力的合成与分解例题

1.合力与分力：一个力如果它产生的效果跟几个力共同作用的效果相同，则这个力就叫那几个力的 ，而那几个力就叫这个力的 ，合力与分力之间是效果上的等效“替代”关系.求几个已知力的合力叫做 . 2.平行四边形定则：

3.两个力的合力

（1）F1与F2大小不变，夹角θ变化时，合力F的变化： θ=0°时， ， θ =90°时， ，

θ=180°时， 因此两个力的合力满足：F1F2≤F≤ F1+F2 当两力夹角变大时，合力F . （2）F1与F2夹角θ不变，使其中一个力增大时，合力F的变化：

分θ>90°和θ<90°两种情况讨论.

从图中可以看出，当θ>90°时，若F2增大，其合力的大小变化无规律.

当0°<θ<90°时，合力随着其中一个力的增大而增大.

（3）将菱形转化为直角三角形——两个大小为F的力，夹角为θ时，其合力大小为F合=2Fcos，方向在两个力夹角的平分线上.当θ=120°时，F合=F. 4．三力的合力：若F3满足F1F2≤F3≤ F1+F2，则三个力合力的最小值等于0.

或者说，表示三个力的线段如果能围成一个三角形，则这三个力的合力最小值为0.

2F

F

F1

F1 F2 F2

FA FB FC FD F1

A B C D F2

1

特别提醒：合力和分力遵循平行四边形定则，切不可直接代数求和

【例1】一运动员双手对称地握住单杠，使身体悬空.设每只手臂所受的拉力都是T，它们的合力是F，若两臂之间的夹角增大了，则( ) 和F都增大 和F都减小 增大，F不变 不变，F增大

【解析】以人为研究对象，人受到自身的重力和单杠对两手臂的拉力，很明显，两拉力的合力的大小和重力的大小相等，当两壁之间的夹角增大时，合力不变，T会变大. 【答案】C 考点二 力的分解

（1）求一个已知力的分力叫做 .力的合成与分解互为逆运算. （2）力的分解的原则：

（1）可以按力的作用效果分解， （2）按照题设条件分解； （3）正交分解.

特别提醒：将一已知力进行分解时，理论上有无数组解，但我们一般是按力所产生的实际效果分解或者是正交分解. 例2（08年汕头二模）杂技表演的安全网如图甲所示，网绳的结构为正方形格子，O、a、b、c、d……等为网绳的结点，安全网水平张紧后，若质量为m的运动员从高处落下，并恰好落在O点上，该处下凹至最低点时，网绳dOe，bOg均为120° 张角，如图乙所示，此时O点受到向下的冲击力大小为2F，则这时O点周围每根网绳承受的张力大小为（ ）

A．F B．

F 2 C.2Fmg D．

2Fmg 2【解析】以结点O为研究对象，O点受人对其作用力2F，还受到四根绳子的拉力，

2

每根绳子的拉力设为T，把拉力T正交分解，这四个拉力在竖直方向的合力等于2F，故有4Tcos602F，解得T＝F 【答案】A

【规律总结】本题结合生活实例，考查力的正交分解，关键在于分析清楚O点的受力.

考点三 利用力的合成与分解求力的两种思路

特别提醒：利用力的合成与分解能解决三力平衡的问题，具体求解时有两种思路：一是将重力按实际效果进行分解，将三力转化为四力，构成两对平衡力.二是某二力进行合成， 将三力转化为二力，构成一对平衡力.

【例3】如图2-2-7所示，在倾角为θ的斜面上，放一质量为m的光滑小球，球被竖直的木板挡住，则球对挡板的压力和球对斜面的压力分别是多少

【解析】思路一：小球受到重力mg、斜面的支持力N1、竖直木板的支持力N2的作用.将重力mg沿N1、N2反方向进行分解，分解为N1，、N2，，如图2-2-8所示.由平衡条件得N1= N1，=mg/cosθ，

N2= N2，=mgtanθ.

