考点94 直线与双曲线的位置关系

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考点94 直线与双曲线的位置关系

x2y278．（2020·新课标Ⅱ文理8）设O为坐标原点，直线xa与双曲线C:221a0,b0的两条渐

ab近线分别交于D,E两点，若A．4 【答案】B

B．8

ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为

（ ）

C．16 D．32

bx2y2【思路导引】∵C:221a0,b0，可得双曲线的渐近线方程是yx，与直线xa联立

aab方程求得D，E两点坐标，即可求得|ED|，根据ODE的面积为8，可得ab值，根据2c2a2b2，结合均值不等式，即可求得答案．

bx2y2【解析】∵C:221(a0,b0)，双曲线的渐近线方程是yx，

abax2y2直线xa与双曲线C:221(a0,b0)的两条渐近线分别交于D，E两点，

abxaxa不妨设D为在第一象限，E在第四象限，联立，解得，故D(a,b)， byxybaxaxa联立，解得，故E(a,b)，|ED|2b， byxybaODE面积为：S△ODE1a2bab8． 2x2y2双曲线C:221(a0,b0)，其焦距为2c2a2b222ab2168，当且仅当

abab22取等号，C的焦距的最小值：8，故选B．

79．0）A0）B0）（2020·浙江卷）已知点O（0，，（–2，，（2，．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=34x2图像上的点，则|OP|=（ ） A．

22 2B．

410 5C．7 D．10

【答案】D

【解析】∵|PA||PB|24，∴点P在以A,B为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由

c2,a1可得，b2ca22y2413，即双曲线的右支方程为x1x0，而点P还在函数

32y34x2的图象上，∴，

13y34x2x132722由，解得，即OP10． y2441x0xy3332x2y280．（2019天津文理）已知抛物线y4x的焦点为F，准线为l，若l与双曲线221(a0,b0)ab2的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为（ ） A．2 C．2 【答案】D

2【解析】抛物线y4x的准线l的方程为x1，双曲线的渐近线方程为y

B．3 D．5 bx，则有a22bb2b2bcabA(1,),B(1,)，∴AB4，b2a，∴e，5，故选D． aaaaaa【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度．解答时，只需把AB4OF用a,b,c表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．

x2y281．【2018高考全国2理5】双曲线221(a0,b0)的离心率为3，则其渐近线方程为（ ）

abA．y2x B．y3x 【答案】A

【解析】试题分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果．

C．y2x 2D．y3x 2cb2c2a2b2试题解析：e3,2e12,2． 2aaaa

∵渐近线方程为ybx,渐近线方程为y2x，故选A． ax2y2x2y2b【名师点睛】已知双曲线方程221a0,b0求渐近线方程：220yx．

ababa【考点】双曲线的简单几何性质（离心率、渐近线方程）

22xy82．【2018高考全国3理11】设F1，F2是双曲线C：221a0,b0的左，右焦点，O是坐标原点．过abF2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若PF16OP，则C的离心率为

（ ）

C．3

A．3 D．2 【答案】C

B．2

【解析】试题分析：由双曲线性质得到PF2b，POa，然后在Rt△POF2和在Rt△PF1F2中利用余弦定理可得．

试题解析：由题可知PF2b,OF2c，POa．

PF2b|PF2|2|F1F2|2|PF1|2b在Rt△POF2中，cosPF2O，cosPF2O，OF2c2|PF2||F1F2|cb24c2(6a)2b,c23a2，e3，故选C．

2b2cc【名师点睛】本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．

x2y283．（2018天津文理）已知双曲线221(a0,b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线

ab与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为（ ）

x2y2x2y2x2y2x2y2A．1 B．1 C．1 D．1

3993412124【答案】A

c2y2b2【解析】设双曲线的右焦点坐标为F(c,0)(c0)，则xAxBc，由221可得y，

abab2b2不妨设A(c,)，B(c,)，双曲线的一条渐近线方程为bxay0，据此可得

aa

2|bcb2|bcb22bcbcbd1d2dd2b6，则b3，b29，双，，则122222cccabab|bcb2|x2y2cb292曲线的离心率e1据此可得a3，则双曲线的方程为故选A． 1，122，239aaax284．（2014天津文）已知双曲线2ay2b21a0,b0的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双

曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为

x2A．

5y220x21 B．

20y252a5a23x21 C．

253y21003x21 D．

1003y2251

b【答案】A【解析】 依题意得cc2，∴a25，b2b2x220，双曲线的方程为

5y22001．

85．（2013重庆文理）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相较于点O、所成的角为60的直线A1B1和A2B2，使A1B1A2B2，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 A．(23232323,2] B．[,2) C．(,) D．[,) 3333【答案】A【解析】设双曲线的焦点在x轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的离心率

b必须满足a23b3b1b4b1()2≤2，又双曲线的离心率为≤3，∴()2≤3，1()2≤4，既有3a3a3a3aecb231()2，∴e≤2． aa3x2y286．（2020·新课标Ⅱ）设双曲线C：221 (a>0，b>0)的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为

ab_________． 【答案】3 x2y2【解析】由双曲线方程221可得其焦点在x轴上，∵其一条渐近线为y2x，

ab

2bcb∴2，e13． 2aaax2y287．（2020·北京卷）已知双曲线C:1，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线

63的距离是_________．

【答案】 (1)．3,0 (2)．3 【解析】在双曲线C中，a6，b3，则ca2b23，则双曲线C的右焦点坐标为3,0，

双曲线C的渐近线方程为y2x，即x2y0， 23122∴，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为3．

y2x2588．=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2﹣

5a2该双曲线的离心率是____． 【答案】

3 2x2y25b5【解析】双曲线2故b5．由于双曲线的一条渐近线方程为y即1，x，a2，

a52a2∴ca2b2453，∴双曲线的离心率为

c3． a2x2y2．【2019年高考全国Ⅰ理】已知双曲线C：221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1

ab的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若F，1BF2B0，则C的离心率为____________． 1AABF【答案】2

【解析】如图，由F得F1AAB.又OF1OF2,得OA是三角形F1F2B的中位线，即1AAB,BF2∥OA,BF22OA.由F1BF2B0，得F1BF2B,OAF1A,∴OBOF1，AOBAOF1，

又OA与OB都是渐近线，得BOF2AOF1,

又BOF2AOBAOF1π，∴BOF2AOF1BOA60,

又渐近线OB的斜率为

bcbtan603，∴该双曲线的离心率为e1()21(3)22． aaa

90．P是曲线yx【2019江苏】在平面直角坐标系xOy中，的距离的最小值是 ▲ ． 【答案】4

【解析】当直线x+y=0平移到与曲线yx小．由y14(x0)上的一个动点，则点P到直线x+y=0x4相切位置时，切点Q即为点P，此时到直线x+y=0的距离最x41，得x2(x2舍)，y32，即切点Q(2,32)， x2则切点Q到直线x+y=0的距离为23211224．

x2y21的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，91．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy中 ，双曲线3Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是 ．

【答案】23 【解析】右准线方程为x3310331030，渐近线方程为yx，设P(,)，则103101010Q(3103030,)，F1(10,0)，F2(10,0)，∴四边形F1PF2Q的面积S21023． 1010102292．（2015江苏理）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线xy1右支上的一个动点．若点P到直线

xy10的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 ．

2【解析】设P(x,y),(x1)，因为直线xy10平行于渐近线xy0，所以c的最大值为直线2

xy10与渐近线xy0之间距离，为122． 2