2018-2019学年湖南省邵阳市新邵县高一下学期期末数学试题(解析版)

题

一、单选题

1．已知角是第二象限的角，则cos的值一定( ) A．小于零 【答案】A

【解析】根据角所在象限直接得结果. 【详解】

解：因为角是第二象限的角， 所以cos0， 故选：A. 【点睛】

本题考查三角函数的正负值问题，是基础题.

B．大于零

C．等于零

D．不确定

v2．向量a，b满足a1，|b|4且ab2，则a与b的夹角的大小为（ ）．

A．

vvvvvvvπ 6B．

π 4C．

π 3D．

π 2【答案】C

vva【解析】分析：根据两个向量数量积的定义，求出与b的夹角的余弦值，再根据两个

向量夹角的范围，求出两个向量的夹角.

vvvvab21vvvvcosa,bv，b=4，ab=2, 详解：Qa=1vab142vvvv[0,]Qa,ba,b= , 又的范围为

3故选C.

点睛：本题主要考查两个向量数量积的定义，再根据三角函数值和两个向量夹角的范围求角，意在考查学生基本概念、基本知识掌握的准确度.

3．从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（ ）. A．3个都是篮球 C．3个都是排球 【答案】D

【解析】从6个篮球、2个排球中任选3个球，显然必有一个篮球，根据这个事实对四

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B．至少有1个是排球 D．至少有1个是篮球

个选项逐一判断. 【详解】

解析：从6个篮球、2个排球中任选3个球，A，B是随机事件，C是不可能事件，D是必然事件，故选D. 【点睛】

本题考查了对必然事件的理解.解题的关键是对问题的隐含事实的认识.

4．某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A——结伴步行，B——自行乘车，C——家人接送，D——其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.

根据图中信息，求得本次抽查的学生中A类人数是（ ） A．30 【答案】A

【解析】根据所给的图形，计算出总人数，即可得到A的人数． 【详解】

解：根据选择D方式的有18人，所占比例为15%，得总人数为故选择A方式的人数为120﹣42﹣30﹣18＝30人． 故选A． 【点睛】

本题考查了条形图和饼图的识图能力，考查分析问题解决问题的能力．

5．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件C =｛抽到三等品｝，且已知 P（A）= 0.65 ,P(B)=0.2 ,P(C)=0.1。则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ） A． 0.35 B． 0.65 C． 0.7 D． 0.3

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B．40

C．42

D．48

18120人， 15%【答案】A 【解析】略

6．对某同学的6次数学测试成绩进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法①中位数为84； ②众数为85；③平均数为85； ④极差为12. 其中，正确说法的序号是( )

A．①② 【答案】B

B．①③ C．②④ D．③④

【解析】根据统计知识，将数据按从小到大排列，求出相应值，即可得出结论． 【详解】

将各数据按从小到大排列为：78，83，83，85，90，91．可见：中位数是∴①是正确的；

众数是83，②是不正确的；

8385=84，2788383859091=85，∴③是正确的．

6极差是91﹣78=13，④不正确的． 故选B． 【点睛】

本题借助茎叶图考查了统计的基本概念，属于基础题．

7．在ABC中，已知角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a2b2c22bc. 则角A的数为( ) A．30 【答案】B

【解析】将a2b2c22bc代入余弦定理，可得结果. 【详解】

解：因为a2b2c22bc

B．45

C．120

D．135

b2c2a22bc2则cosA，又0A， 2bc2bc2第 3 页 共 12 页

所以A45， 故选：B. 【点睛】

本题考查余弦定理的应用，是基础题.

8．设一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上10，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ） A．12.8 3.6 【答案】A

x2，…，xn；x2+10，…，xn+10；【解析】试题分析：设该组数据为x1，则新数据为x1+10，从而分别求平均数与方差，比较即可．

解：设该组数据为x1，x2，…，xn；则新数据为x1+10，x2+10，…，xn+10； ∵=∴

=

=2.8，

=10+2.8=12.8，

B．2.8 13.6

C．12.8 13.6

D．13.6 12.8

∵S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，

S′2=[（x1+10﹣（+10））2+（x2+10﹣（+10））2+…+（xn+10﹣（+10））2]， =S2=3.6， 故选A．

【考点】众数、中位数、平均数．

9．函数ysinωxφ的部分图象如图，则ω，φ可以取的一组值是( )

A．ωππ,φ 24B．ωππ,φ 36C．ωπ5πππ,φ D．ω,φ 4444【答案】D

【解析】根据对称轴和对称中心的位置确定周期，从而得到；再代入最大值点，求得

的取值.

