第２ｌ卷第５期 ２０１５年１０月 上洛戈 振（自然科学版） Ｖｂ１．２ｌ Ｎｏ．５ Ｏｃｔ．２０１５ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＳＨＡＮＧＨＡＩ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（ＮＡＴＵＲＡＬ ＳＣＩＥＮＣＥ） ＤＯＩ：ｉ０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７－２８６１．２０１４．０２．０１５ 基于位姿分离法的模块化机械臂逆运动学分析 雷静桃，戴文杰 （上海大学机电工程与自动化学院，上海２０００７２） 摘要： 分析了７自由度冗余机械臂的运动学正逆解，采用Ｄｅｎａｖｉｔ—Ｈａｒｔｅｎｂｅｒｇ（Ｄ．Ｈ）坐标法 进行正运动学建模，获得机械臂末端相对于基座的空间位姿；采用位姿分离法进行逆运动学建 模．求位置逆解时，由约束条件分别获得前４个关节角位移解析解；求姿态逆解时，采用欧拉角 表示机械臂末端相对于基座的姿态，减少了计算量．以ＳＣＨＵＮＫ模块化７自由度机械臂为例， 进行了运动学正逆解分析，并基于虚拟样机进行了仿真验证． 关键词：７自由度；冗余机械臂；逆运动学；位姿分离法 中图分类号：ＴＰ ２４２ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００７—２８６１（２０１５）０５—０５８８—１０ Ｉｎｖｅｒｓｅ ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｍｏｄｕｌａｒ ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ ｂｙ ｓｅｐａｒａｔｉｎｇ ａｔｔｉｔｕｄｅ ｆｒｏｍ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ＬＥＩ Ｊｉｎｇ—ｔａｏ，ＤＡＩ Ｗｅｎ—ｊｉｅ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｔｒｏｎｉｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，Ｓｈａｎｇｈａｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２０００７２，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ ｆｏｒ ａ ７－ＤＯＦ（ｄｅｇｒｅｅｓ ｏｆ ｆｒｅｅｄｏｍ）ｒｅｄｕｎｄａｎｔ ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ ｉｓ ａｎａｌｙｚｅｄ．Ｔｈｅ Ｄｅｎａｖｉｔ—Ｈａｒｔｅｎｂｅｒｇ（Ｄ—Ｈ）ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ａｎａｌｙｚｅ ｆｏｒｗａｒｄ ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ． Ｐｏｓｉｔｉｏｎ ａｎｄ ａｔｔｉｔｕｄｅ ｏｆ ｔｈｅ ｅｎｄ—ｅｆｆｅｃｔｏｒ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｔｈｅ ｂａｓｅ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ａｔｔｉｔｕｄｅ ｉｓ ｓｅｐａｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｎ ａｎａｌｙｚｉｎｇ ｉｎｖｅｒｓｅ ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ．Ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｎｖｅｒｓｅ ｋｉｎｅｍａｔ— ｉｃｓ，ａｎｇｕｌａｒ－ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍｅｒ ｆｏｕｒ ｊｏｉｎｔｓ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｕｎｄｅｒ ａ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ． Ｆｏｒ ｔｈｅ ａｔｔｉｔｕｄｅ ｉｎｖｅｒｓｅ ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ，ｔｈｅ Ｅｕｌｅｒ ａｎｇｌｅｓ ａｒｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ａｔｔｉｔｕｄｅ ｏｆ ｔｈｅ ｅｎｄ—ｅｆｆｅｃｔｏｒ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｔｈｅ ｂａｓｅ．Ｔｈｉｓ ｗａｙ，ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｒｅｄｕｃｅｄ．Ｆｏｒ ｔｈｅ ｍｏｄｕｌａｒ ７－ＤＯＦ ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ ｐｒｏｄｕｃｅｄ ｂｙ ＳＣＨＵＮＫ，ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ ｉｓ ａｎａｌｙｚｅｄ ａｎｄ ｖｅｒｉｆｉｅｄ ｂｙ ｖｉｒｔｕａｌ ｐｒ０ｔｏｔｙｐｉｎｇ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：７－ＤＯＦ；ｒｅｄｕｎｄａｎｔ ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ；ｉｎｖｅｒｓｅ ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ；ｓｅｐａｒａｔｉｎｇ ａｔｔｉｔｕｄｅ ｆｒｏｍ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ７自由度机械臂属于冗余自由度机械臂［１】．在机械臂末端ｆ以下简称末端）位姿确定的情况 下，非冗余机械臂的关节变量和末端位姿是一一对应的．而冗余机械臂和非冗余机械臂最大的 区别就在于自运动特性［２２．同样在末端位姿确定的情况下，冗余自由度机械臂有多组关节角 ］与之相对应，这就可以避开某些受限的关节角．７自由度机械臂因其具有避障、避奇异点、灵 活性好等优点【３】．因此得到广泛应用．７自由度机械臂末端位姿对应多组逆解，求解７自由度 机械臂逆解有一定难度，主要分析方法有梯度投影法［４］、神经网络算法【５］、遗传算法［６］等．文 收稿日期：２０１３—１２—０６ 基金项目：国家高技术研究发展计划（８６３计划）子课题资助项目（ＳＳ２０１２ＡＡ０４１６０４） 通信作者：雷静桃（１９７Ｏ一），女，副教授，研究方向为机器人技术．Ｅ－ｍａｉｌ：ｊｔｌｅｉ２０００￣１６３．ｃｏｍ 第５期 雷静桃，等：基于位姿分离法的模块化机械臂逆运动学分析 ５８９ 献［７】提出了第４个关节角的额外约束，运用了较多的矩阵变换．文献［８】采用位姿分离法求解 机械臂正逆解，用９个参数表示末端姿态． 本研究采用位姿分离法分析机械臂逆运动学．首先，采用Ｄｅｎａｖｉｔ—Ｈａｒｔｅｎｂｅｒｇ（Ｄ—Ｈ）坐 标法进行正运动学建模，姿态逆解时采用欧拉角表示末端相对于基座的姿态，将姿态变量减 为３个，从而减少了计算量． １正运动学分析 机械臂正运动学即根据机械臂的各关节变量求解机械臂末端的位姿．