分式知识点

一、分式定义

形如，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的式子叫做分式。其中A叫

BA

做分式的分子，B叫做分式的分母。

二、分式的基本性质

（1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

（2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变。 三、最简分式

一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式。 和分数不能化简一样，叫最简分数。 四、最简公分母

（1）最简公分母的定义

通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

（2）一般方法

①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里。

②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂。

五、分式有、无意义的条件 1、分式有意义的条件

（1）分式有意义的条件是分母不等于零。 （2）分式无意义的条件是分母等于零。

（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同时大于零。 （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号。 2、分式的值为零的条件

分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零。注意：“分母不为零”这个条件不能少

3、分式无意义的条件

分式有意义的条件是分母等于零 六、分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值。 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简。化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式。

最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式。分数不能化简一样，叫最简分数。

七、分式的通分与约分 通分

（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

（2）通分的关键是确定最简公分母。

①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数。

②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积。

（3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式。

约分

（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定。 ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式。

②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面。

③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式。

（3）规律方法总结：有约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分。

八、分式的加减法

（1）同分母分式加减法法则：

同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减。

（2）异分母分式加减法法则：

把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减。说明:

①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘。

②通分是和约分是相反的一种变换。约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式。约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的。

九、分式的乘除法

（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方。

（4）分式的乘、除、乘方混合运算。运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”。

（5）规律方法总结：

①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算,当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解,再约分。

②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式。

③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右

的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序。

十、分式的混合运算

（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的。

（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式。 （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算。

十一、列代数式（分式）

（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式。（2）列代数式五点注意 ： ①仔细辨别词义。 ②分清数量关系。 ③注意运算顺序。④ 规范书写格式。⑤正确进行代换。

注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．

幂指数知识点

1、同底数幂的乘法

（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

𝑎m ×𝑎𝑛＝𝑎m+n（m，n是正整数）𝑎m ×𝑎𝑛×𝑎p＝𝑎m+n+p （2）推广：𝑎m ×𝑎𝑛×𝑎p＝𝑎m+n+p（m，n，p都是正整数）

在应用同底数幂的乘法法则时，应注意： ①底数必须相同；

②a可以是单项式，也可以是多项式；

③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加。

（3）概括整合：同底数幂的乘法在运用时要抓住 “同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，可以变形为同底数幂。

2、同底数幂的除法

同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减。

𝑎m ÷𝑎n＝𝑎m−n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）

①底数a≠0，因为0不能做除数；

②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；

③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么。

3、零指数幂

零指数幂：𝑎0=1（a≠0），𝑎0=1没有a≠0这个条件是不成立的。

由𝑎m ÷𝑎m＝1，𝑎m ÷𝑎m＝𝑎m−m =𝑎0 可推出a0=1（a≠0）𝑎m ÷𝑎m＝1 注意：00≠1 。

4、幂的乘方与积的乘方

（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘。

(𝑎m)n ＝𝑎m+n （m，n是正整数）

注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别。

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

(𝑎𝑏)n ＝𝑎n 𝑏n（n是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果。

5、负整数指数幂:负整数指数次幂等于正整数次幂的倒数

负整数指数幂：𝑎−𝑝=

1𝑎𝑝（a≠0，p为正整数）注意：①a≠0；

−2

②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（−3） ＝（-3）×（-2）的错误。

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数。

实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方。

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行。

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用。

整式的除法

（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。

关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式。

（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式。多项式除以单项式的结果仍是一个多项式

整式的混合运算

（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似。

（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来。

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序。

相反数

（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等。

（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正。

（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，如a的相反数是-a，m+n的相反数是-（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号。

合并同类项

（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项。

（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

（3）合并同类项时要注意以下三点：

①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项;字母和字母指数；

②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；

③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变。

算术平方根

（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。记为 a 。

（2）非负数 a的算术平方根a 有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根 a本身是非负数。

（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找。

有理数的乘方

(1) 有理数乘方的定义： 求n个相同因数积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂，在𝑎n中，a叫做底数，n叫做指数。𝑎n读作a的n次方。（将𝑎n看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂。）

(2) 乘方的法则：正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;0的任何正整数次幂都是0.

（3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。② 由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减。

有理数的混合运算

（1） 有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算。

（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化。

单项式乘单项式

运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立。

绝对值

（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值。 ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数。

③有理数的绝对值都是非负数。(2)如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：

①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；

②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a； ③当a是零时，a的绝对值是零。 𝑎(𝑎>0)

|𝑎|= 0(𝑎=0)

−𝑎(𝑎<0)

完全平方公式

（1）完全平方公式：（a±b）=a2±2ab＋b2

可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”。

（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同。

（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式。

根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1 ,x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数。

（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=- 𝑎，x1x2= 𝑎，反过来也成立，即𝑎=-（x1+x2），𝑎=x1x2。

（3）常用根与系数的关系解决以下问题：

①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根。②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数。③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12 +x22等等。④判断两根的符号。⑤求作新方程。⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值。这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件。

𝑏

𝑐

𝑏

𝑐

2

【注：销售利润率=（售价-进价）÷进价】． 【工作效率=工作总量÷工作时间】．

解一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。

（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组。

（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分。 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到。 在数轴上表示不等式的解集

用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：

一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可。定边界点时要注意， 点是实心还是空心， 若边界点含于解集为实心点， 不含于解集即为空心点；

二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”。 解二元一次方程组

（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值。④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值。⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解。

（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数。②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。③解这个一元一次方程，求得未知数的值。④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值。⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就𝑥=𝑎

得到原方程组的解，用{的形式表示。

𝑥=𝑏