高等数学下期末练习题

一、 填空题：

1．微分方程 y'ex2y的通解为．

2．微分方程y''2y'15y0的通解为y． 3．空间中的点(2,1,2)关于x轴对称的点为． 4．函数z4xy2ln(1x2y2)的定义域是．

5．设函数f(x,y)xyy,则f(,1)． 22xyx＝．

6．limx0y01cos(xy)xy11227．设z(x2y)x，则在点(1,0)处的全微分dz． 8．设D{(x,y)|1x2y24}，则d=．

D9．若级数1p1n1n发散，则 p的范围为．

10．将函数fxe2x展为x的幂级数为e2x． 11．微分方程xyy0满足初始条件y(1)2的特解为 . 12．y''siny经过变换 ,可化为一阶微分方程．

13．将xOy坐标面的圆x2y24绕x轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为． 14．设二元函数z4x2y2x2y22，其定义域是． 15．设函数f(x,y)xyy,则f(,1)． 22xyx= .

16. lim1(xy)2exxy23x0y117．设z1xy，则

yz. x18、设zln(x2y2)，则dz. 19、交换二次积分的次序 dy  0 1 y 1 f(x,y) dx=.

xn20、幂级数n1的收敛半径是，和函数S (x)=．.

n0221、函数f(x,y)15xy的定义域为 ；

ln(xy)22、limx0y0xy ；

xy1123、已知z(1x2)y，则z的微分dz；

x2z224、xz坐标面上的曲线1绕x轴旋转一周生成的曲面方程为；

9425、积分dx012xx20f(x,y)dy交换次序后为；

26、常数a0，且

x2y2a2a2x2y2dxdy，则a；

27、xydxdy，其中D(x,y)x2y2a2,yx；

D28、级数sinn的敛散性为（绝对收敛，条件收敛，发散）； 22n1n129、级数an的部分和Snn1n1，则an； n30、已知yx，yx2是某个一阶非齐次线性微分方程的两个特解，则该方程的通解是；

31、函数f(x,y)1ln(xy)的定义域为 ；

2xy32、lim(x2y2)sinx0y01 ； xy33、已知zsinx2y，则z的微分dz；

34、f(x,y)在(x0,y0)处可微是其在点(x0,y0)处两个偏导数存在的条件；

x235、xz坐标面上的曲线z21绕z轴旋转一周生成的曲面方程为；

436、(1xy)dxdy，其中D(x,y)xy1,x0,y0；；

D37、积分dx2f(x,y)dy交换次序后为；

0x1x38、limn!； nnn39、级数an的部分和Snn1n，则an； n140、微分方程xy

二、 单项选择

dydyy2x2的通解为； dxdx2xx1．已知x,xe,e是微分方程yaybyf(x)的三个解，则该方程的通解是

( )．(c1,c2,c3为的任意常数) (A)yc1xexc2ex(1c1c2)x2(B)yc1xexc2ex(1c1c2)x2 c2exc3x2 (D) yc1xexc2exx2

(C)yc1xex2. 设f(x,y)在点P0(x0,y0)的邻域有定义，则( )． (A) 若f(x,y)在点P0的偏导存在，一定在P0可微 (B) 若f(x,y)在点P0可微，一定有

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)f(x0,y0) limf(x,y)f(x0,y0)

(C) 若f(x,y)在点P0的偏导存在，一定有(D) 若

(x,y)(x0,y0)(x,y)(x0,y0)limf(x,y)f(x0,y0)，则f(x,y)在点P0一定可导

3．设f (x , y)是有界闭区域D：x2y2a2上的连续函数，则当a0时，二重积分

1a2f(x,y)dxdy的极限为( )．

D(A) 不存在 (B) f (0,0) (C) f (1,1) (D) f (1, 0) 4．设f(x,y)f(x,y)，D{(x,y)|x1,y1}，则f(x,y)d( )．