在机械臂各连杆上 建立Ｄ—Ｈ坐标系，计算相邻连杆间的齐次坐标变换矩阵，进而计算机械臂末端相对于基座的齐 次变换矩阵． １．１ 连杆坐标系及参数表 模块化机械臂由若干单自由度模块化关节和连杆串联而成，７自由度机械臂有７个关节， 初始状态为机械臂竖直向上的展开状态． 通过７自由度机械臂建立Ｄ—Ｈ坐标系（见图１），自下而上为机械臂的每个关节编号１ ７， ０ｔ表示各个坐标系原点，其中０１和０２重合，Ｄ３和０４重合，０５，ｏ６和Ｏ７重合．第１，３，５，７关 节的旋转轴线均垂直于地面，第２，４，６关节的旋转轴线与地面平行，其中第５，６，７关节的旋转 轴线相交于一点． 图１ Ｄ—Ｈ坐标系 Ｆｉｇ．１ Ｄ—Ｈ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｙｓｔｅｍｓ １．２ 机械臂正运动学 根据Ｄ—Ｈ坐标系，Ｄ—Ｈ参数如表１所示．相邻两连杆齐次坐标变换矩阵通式为 ｃ ａｉ－１ ＳＯｉＣＯ￣ｉ——１ －ｄｉｓｃ￣ｉ——１ ｓＯｉｓｃ￣ｉ——１ ０ ０ ０ ｄｉｃａｉ——１ １ 式中，０ｔ一１，ｏＬｉ一１， ， 为一组Ｄ—Ｈ参数，ｃ０ｉ＝ＣＯＳ ，ｓ０ｔ＝ｓｉｎ ５９０ 上海天 报（自然科学版） 第２１卷 表１ Ｄ．Ｈ坐标系参数 Ｔａｂｌｅ １ Ｄ—Ｈ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ 由式（１）依次计算机械臂相邻两连杆间的齐次坐标变换矩阵，则机械臂末端相对于基座的 齐次坐标变换矩阵为 佗 佗 佗 Ｏｘ ａｘ Ｐｚ ０ ＯＴ＝ ０ ｎ ｐ ＝眈 ０ ２ ・５ ・； ．ｉ ・｝ ・３ ．９ ， （２） 唱 ０ 睨 Ｏ ２ Ｏｚ ａｚ Ｐｚ ０ ０ ０ １ ０ ．一． ｌ ０ ０ ００ ０ ０ １ ０式中 Ｃ１ ｍＳ１ ０ ０ ｓ１ ｅｌ ０ ０ ０ ０ Ｔ＝ １ ｌ１ ０ １ ２Ｔ＝ ０ ０ Ｃ３ ０ －Ｓ３ ０ ０ ０ １ Ｚ２ ；Ｔ＝ －ｉ ＝ Ｓ３ －Ｃ３ ０ ０ ０ ０ ０ １ ２Ｔ＝ ，２Ｔ＝ 第５期 雷静桃，等：基于位姿分离法的模块化机械臂逆运动学分析 ５９１ Ｃ７ ０ －－Ｓ７ ０ ０ ０ １ ０ Ｓ７０ －Ｃ７ ０ ０ ０ ０ １ 其中Ｃｉ＝ＣＯＳ ，Ｓｉ：ｓｉｎ９ｉ，ｉ：１，２，…，７． 中各元素参见附录Ａ ２逆运动学分析 机械臂的逆运动学分析，即已知机械臂末端空间位姿，求解各关节变量，通常采用反变 换法、几何法和解析法等．７自由度机械臂运动学逆解是研究难点之一．从式（２）中的Ｐ ，Ｐ Ｐ 可以看出，机械臂末端位置只与前４个关节变量有关，６ｌ５， ６， ７与机械臂末端的空间位置无 关，仅与机械臂末端的空间姿态有关．故可采用位姿分离法进行７自由度机械臂逆运动学分析． ２．１机械臂位置逆解 由于７自由度机械臂是冗余的，因此进行逆运动学分析时，除了需给定末端位姿外，还需 增加机械臂的一个约束条件．最简单的方法即指定一个冗余关节，其关节角位移可以是转动范 围内的任意值． 前４个关节变量中第４关节变量可基于０１和０７的坐标用解析法直接求得，而第１，２关节 都会对末端位置产生直接影响，因此选取第３关节为冗余关节． 下面根据机械臂末端位置和 来求解 １， ２， ４． （１）关节变量 ４．由于机械臂的第２，４关节和末端关节的中心始终在同一平面上，因此可 以采用几何解析法求解 ４（见图２）． 图２运动学逆解示意图 Ｆｉｇ．２ Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｉｎｖｅｒｓｅ ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ 图２所示的Ａ０２０４０５中，采用余弦定理可求出ＺＯ２０４０５，则由 ４和ＺＯ２０４０５的互补关 系可求得 士￣－－ａｒｃｃｏｓ（ 塑 ））， 式中，１１＝０００２，１２＝０２０４，１３＝０４０５，末端位置坐标为（Ｐｘ Ｐ！，，Ｐ ）． ５９２ 上海天 报（自然科学版） 第２１卷 （２）关节变量 ２．