根据牛顿第三定律得球对挡板的压力和球对斜面

θ N1

的压力分别mgtanθ、mg/cosθ.注意不少初学者总习惯将重力沿平行于斜面的mg ，

θ 图2-2-7

N1 N2

，

图2-2-8 N2

方向和垂直于斜面方向进行分解，求得球对斜面的压力为mgcosθ.

F N2的作用. 思路二：小球受到重力mg、斜面的支持力N1、竖直木板的支持力N1 将N1、N2进行合成，其合力F与重力mg是一对平衡力.如图2-2-9所示.N1= mg/cosθ，N2= mgtanθ.

根据牛顿第三定律得球对挡板的压力和球对斜面的压力分别mgtanθ、mg/cosθ. 【答案】mgtanθ；mg/cosθ

【规律总结】当物体受三个力而处于平衡状态时，我们可以用合成知识求解，也

3

N2 θmg 图2-2-9 可以把重力按实际效果进行分解.

★ 高考重点热点题型探究

热点 力的合成与分解

【真题1】受斜向上的恒定拉力作用，物体在粗糟水平面上做匀速直线运动，则下列说法正确的是（ ）

A．拉力在竖直方向的分量一定大于重力 B．拉力在竖直方向的分量一定等于重力 C．拉力在水平方向的分量一定大于摩擦力 D．拉力在水平方向的分量一定等于摩擦力

f N Fy F θ Fx

【解析】以物体为研究对象，分析其受力如图: 水平方向有Fcosf 竖直方向有FsinNG 【答案】D

G 【名师指引】物体受多力平衡时，采用正交分解求解.即对物体进行受力分析，然后建立直角坐标系，把不在坐标轴上的力正交分解.

【真题2】如图所示，在倾角为θ的固定光滑斜面上，质量为m的物体受外力

F1和F2的作用，F1方向水平向右，F2方向竖直向上.若物体静止在斜面上，则下列关系正确的是（ ）

A．F1sinθ＋F2cosθ＝mg sinθ，F2≤mg B．F1cosθ＋F2sinθ＝mg sinθ，F2≤mg C．F1sinθ－F2cosθ＝mg sinθ，F2≤mg D．F1cosθ－F2sinθ＝mg sinθ，F2≤mg 【解析】以物体为研究对象，其受力如图所示： 沿斜面方向有:F1cosθ＋F2sinθ＝mg sinθ

【答案】B

【名师指引】当物体受多力平衡时，我们应该采用正交分解 θ 的方法来求解

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mg N F2 m θ F1 F2 m F1 新题导练：

1.在08年5．12汶川大地震的救援行动中，千斤顶发挥了很大作用，如图所示是剪式千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起.当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1．0×105N，此时千斤顶两臂间的夹角为 120°，则下列判断正确的是（ ）

A.此时两臂受到的压力大小均为5．0×104N B.此时千斤顶对汽车的支持力为2．0×105N

C.若继续摇动手把，将汽车顶起，两臂受到的压力将增大 D.若继续摇动手把，将汽车顶起，两臂受到的压力将减小

2.如图所示是山区村民用斧头劈柴的剖面图，图中BC边为斧头背，AB、AC边是斧头的刃面.要使斧头更容易劈开木柴，则（ ）

A．BC边短一些，AB边也短一些 B．BC边长一些，AB边短一些 C．BC边短一些，AB边长一些 D．BC边长一些，AB边也长一些

★三、抢分频道

◇限时基础训练

1．关于合力的下列说法，正确的是（ ） A．几个力的合力就是这几个力的代数和

B．几个力的合力一定大于这几个力中的任何一个力 C．几个力的合力可能小于这几个力中最小的力 D．几个力的合力可能大于这几个力中最大的力

2.某物体在n个共点力的作用下处于静止状态.若把其中一个力F1的方向沿顺时针方向转过90°，而保持其大小不变，其余力保持不变，则此时物体所受的合力大小为(

)

B.2F1

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3．为了行车方便与安全，高大的桥要造很长的引桥，其主要目的是（ ）