D (A) 0 (B) 4dxf(x,y)dy

0011(C)2dxf(x,y)dy (D)2dxf(x,y)dy

011011115．下列结论正确的是()．

(A) 若un收敛，则un必收敛 (B) 若un收敛，则un必发散

22n1n1n1n1(C) 若un收敛，则un不一定收敛 (D) 若un收敛，则un2必发散

2n1n1n1n16．若y1和y2是二阶齐次线性方程yP(x)yQ(x)y0的两个特解, 则

yC1y1C2y2(其中C1,C2为任意常数) ( )

(A) 是该方程的通解； (B) 是该方程的特解 (C) 是该方程的解 (D) 不一定是该方程的解 7.下列关于函数的结论中正确是( )．

(A) 驻点一定是可微分的极值点 (B) 可微分的极值点一定是驻点 (C) 有极大值一定有最大值 (D) 有最大值一定有极大值

8．设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是（）． (A) f(x0,y)在yy0处的导数等于零 (B)f(x0,y)在yy0处的导数大于零 (C) f(x0,y)在yy0处的导数小于零 (D) f(x0,y)在yy0处的导数不存在 9、dxf(x,y)dy( )．

001x(A)dyf(x,y)dx (B)dyf(x,y)dx

0000y11y(C)

dy011yf(x,y)dx(D)dyf(x,y)dx

001x10、下列级数中，条件收敛的是( )．

1 (A)  (B)

n1n1(1)n 2n1n1(1)(C)(D)(1)n1sin

nn1n1n12u11、设u(x,y)在平面有界闭区域D上具有连续的二阶偏导数，且满足0及

xy2u2u0，则u(x,y)的（ ）. x2y2(A) 最大值点和最小值点必定都在D的内部； (B) 最大值点和最小值点必定都在D的边界上； (C) 最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上； (D) 最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上． 12、设I1x2y21(x2y2)d，I2x2y21x2y2d，I3x2y213x2y2d，则( ).

（A）I1I2I3； （B）I3I2I1； （C）I1I3I2； （D）I2I1I3.

13、在下列级数中，收敛的是（ ）.

(1)n1n11（A） （B）sin （C）

3n2n12n1n1n1n1（D）n112n12

14、设zf(x,y)是有界闭区域D(x,y)x2y2a2上的连续函数，则当a0时，

1a2． f(x,y)dxdy的极限为（ ）

D(A)不存在 (B)f(0,0) (C)f(1,1) (D)f(1,0).

15、下列方程是一阶线性常微分方程的是（ ）．

(A)yy21；(B) y1xy210； (C) y2y2；(D) yxy20．

16、liman0是级数an收敛的 ( )．

nn1(A)充分条件；(B) 必要条件； (C) 充分必要条件；(D) 以上都不是．

17、已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且

(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点； (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点； (C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点；

(D) 不确定点(0,0)是否为f(x,y)的极值点．

(x,y)(0,0)limf(x,y)xy则( )． 1，222(xy)18、级数sinn的敛散性为 ( )． 22n1n1(A)发散；(B) 绝对收敛； (C) 条件收敛；(D) 无法判定．

19、设f(x,y)连续，且f(x,y)xyf(x,y)dxdy，其中D是由y0，yx2，x1D所围成的闭区域，则f(x,y)( )．

1(A)xy； (B)2xy； (C) xy； (D)xy1．

8

20、下列方程是一阶线性常微分方程的是 ( )．

(A)yy21；(B) y三、 计算题

1．求方程xyyxtan

y的通解及满足初始条件y|x1的特解. x21xy21； (C) y2y1；(D) yxy30．

1ycos,x2y20222．设函数f(x,y)，判断其在点0,0处的连续性和偏导xy0,x2y20数是否存在．

3．求函数zxln(xy)的二阶偏导数．

4．设隐函数zz(x,y)由方程xaz(ybz)所确定，且(t)可导，求

a

zzb． xy5.计算二重积分exydxdy, 其中 D{(x,y)||x||y|1};

D

6．计算二重积分(xsinx2y2)d，其中D: 2x2y242；

D

7. 求幂级数(2n1)xn的收敛域，并求其和函数。

n08.求一阶微分方程为yx2e2x2y满足条件yx00的特解.

xy22, xy0x2y29. 证明：f(x,y)在点(0,0) 处不连续但偏导数存在.