由式（２）中 Ｐｚ＝ｌｌ＋１３（ｃ２Ｃ４一Ｃ３Ｓ２Ｓ４）＋／２ｃ２ 则 ＝士ａｒｃｓｉｎ ｚＰ－１１、／，Ａ。＋Ｂ。 一ａｒｃｓｉｎ（ ））， （４） ２，Ｂ＝－ｌａｓ４． 式中，Ａ ｅ３ｃ４＋１＝关节变量 １．由式（２）中 Ｐ ＝一／３（￥４（ＣＬＳ３＋Ｃ２Ｃ３ＳＩ）＋Ｃ４ＳＬＳ２）一／２ｓｉｓ２ 则 １ ａｒｃｓｉｎ－Ｐｖ ＋ ４）一１２ ｓｉｎ ／３ ｓｉｎ（０２ （５） ＝ ｌＩ 士 Ｃ ２．２ 机械臂姿态逆解 ｎ 下面根据期望的机械臂末端姿态，求解关节变量 ５， ６和 ７．设定 —Ｙ一名欧拉角（ ， ， ）表 示机械臂末端相对于基座的空间姿态，则用欧拉角表示的末端相对于基座的齐次变换矩阵为 ｃｎｃｐｃ，ｙ—Ｓｃ￣Ｓ．／， －／（ｊ２／ —Ｄ—Ｅ ＦＣｃｘＣＢＳ７——Ｓｃ￣Ｃ－）， ｃａｓｆｌ ２Ｔ＝ ｓ。ｃ ｃ，ｙ十ＣａＳ－ｙ —－Ｓ￣ＣｆｌＳ７＋Ｃｃ￣Ｃ，７ ｓａｓｆｌ ｓｆ￣ｓ．ｙ Ｃ口 ｓ ｃ ０ ０ ０ 由于 已知，且已求得 １—０４，则ＯＴ可由 ＯＴ＝２Ｔ・ Ｔ・；Ｔ・ｉＴ 求得．由 ＯＴ＝２Ｔ＿。・ＯＴ 为已知，可求得 ５， ６和 ７，即 式中 Ｃ＝ｃ￣ｃ２ｃａ—Ｃ／￣Ｃ３Ｓ２Ｓ４一ｃｎＳ／３Ｃｌ Ｃ４Ｓ２—８ ８￣Ｃ４Ｓ１ ８２＋ｃａＳｊ３Ｓ１ Ｓ３８４ 一ｓ ８口ｃ１ｓ３ｓ４一ｃ ｓ卢ｃ１ｃ２ｃ３ｓ４一ｓＱ 卢 ２ｃ３ｓ１８４’ Ｄ＝ｃｆ￣ｓ２ｓ３＋ｃａＳｆ￣Ｃ３Ｓ１一ｓａＳｆｌＣｌＣ３＋ｃａｓｆ￣ｃｌｃ２ｓ３＋ｓｎＳｆ￣Ｃ２ＳｌＳ３， Ｅ：Ｃ￣Ｃ２Ｓ４＋Ｃ／３Ｃ３Ｃ４Ｓ２一ｃａＳ￣ＣｌＳ２Ｓ４一ｃａＳｆｌＣ４ＳＩ￥３ ＋ｓａＳ／３ＣｌＣ４Ｓ３一ＳａＳ／３ＳＩＳ２Ｓ４＋Ｃｃ￣Ｓ／３ＣｌＣ２Ｃ３Ｃ４＋ｓａｓ口ｃ２ｃ３ｃ４ｓ１， Ｆ＝ｓｐｓ Ｃ２Ｃ４一ＣａＣ Ｃ４Ｓ１Ｓ２＋Ｃ７Ｓ ＣＬＣ４Ｓ２一ｃＱｃ Ｃ１Ｓ３￥４一ｓａｃ—ｒ８１Ｓ３Ｓ４一ｓ ｓ Ｃ３８２Ｓ４ ＋ｃ ＣＢＳ，７ＣＩＣ４Ｓ２一ＣａＣ，，／Ｃ２Ｃ３ＳＩＳ４＋Ｓｃ￣Ｃ－），ＣｌＣ２Ｃ３Ｓ４＋ｓａｃ ８一ｙｃ４ｓ１ｓ２一ｃａｃｐｓ—ｙ８１ｓ３ｓ４ 第５期 雷静桃，等：基于位姿分离法的模块化机械臂逆运动学分析 ＋ｓ ｃ ｓ１ｃ１ｓ３ｓ４＋ｃ ｃ卢８，ｙｃ１ｃ２ｃ３ｓ４＋ｓａｃ ｓ—ｙＣ２Ｃ３ＳＩＳ４， ５９３ Ｇ＝Ｓｏ￣Ｓ，－ｆ．ＣＩＣ４Ｓ２一ｃａｓ７ｃ４ｓｌｓ２一ＳＤＣ？Ｃ２Ｃ４一ＣｏＬＳ，ＴＣ１Ｓ３Ｓ４＋ｓｚｃ Ｃ３Ｓ２Ｓ４一ｓｎｓ７Ｓ１Ｓ３Ｓ４ 一ｃ ｃ ｃ ｃ１ｃ４ｓ２一ｓＱｃ卢ｃ—ｙｃ４ｓ１ｓ２十ｃＱｃ卢ｃ ｓ１ｓ３ｓ４一ｓＱｃ ｃ—ｒｃ１ｓ３ｓ４一ｃａ８１ｃ２ｃ３ｓ１ｓ４ ＋８ａＳ￣ＣｌＣ２Ｃ３Ｓ４一ｃＱｃ卢ｃ—ｙｃ１ｃ２ｃ３ｓ４—８ ｃ口ｃ７Ｃ２Ｃ３Ｓ１８４． 假设机械臂末端的空间姿态即欧拉角已知，则由式（６）可确定关节变量 ５， ， ７． ２．３计算示例 ２．３．１机械臂结构参数 以ＳＣＨＵＮＫ公司的模块化７自由度机械臂为例，根据期望末端空间位姿，通过运动 学逆解计算各关节角位移．７自由度机械臂结构如图３所示．机械臂结构参数为ｆ１： ２９３．５１ＴＩ１ＴＩ，１２＝３４０．０ｍｍ，１３＝２９４．５ｍｍ． 图３模块化７自由度机械臂 Ｆｉｇ．３ Ｍｏｄｕｌａｒ ７－ＤＯＦ ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ ２．３．２末端期望空间位姿 选择机械臂末端点为第５，６，７关节回转轴线的交点，末端姿态用欧拉角表示．机械臂初始 状态为竖直展开状态． （１）设定末端期望位置．设末端期望运动轨迹共１００ Ｓ，由以下３个分段函数组成：当０≤ ｔ＜４０时， ｌｒ Ｐ ＝ ｛【 ： ｐ ＝ 当４０≤ｔ＜６０时， 上海戈 报（自然科学版 ５９４ 第２１卷 当６０≤ｔ≤１００时， ｐ￣－－－－－７．５Ｘ／２扎－ 机械臂末端期望运动轨迹如图４所示 蟊ｆｚ ，ｌＩ－ｌ＿＿Ｊ ｌｌＩＩ【 ＝ ｘ／ｍｍ Ｉ Ｊｌ ｌ圈４设定的末端轨迹 Ｆｉｇ．