A．增大过桥车辆受到摩擦力 B．减小过桥车辆的重力

C．增大过桥车辆的重力平行于引桥面向上的分力 D．减小过桥车辆的重力平行于引桥面向下的分力 4．如图所示，在高山滑雪中，质量为m的运动员静止在准备区的O点，准备区山坡倾角为θ，滑板与雪地间的动摩擦因数为μ，这时（ ）

A.运动员受到的静摩擦力为μmgcosθ B.山坡对运动员的作用力为mg C.山坡对运动员的支持力为mg D.山坡对运动员的摩擦力大于mgsinθ

5.用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中,如图2-2-10所示.已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为300和600，则ac绳和bc绳中的拉力分别为（ ）

3113mg,mg B．mg,mg A．2222 a b c m

C．

3113mg,mg D．mg,mg 42246．如图所示，在倾角为45°的光滑斜面上有一圆球，在球前放一光滑挡板使球保持静止，此时球对斜面的正压力为N1；若去掉挡板，球对斜面的正压力为N2，则下列判断正确的是（ ）

A．N2N1 B．N2＝N1 C．N2＝2N1 D．N22N1

7.如图所示，一个半径为r、重为G的圆球，被长为r的细绳挂在竖直的光滑的墙壁上，绳与墙所成的角度为30°，则绳子的拉力T和墙壁的弹力N分别是

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12

( ) =G，NG 2 =2G，N=G

3233G D.TG,NG 233C.T3G,N8.如图所示，三段不可伸长的细绳OA、OB、OC,能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，其中OB是水平的，A端、B端固定.若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断的绳( ) A.必定是OA C.必定是OC

9．如图是给墙壁粉刷涂料用的“涂料滚”的示意图.使用时，用撑竿推着粘有涂料的涂料滚沿墙壁上下缓缓滚动，把涂料均匀地粉刷到墙上.撑竿的重量和墙壁的摩擦均不计，而且撑竿足够长，粉刷工人站在离墙壁一定距离处缓缓上推涂料滚，该过程中撑竿对涂料滚的推力将 ，涂料滚对墙壁的压力将 .（填：“增大”、“减小”或“不变”）

10．在日常生活中有时会碰到这种情况：当载重卡车陷于泥坑中时，汽车驾驶员按如图2-2-17所示的方法，用钢索把载重卡车和大树拴紧，在钢索的用较小的垂直于钢索的侧向拉力就可以将载重卡车拉出泥坑，你能否用学过的知识对这一做法作出解释．

◇基础提升训练

7

图2-2-17

B.必定是OB

D.可能是OB，也可能是OC

11.如图所示,轻杆左端插在竖直墙内固定,右端安有光滑轻滑轮.细绳的上端固定在竖直墙上,下端跨过滑轮与重G的物体相连.整个系统处于静止状态.已知杆处于水平位置,细绳的上段跟杆成α=30°角.关于细绳对滑轮的压力F,下列说法中正确的是 （ ） 的方向沿杆向左

的方向跟杆成30°斜向左下方 与G的大小相等 一定比G大

12.如图跳伞运动员打开伞后经过一段时间，将在空中保持匀速降落.已知运动员和他身上装备的总重力为G1，圆顶形降落伞伞面的重力为G2，有相同的拉线，一端与飞行员相邻(拉线重力不计)，另一端均匀分布在伞面边缘上(图中没

有把拉线都画出来)，每根拉线和竖直方向都成300角.那么每根拉线上的张力大小为（ ）

A.

3G13(G1G2) B.

1212α C.

