向量代数的基本运算解读

为了便于学习，我们把有关知识结合图形计算器做一简要总结。 向量代数的基本运算包括：

1.向量的表示：向量有两种表示方法，即a和AB。如果A(a1，a2，a3)(二维情形时A(a1，a2)，我们一般都指的是三维情形)，B(b1，b2，b3)，那么AB=[b1-a1，b2-a2，b3-a3]。在TI92中代数和几何都可以

给出向量的表示。(参阅案例二中的图6.1.2.1和6.1.2.2)

2.向量的加法和减法：有关这方面的基本知识不再重复。主要掌握平行四边形法则和三角形法则。TI-92图形计算器能够在代数运算和几何直观

上双重实现。但要注意的是，在图形计算器中，向量被看成是特殊的矩阵，也就是行阵或列阵。

3.向量的数乘：设a=[a1，a2，a3]，是一个实数，那么与a的乘积a等于[a1，a2，a3]。其几何意义是把向量a沿同向(当

>0时)放大倍，或把向量a沿反向(当<0时)放大倍。

4.向量的数量积(点积，内积)：向量a与向量b的点积是一个数量，其值等于向量a的长度(模)与向量b的长度(模)的乘积再乘以它们夹角的余弦，即

ababcos，其中是向量a与b的交角。

向量点积的坐标表示为aba1b1a2b2a3b3，其中a=[a1，a2，a3]，b=[b1，b2，b3]。

两个向量垂直的充分必要条件是它们的点积等于零。

即ab0ab。

在计算器中键入dotp(a,b)可以计算向量的点积。

由两个向量的点积可以计算出在两个向量的夹角，也就是

cosabab。

运算符为2ndcos，然后输入dotp(a,b)/(norm(a)*norm(b))，具体可以参见图示6.1.3.1和6.1.3.2。

(图6.1.3.1) (图6.1.3.2)

为了便于计算，可以通过按F4中的1，Define一个新的运算，比如(a,b)作为计算两个下列夹角的函数，这样以后只要输入不同的a和b就可以了。如图6.1.3.3所示。

(图6.1.3.3)

5.向量的叉积(向量积，外积)：向量a与向量b的叉积是一个向量，记成ab。其模等于向量a模与向量b模的乘积再乘以两个向量夹角的正弦，即ababsin。其方向如下决定：ab垂直a与b，并且a，

b，ab成右手系。

向量叉积的坐标表示为

ijkaba1a2a3，其中a=[a1，a2，a3]，b=[b1，b2，b3]。

b1b2b3两个向量的叉积等于零的充分必要条件是它们相互平行。

即ab0a//b

图形计算器里实现向量叉积的运算符为crossP(a,b)。

6.向量的混合积：三个向量a、b、c的混合积是一个数量，记成((abc)，它等于(ab)c。

a1a2a3其坐标表示为b1b2b3，其中a=[a1，a2，a3]，b=[b1，b2，

c1c2c3b3]，c=[c1，c2，c3]。

混合积的运算符为dotP(crossP(a,b),c)。通过定义新的函数，比如mp(abc)=dotP(crossP(a,b),c)，就可以得到混合积的直接输入方式。参见图示6.1.3.4。

(图6.1.3.4)