【详解】

Qx1为对称轴，3,0为对称中心

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T2312  444代入1,1点可得：sin当k0时，1 2k 2k

42444

本题正确选项：D 【点睛】

本题考查已知三角函数图像求解析式，关键在于能够通过图像确定周期和最值点，通过对应关系求出参数.

fx2sin2x10．将函数的图像向左平移12个单位，再向上平移1个单位，

6得到gx的图像．若gx1gx29，且x1,x22,2，则2x1x2的最大值为（ ）. A．

17 4B．

25 6C．

35 6D．

49 12【答案】D

【解析】根据变换的过程可以根据g(x)f(x12)1，求出g(x)，可以知道

g(x)max3，

gx1gx29，显然当xx1,xx2时，函数值取到最大值，x1,x22,2，

可以求出x1,x2的取值，最后计算出2x1x2的最大值. 【详解】

由已知可得g(x)f(x12)1

gx2sin2x1gx1gx232x2k,kxk33212

49231113x1,x2,,,2xx，故选D 12max1212121212【点睛】

本题考查了正弦型函数的变换过程，以及自变量取何值时，正弦型函数有最大值.本题的关键是变换后解析式要写正确，要对符号语言加以理解，能准确地挖掘背后的隐含结

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论.

二、填空题

11．比较大小：tan45_________tan31（填“>”或“<”） 【答案】

【解析】利用正切函数的单调性判断即可. 【详解】

解：因为函数ytanx在0,故答案为：. 【点睛】

本题考查正切函数的单调性，是基础题.

上单调递增，故tan45tan31， 2rrrr12．设向量a(x,1),b(4,2)，且a//b，则实数x的值是_______；

【答案】2

【解析】由条件利用两个向量共线的性质求得x的值． 【详解】

vvvv解：∵ax,1，b4,2，且a//b，

∴2x＝4， 即x＝2 故答案为2 【点睛】

本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．

ˆ0.95xa，13．已知x,y的取值如下表所示：从散点图分析，y与x线性相关，且y则a_________.

x 0 2. 2 1 4. 3 3 4. 8 4 6. 7 y

【答案】2.6

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ˆ0.95xa即可. 【解析】求出x,y，代入y【详解】 解：由已知得x01342.2+4.3+4.8+6.7=2,y==4.5，

44所以4.50.952a，解得a2.6， 故答案为：2.6 【点睛】

本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键.

vvvvvv14．已知a(2sin13,2sin77)，ab1，a与ab的夹角为，则

3vvab__________．

【答案】3

【解析】化简a2sin13,2sin772sin13,2cos13,可得a2，又因为

vvvvab1，

vvva．（ab）1vvvvvvvv,解得vv va与a的夹角为，所以，可得vva.ab4ab1abb2aab33，故答案为3 .

【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、二次函数配方法求最值，

rrrr属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是ababcos，二是

rrrrabcosrr （此时abx1x2y1y2，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，

abrrabrrrrrrr；（2）求投影，a 在b 上的投影是；（3）a,b向量垂ab往往用坐标形式求解）

b直则ab0;(4)求向量manb 的模（平方后需求ab）.

15．我国南宋著名的数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设

rrrrrrABC三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，面积为S,则“三斜求积”公式为

2222122acb2acS，若2acCosB+15=0, asinc15sinA,则用“三斜42求积”公式可得ABC的面积为__________.

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【答案】

153 4【解析】根据余弦定理a2c2b22accosB15 ，根据正弦定理

a2sinC15sinA化简为a2c15aac15 ，所以

2222215122acb1215153. ac，故填：S153442424【点睛】这种以数学史为背景的数学考查也是高考的热点，一般都不会太难，但要抓住问题的关键，要读懂题，将问题抽象为一个什么数学问题，并能够代入公式，比如本题就是正余弦定理的转化与运用.

三、解答题

vvv16．已知向量a2,1,b3,5,c4,11．

vv（1）求a2b；

（2）若cxayb，求xy的值． 【答案】(1)(-8,-9). (2)3.

【解析】（1）根据向量的坐标运算，即可求解；

（2）根据向量的坐标表示和向量相等的条件，得到方程组，即可求解. 【详解】

vvvvrvr （１）由题意，a2,1,b3,5，则a2b（8，9）（4,11）x2，1y3，5得{（2）由

x1y22x3y4，

x5y11解得{ ，xy3

【点睛】

本题主要考查了平面向量的坐标表示与运算，以及向量相等的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示与运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 17．在锐角⊿ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2asinB3b. （1）求角A的大小；

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（2）若b3,VABC的面积为3【答案】（1）A3，求a.