(G1G2)G D.1 8413.如图所示，大小分别为F1、F2、F3的三个力恰好围成封闭的直角三角形（顶角为直角），下列4个图中，这三个力的合力最大的是（ ）

14．如图所示，一个重为30N的物体，放在倾角θ＝30°斜面上静止不动，若用F=5N的竖直向上的力提物体，物体仍静止，下述结论正确的是（ ） A．物体受到的摩擦力减小

F1 F3 F2 F1 F2 F3 F1 F2 F3 F1 F2 F3 A B C D

8

B.物体对斜面的作用力减小5N C.斜面受到的压力减小5N

D.物体受到的合外力减小5N

15．在如图所示装置中，两物体质量分别为m1、m2，悬点a、abb间的距离远大于滑轮的直径，不计一切摩擦，整个装置处于静止状态．由图可知

A．α一定等于β B．m1一定大于m2 C．m1一定小于2m2

D．m1可能大于2m2

m2m116.如图所示，绳OC与竖直方向30°角， O为质量不计的滑轮，已知物B重1000N，物A重400N，物A、B均静止.求： （1）物B所受摩擦力为多大 （2）OC绳的拉力为多大

◇能力提升训练

17．如图2-2-1，用轻滑轮悬挂重G的物体.绳能承受的最大拉力是2G，将A端固定，将B端缓慢向右移动d而使绳不断，求d的最大值.

18．压榨机如图2-2-22所示，B为固定铰链，A为活动铰链.在A处作用一水平

图2-2-1 A C O 30° B 9

力F，C就以比F大得多的力压D.已知L= m，h= m，F=200 N，C与左壁接触面光滑，求D受到的压力.

图2-2-22

19．用细绳AC和BC吊起一重物，两绳与竖直方向的夹角如图2-2-23所示，AC能承受的最大拉力为150 N，BC能承受的最大拉力为100 N.为使绳子不断裂，所吊重物的质量不得超过多少

20．如图所示，长为5m的细绳的两端分别系于竖立在地面上相距为4m的两杆顶端A、B.绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重为12N的物体，平衡时，B 绳中的张力T为多少

4m A 2. 常用的数学方法

（1）菱形转化为直角三角形。如果两分力大小相等，则以这两分力为邻边所作的平行四边形是一个菱形，根据菱形的两条对角线相互垂直平分，可将菱形转化成直角三角形。

（2）相似三角形法。在具体问题中，当表示力的大小的矢量三角形与其相应的几何三角形相似时，可利用相似三角形对应边的比例关系求解力的大小，特别是当几何三角形的边长为已知时，利用此法解题尤为简单。

（3）拉密原理：如果在共点的3个力的作用下，物体处于平衡状态，那么各力的大小

10

分别与另外两个力夹角的正弦成正比，如图所示，表达式为

F3F1F2。 sin1sin2sin3

问题3：解决平衡问题常用的数学方法：

表面光滑、半径为R的半球固定在水平地面上，球心O的正上方O＇处有一无摩擦定滑轮，轻质细绳两端各系一个小球挂在定滑轮上，如图所示。两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为L1=和L2=，则这两个小球的质量之比m1：m2为（不计球的大小）（ ）

A. 24：1 B. 25：1 C. 24：25 D. 25：24

答案：D

变式4：

如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O是球心，碗的内表面光滑。一根轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是m1、m2，当它们静止时，m1、m2与球心的连线跟水平面分别成60°和30°角，则碗对两小球的弹力大小之比是（ ）

A. 1：2 答案：B

（三）平衡物体的临界与极值问题：

1. 临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述。

解决这类问题的基本方法是假设推理法，即先假设怎样，然后再根据平衡条件及有关知识列方程求解。

2. 极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 解决这类问题的方法常用①解析法：即根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。②图解法：即根据物体的平衡条件作出力

B. 3:1

C. 1:3

D. 3:2

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的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。

问题4：平衡问题中的临界与极值问题分析：

如图所示，小球质量为m，用两根轻绳BO和CO系好后，将绳固定在竖直墙上，在小球上加一个与水平方向成60°夹角的力F，使小球平衡时，两绳均伸直夹角为60°，则力F的大小应满足什么条件

解析：小球的受力如图所示，根据物体的平衡条件可得：

水平方向：Fcos60°TBcos60TC0 竖直方向：Fsin60TBsin60mg0 由①②得TB

① ②

mgF

sin60TC2Fcos60mgcot60

mg3mg

2sin603mg23绳BO伸直的条件是TB0,由Fmg

sin603323故力F的大小应满足的条件为mgFmg.

