM∥平面PBC；

（Ⅲ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 专题：综合题；空间位置关系与距离． 分析：（Ⅰ）利用俯视图和勾股定理的逆定理可得BC⊥BD，利用线面垂直的性质定理可得BC⊥PD，再利用线面垂直的判定定理即可证明；

（Ⅱ）取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ．利用左视图和平行线分线段成

比例的判定和性质即可得出MQ∥CD，MQ=CD．

再利用平行四边形的判定和性质定理即可得出AM∥BQ，利用线面平行的判定定理即可证明．

（Ⅲ）利用棱锥的体积公式，即可求四棱锥P﹣ABCD的体积． 解答： （Ⅰ）证明：由俯视图可得，BD+BC=CD， ∴BC⊥BD．

又∵PD⊥平面ABCD， ∴BC⊥PD，

又∵BD∩PD=D， ∴BC⊥平面PBD．

（Ⅱ）证明：取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ． 由左视图知 PM：PD=1：4，∴MQ∥CD，MQ=CD． 在△BCD中，易得∠CDB=60°，∴∠ADB=30°． 又 BD=2，∴AB=1，AD=． 又∵AB∥CD，AB=CD，

∴AB∥MQ，AB=MQ．

∴四边形ABQM为平行四边形， ∴AM∥BQ．

∵AM⊄平面PBC，BQ⊂平面PBC， ∴直线AM∥平面PBC．

（Ⅲ）解：∵底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AD⊥AB，AB=1，CD=4，AD=

2

2

2

，

∴SABCD=

，

∵PD⊥底面ABCD，PD=4， ∴V=•SABCD•PD=

=

．

点评：熟练掌握由三视图得到线面位置关系和数据、线面垂直的判定和性质定理、线面平行的判定和性质定理、求四棱锥P﹣ABCD的体积是解题的关键．

19．已知数列{an}中，a1=t（t为非负常数），数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足Sn+1=3Sn （Ⅰ）当t=1时，求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn．

考点：数列的求和；数列递推式． 专题：等差数列与等比数列． 分析：（I）由Sn+1=3Sn，可知数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列，即可得出Sn．当n≥2时，利用an=Sn﹣Sn﹣1即可得出．

（II）由（I）可得：bn=

2

n﹣2

．当n=1时，T1=t．当n≥2时，Tn=t+2t

（2+3×3+4×3+…+n•3），再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出． 解答： 解：（I）由Sn+1=3Sn，可知数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列，

﹣n1

∴Sn=3．

n﹣1n﹣2n﹣2

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=3﹣3=2×3． ∴an=

．

（II）由（I）可得：bn=

．

∴当n=1时，T1=t．

2n﹣2

当n≥2时，Tn=t+2t（2+3×3+4×3+…+n•3），

2n﹣2n﹣1

3Tn=3t+2t[2×3+3×3+…+（n﹣1）•3+n•3]， ∴﹣2Tn=﹣2t+2t（2+3+3+…+3﹣2n）•3

n﹣1

2

n﹣2

﹣n•3

n﹣1

）=﹣2t+2t=t（1

﹣t，

∴Tn=

当t=1时，上式也成立． ∴Tn=

．

．

点评：本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．

20．（13分）已知椭圆M：

+

=1（a＞b＞0）的离心率为

，且椭圆上一点与两个焦

点构成的三角形周长为6+4． （Ⅰ）求椭圆M的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点（A，B不是顶点），且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，证明这样的直线l恒过定点，并求出该点坐标．

考点：椭圆的简单性质．

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析：（I）由题意可得：2a+2c=6+4，=，又a=b+c，联立解出即可得出．

222

（II）由题意可得：直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：x=my+n，与椭圆方程联立化

222

为（m+9）y+2mny+n﹣9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由于以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，可得CA⊥CB，代入根与系数的关系即可得出．

解答： 解：（I）由题意可得：2a+2c=6+4解得a=3，b=1，c=2∴椭圆M的方程为

， +y=1．

2

=0，即（my1+n﹣3）（my2+n﹣3）+y1y2=0，化简整理

，=，又a=b+c，

222

（II）由题意可得：直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：x=my+n， 联立

，化为（m+9）y+2mny+n﹣9=0，

2

2

2

设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则y1+y2=

，y1y2=

．

∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C， ∴CA⊥CB．∴

=0，

∴（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=0，

∴（my1+n﹣3）（my2+n﹣3）+y1y2=0，

22

化为（m+1）y1y2+m（n﹣3）（y1+y2）+（n﹣3）=0， ∴

+

+（n﹣3）=0，

2

解得n=3或n=n=3舍去； n=

，

，直线AB经过定点，满足与椭圆有两个交点．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、直线过定点问题、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

21．（14分）已知函数f（x）=a+x﹣xlna（a＞0，a≠1）． （1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）单调增区间；

（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

专题：导数的综合应用． 分析：（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，0），故由点斜式即可得所求切线的方程；

x2

（2）先求原函数的导数得：f'（x）=alna+2x﹣lna=2x+（a﹣1）lna，再对a进行讨论，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．

（3）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围． 解答： 解：（1）∵f（x）=a+x﹣xlna，

x

∴f′（x）=alna+2x﹣lna， ∴f′（0）=0，f（0）=1

即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0， ∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；

（2）由于f'（x）=alna+2x﹣lna=2x+（a﹣1）lna＞0

xx

①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a﹣1）lna单调递增，

x0

∴2x+（a﹣1）lna＞2×0+（a﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；

xx

②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a﹣1）lna单调递增，

∴2x+（a﹣1）lna＞2×0+（a﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；

x

0

x

x

x

2

xx

综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；

（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1， 所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min| =（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，

由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增， 所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1， （f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}， 而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（ +1+lna）=a﹣﹣2lna， 记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0）， 因为g′（t）=1+

﹣=（ ﹣1）≥0（当t=1时取等号），

2

所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0， 所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0， 也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）； 当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）

①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，

②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤， 综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．（16分）

点评：本题考查了基本函数导数公式，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值．属于中档题．