 0, x2y20

10.求函数zxln(xy)的二阶偏导数

11. 设函数f(u)可微,且f01,求zf4x2y2在点(1,2)处的全微分dz2D1,2

12. 设D:|x||y|1，求二重积分(xy)dxdy.

13. 计算二重积分ln(1x2y2)d，其中D为x2y21的圆域.

D(1)nn14、讨论级数2的敛散性，若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛.

n1n115、设

x2y, (x,y)(0,0)22f(x,y)xy，

0 , (x,y)(0,0)讨论f(x,y)在(x,y)(0,0)处的连续性，并求偏导数

fx(0,0)，

fy(0,0)；

z2z16、求由方程xyze确定的隐函数zf(x,y)的偏导数及2；

xxz17、求函数f(x,y)x33xyy2y6的极值点和极值； 18、求二重积分D1x2Dyxy，其中是由，及y2围成的区域； d2xy19、求二重积分D122D(x,y)1xy2； ，其中d22xyxn20、求幂级数n收敛域及和函数；

n13n21、求微分方程y22、设

2y20的通解； 1yxy2, (x,y)(0,0)f(x,y)x2y4，

0 , (x,y)(0,0)讨论f(x,y)在(x,y)(0,0)处的连续性，并求偏导数

zz及； xyfx(0,0)，

fy(0,0)；

23、设zf(x2y2,exy)，求

z2zxz24、求由方程ln确定的隐函数zf(x,y)的偏导数及2；

xxzy25、；求函数f(x,y)x23y24x9y3的极值点和极值；

26、；求二重积分xy2d，其中D是由y24x及直线x1围成的区域；

Dxn27、求幂级数收敛域及和函数 ；

n1n128、求微分方程

四、应用题 1. 求由曲线y

dyy2x1的通解 ； dxx1

和直线y4x,x2和y0围成的平面图形的面积以及所围成的x

图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体积.

2. 设某产品在两市场需求函数分别为q1705p1,q230p2，(q1，q2为需求量，p1，p2为价格)，如果产品的固定成本为20，每生产一单位产品成本增加8，求两市场价格分别定为多少为好？若两市场统一价格，应各投放多少产品？比较两种方案哪种方案更好？

1和直线y4x,x2所围成的平面图形的面积以及所围成的图形x绕x轴旋转一周所形成的旋转体积.

3. 求由曲线y4．某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为p1和p2，销售量分别为q1和q2，需求函数分别为q1240.2p1，q2100.05p2；总成本函数为

C3540q1q2。试问：厂家如何确定两个市场的售价，使其所获总利润最大？ 5、设曲线y1x2，x轴与y轴在第一象限所围的图形被曲线yax2(a0)分为面积相等的两部分，试确定a的值.

6、设某工厂生产某产品的生产函数为

f(x,y)12x20yx22y2

其中x,y分别是A,B两种生产要素的投入量，如果A,B两种生产要素的单价为别为5和10，且投入的总成本不超过100，求满足该条件的最大可能生产量为多少？此时A,B两种生产要素的投入量分别为多少？

7、求球x2y2z2R2和x2y2(zR)2R2相交部分的体积. 8、设x,y是某厂生产的A,B两种型号打字机的产量，其联合成本函数为

C(x,y)18x29y2

如果要求日产量为54台，求A,B两种型号的打字机各生产多少台时成本最低.

五、证明题 1、证明：

dye00aym(ax)f(x)dx(ax)em(ax)f(x)dx0a

2、设隐函数zz(x,y)由方程xaz(ybz)所确定，且(t)可导，证明

azzb1 xy3、设zf(x,y)是由方程(cxaz,cybz)0所确定的函数，其中可微.

证明：azzbc. xy4、设f(x)是定义在R上的连续的奇函数，D(x,y)x2y2R2， 证明：ef(xy)dxdyR2.

D