33绳CO伸直的条件是TC0,由F

变式5：

一个底面粗糙、质量为m的劈放在粗糙水平面上，劈的斜面光滑且与水平面夹角为 30°，现用一端固定的轻绳系一质量也为m的小球，细绳与斜面的夹角为30°，如图所示。则：

（1）当劈静止时绳子的拉力大小为多少

（2）若地面对劈的最大静摩擦力等于地面对劈的支持力的k倍，为使整个系统静止，k值必须符合什么条件

12

4. 如图1所示，把一质量分布均匀的光滑球放在竖直墙ab与板cd

之间静止，cd与ab夹角为α。把球受到的重力G分解为垂直于ab的分力G1和垂直于cd的分力G2。若把板的d端缓慢向上移，使α角减少一些。则G1与G2大小的变化情况是

图1

A. G1变大，G2变大 B. G1变大，G2变小 C. G1变小，G2变大 D. G1变小，G2变小

小船在200m宽的河中横渡，水流速度是2m/s，船在静水中的航速是4m/s，求（1）当小船的船头始终正对着对岸时，它将在何时何处到达对岸（2）要使小船到达正对岸，应如何行驶耗时多少

解析：以小球为研究对象，其受力情况如图甲所示，对T和G进行正交分解，由平衡条件可得：Tcos30°=mgsin30°

3mg. 3（2）以劈和小球整体为研究对象，整体受力情况如图乙所示，由物体的平衡条件可得：

所以T13

f=Tcos60°

为使整个系统静止，其临界状态是静摩擦力f为最大值，即有 fmaxk[(Mm)gTsin60] 所以联立以上两式可得：k即k值必须满足k3m

6M3m3m.

6M3m

例4、如图所示，小车上固定着一根弯成α角的轻杆，杆的另一端固定一个质量为m的小球，试分析下列情况下杆对球的弹力的大小和方向：①小车静止；②小车以加速度a水平向右加速运动.③小车以加速度a水平向左加速运动

22答案：（①mg，竖直向上；②mga，与竖直方向夹角arctana；③gmg2a2，与竖直方向夹角arctana；） g【把汽车对千斤顶的压力按作用效果分解为对两臂产生压力，当夹角为120°时，两臂的压力均为1．0×105N，当继续把汽车顶起时，两分力的夹角变小，两臂的压力减小】

【根据力F产生的作用效果，可以把力F分解为两个垂直于侧面的力F1、F2，由对称性可知，F1=F2.根据力三角形△

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F1FLOF1F与几何三角形△ACB相似可得= 所以F1=F2=LddF 由于

F1=F1，F2=F2， 故F1=F2=F.故C正确】 限时基础训练

【合力和分力满足平行四边形定则，故CD正确】

2．B[物体受n个力处于平衡状态，则其中n－1个力的合力一定与剩下来的那个力等大反向，故除F1以外的其它各力的合力也为F1，且与F1反向，故当F1转过90°，合力应为2F1] 3．C【把重力分解即可】

4．B【人在准备区，所受的是静摩擦力，故f＝mgsinθ，N＝mgcos

Fac

Fbc

Ldθ，山坡对运动员的作用力是指摩擦力和支持力的合力，故B正确】 [如图：结点c受三个共点力作用处于平衡状态，可根据力的平行

mg 四边形定则画出受力图，由几何知识得：Fac＝mgsin60° , Fbc＝mgsin30°]

6．A【有竖直挡板时，把重力按实际效果进行分解N1＝G1＝

2G，撤掉挡板后，还是把重力按实际效果进行分解，可得N22G，故A正确】 27．D【把小球的重力按实际效果进行分解即可】

8．A【以结点O为研究对象，分析O点的受力易知OA绳子的拉力最大，故最先断】

F

θ N 9．解析：以涂料滚为研究对象，分析其受力,把杆对涂料滚的推力正交分解， 有FcosG,FsinN，当涂料滚上移时，θ减小，F减小，N减小. 答案：减小，减小