3；（2）a13.

【解析】试题分析：（1）由已知及正弦定理可得2sinAsinB=3sinB，结合B

为锐角可求sinAA的值．

3，结合A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解2（2）由三角形面积公式可求c，利用余弦定理即可求a的值． 试题解析:

（1）由已知得：2sinAsinB3sinB,

sinA3 2 由于A为锐角，A（2）由S3

1bcsinA，得c4 2由余弦定理得：

a29161213 a13.

ur13r,,n(sinx,cosx),x18．已知向量m0,. 222urr(1)若mn，求tanx的值；

urr12(2)若向量mn，求cos2x33【答案】(1)3；(2)

的值. 7. 9urrurr【解析】(1) 由mn可得mn0，利用数量积的坐标运算列方程求解； urr121(2)由mn可得sin(x)，将cos2x3333计算可得结果. 【详解】

(1)由mn可得mn0，

212sin(x)，代入变形为3urrurr第 9 页 共 12 页

即

13sinxcosx0， 22则tanx3；

(2)由题意可得∴cos(2x1131sinxcosx 即sin(x)，

332232)12sin2(x)， 331712()2.

39【点睛】

本题考查向量的数量积的坐标运算，以及倍角公式的运算，是基础题.

19．交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为T，其范围为0,10，分别有五个级别：T[0,2)，畅通；T2,4，基本畅通；T4,6，轻度拥堵；T6,8，中度拥堵；T8,10，严重拥堵.在晚高峰时段（T2），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.

(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；

(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；

(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率. 【答案】（1）轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数分别为6，9，3；（2）从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1；（3）

3 5【解析】（1）根据在频率分布直方图中，小长方形的面积表示各组的频率，可以求出频率，再根据频数等于频率乘以样本容量，求出频数；

（2）根据（1）求出拥堵路段的个数，求出每层之间的占有比例，然后求出每层的个数；（3）先求出从(2)中抽取的6个路段中任取2个，有多少种可能情况，然后求出至少有1个路段为轻度拥堵有多少种可能情况，根据古典概型概率公式求出.

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【详解】

(1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中， 1×20＝6(个)， 轻度拥堵的路段有(0.1＋0.2)×

1×20＝9(个)， 中度拥堵的路段有(0.25＋0.2)×

1×20＝3(个). 严重拥堵的路段有(0.1＋0.05)×

(2)由(1)知，拥堵路段共有6＋9＋3＝18(个)，按分层抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为

66662，93，31，即从交通指数181818在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.

(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为A1，A2，抽取的3个中度拥堵路段为B1，B2，B3，抽取的1个严重拥堵路段为C1，则从这6个路段中抽取2个路段的所有可能情况为：

A1,A2,A1,B1,A1,B2,A1,B3,

A1,C1,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A2,C1,B1,B2,B1,B3,B1,C1,B2,B3,B2,C1,B3,C1，共15种，其中至少有1个路段为轻度拥堵的情况为：

A1,A2,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A1,C1,A2,B1, A2,B2,A2,B3,A2,C1，共9种.

所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为【点睛】

本题考查了频率直方图的应用、分层抽样、古典概型概率的求法.解决本题的关键是对频率直方图所表示的意义要了解，分层抽样的原则要知道，要能识别古典概型. 20．已知向量a2sinx,sinxcosx,b数fxab的最大值为2. （1）求函数fx的单调递减区间；

（2）在VABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,cosA93. 1553cosx,sinxcosx(0)，函

2ba，若2cfAm0恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）[k3，k5](kZ).（2）m1 6【解析】试题分析：（1）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式及两角差的正弦公

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fx2sin2x式，化简得到，运用正弦函数的最值可得1，运用正弦函

6数的减区间即可得到所求区间；（2）结合余弦定理可得cosC范围，由正弦函数的单调性求出fA的范围即可.

试题解析：（1）函数fxa•b23sinxcosx+sinxcosx sinxcosx

1，求出C，得到A的2rr23sinxcosxsin2xcos2x 3sin2xcos2x

312sin2x，因为fx的最大值为2，所以解得2sin2xcos2x 2621.

则fx2sin2x可得：2k6，由2k22x62k3， 23552x2k，kxk， 23365k，kfxkZ. 所得函数的单调减区间为362bab2c2d2（2）由cosA，可得2b2abb2c2a2，即2c2bcb2a2c2ab.

解得cosC因为0A1，即C. 23127，所以2A，sin2A1，

263666fAm2sin2Am02sin2A因为恒成立，则m恒成立，即

66m1.

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