G 10．解析：力F作用于钢索O点，则O点将沿力的方向发生很小的移动，因此

AOB不在一直线上，成一个非常接近180°的角度，而且钢索也被拉紧，这样钢索在B端对卡车有一个沿BO方向的拉力FB，根据对侧向力F的实际效果分析，

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可将F分解成沿AO和BO方向上的两个力F1和F2，其中侧向力F沿BO方向的分力F2在数值上等于FB，由于AOB是同一根钢索，故F1=F2，根据平行四边形定则画出受力情况，由于∠AOB趋近于180°，故即使F较小，F2非常大，即FB非常大，故能将卡车拉出泥坑．

基础提升训练

11．BC【以滑轮为研究对象，因为是同一根绳子，故滑轮两边绳子的张力大小相等，又两张力之间的夹角为120°时，两张力的合力也为F，故BC正确】

12．A【以人为研究对象，把8根绳子的拉力正交分解，所有拉力水平方向的合力为零，竖直方向的合力和重力平衡，即8Fcos30G1解得F＝

3G1】 12[A图中，把F2平移，合力为2F1，同理，B图中合力为零，C图中合力为2F2，D图中合力为2F3]

14．AB【物体受到竖直向上的拉力5N，小于重力，故不能提起，合力仍然为零，D错误.拉力作用后，可等效为重为25N的物体放在斜面上处于静止状态，把等效重力正交分解，易知A正确，C错误，物体对斜面的作用力是指摩擦力和压力的合力，故B选项正确】

15． AC【以动滑轮为研究对象，分析动滑轮的受力易知AC正确】 16.解：对物体A：

T-GA = 0 ，所以T = GA= 400N 对滑轮O：

由于OA、OB绳中的拉力大小相等，OC绳在角BOA的角平分线所在直线上，所以BO与竖直方向的夹角为60°，

TC=2Tcos30°=3T = 4003N = 对物体B：Tcos30°- f = 0, f = Tcos30°= 2003N =

能力提升训练

17．如图2-2-2以与滑轮接触的那一小段绳子为研究对象，在

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N F1 G F2

任何一个平衡位置都在滑轮对它的压力（大小为G）和绳的拉力F1、F2共同作用下静止.而同一根绳子上的拉力大小F1、F2总是相等的，它们的合力N是压力G的平衡力，方向竖直向上.因此以F1、F2为分力做力的合成的平行四边形一定是菱形.利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合相似形知识可得d:l15:4，所以d最大为

15l. 418．解析：重物受到的三个力的方向已确定.当AC、BC中有一条绳的拉力达到最大拉力时，设FAC已达到FAC＝150 N，已知FBC＝FACtan30°＝ N＜100 N. G＝

FAC150= N＝172 N. cos3022G＝172 N时，FAC＝150 N，而FBC＜100 N，AC要断.所以G≤172 N，m≤ kg. 19.解析：根据水平力产生的效果，它可分解为沿杆的两个分力F1、F2，如图2-2-28a所示.

1FF2则F1＝F2==

cos2cos而沿AC杆的分力F1又产生了两个效果：对墙壁的水平推

力F3和对D的压力F4，如图2-2-28b所示，则F4=F1sinα=Ftanα 而tanα=

LLF0.5200 故F4== N=500 N. h2h20.11220．解析：设重物平衡时悬点为O，延长AO交B杆于C点，从C点向A杆作垂线CD交A杆于D点，如图1－2所示.因为CD=4 m，AOB是一条绳，挂钩光滑，所以挂钩两侧绳AO段与BO段的拉力必然相等，与竖直线的夹角也相等，因而OB=OC，故AC=5 m.设∠A=α，则sinα=

AD43=，cosα=，取O点为研究对象，将重物对O点的

5AC5拉力沿AO、BO延长线分解，由平衡条件得：

2Fcosα=G

F=

12G= N=10 N. 2cos23517

F 2 F1

图2-2-9

18

m θ