４ Ｐｒｅｄｅｆｉｎｅｄ ｔｒａｃｋ。ｆ ｔｈｅ ｅｎｄ—ｅ船。ｔ。 仳一 疵一邶 一螂 景 ＿；（２）设定末端期望姿态．机械臂末端姿态用欧拉角表示，设定欧拉角如下：当。≤ ＜ ４０时， 兀一十 ＋ 一 ＋ ＋冗一６ 一当４０≤ ＜６０时， ｒ 一 ≮Ｉ ＝一 【７ 一 当６０≤ｔ≤１００时， 设定的机械臂末端姿态变化如图５所示 ５９６ 上海戈 报（自然科学版） 第２１卷 通过机械臂虚拟样机仿真，得到末端运动轨迹在３个坐标轴上的投影，如图８（ａ）和（ｂ）所 示．与图４设定的期望轨迹对比，可以看出：理论计算与仿真结果一致． 通过机械臂虚拟样机仿真，获得的机械臂末端姿态用欧拉角表示，如图８（ｅ）所示．与 图５设定的期望姿态对比，可以看出：理论计算与仿真结果基本一致． 重 臣 譬 一 一一 １ ｓ 八 ’ ０ 鲁９５０ａ （ａ）机械臂末端沿ｘ轴和 轴方向位移 ．．．。。． 莹８００ ０ ；０ ｌ －ｌ ｌ ｌＶ ｌ ● Ｉ Ｉ 吾７５０ ０ ｌ０ ２Ｏ ３Ｏ ４０ ５０ ５０ ７０ ８０ ９０ １Ｏ０ ｓ ｔ／ｓ （ｂ）机械臂末端沿ｚ轴方向位移 （ｃ）机械臂末端位姿 图８ ＡＤＡＭＳ仿真结果 Ｆｉｇ．８ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎ ＡＤＡＭＳ ４ 结束语 冗余机械臂能提高机械臂的灵活性，但会增加机械臂逆运动学求解难度．本研究采用位姿 分离法，求解７－ＤＯＦ机械臂逆运动学解析解．求姿态逆解时，采用３个欧拉角描述姿态，减少 了运算量．以ＳＣＨＵＮＫ机械臂为例，进行运动学正逆解分析，并基于虚拟样机技术进行了仿 真验证． 参考文献： 【１】陈鹏，刘璐．一种仿人机械臂的运动学逆解的几何求解方法【Ｊ］．机器人，２０１２，３４（２）：２１１—２１６． （２】ＤＡＧＲＡＣＡ Ｍ Ｍ，ＦＥＲＮＡＮＤＯ Ｂ Ｍ Ｄ，ＭＡＣＨＡＤＯ Ｊ Ａ Ｔ．Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｉｎ ｔｈｅ ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｒｅｄｕｎｄａｎｔ ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，２００８，１３（９）：１８３６—１８４４． ［３】张秋毫，孙汉旭，叶平，等．冗余度机器人附加速度避障方法【Ｊ】．机电产品开发与创新，２００４，１７（３）： ４－６． ［４】赵建文，李来航，左志远．冗余度机器人梯度投影逆解算法的改进【Ｊ】．机械科学与技术，２００９，２８（５）： ６１８－６２１． ［５】ＹＵＮ Ｙ Ｓ，ＭＯＯＮ Ｃ．Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ａｄａｐｔｉｖｅ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｉｎｄｕｓｔｒｉａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００３，１０（４）：５８４—５９０． ［６ ＷＡＮＧ Ｊ６］ Ｐ，ＸＵ Ｃ Ｓ，ＳＵＮ Ｘ Ｊ，ｅｔ ａ１．Ａ ｎｏｖｅｌ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｉｎ ｖａｒｉａｂｌｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｒｏｂｏｔ【Ｊ】．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈａｎｇｈａｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｅｎｇｌｉｓｈ Ｅｄｉｔｉｏｎ，２００５，９（３）： ２５５—２６０． ［７】王海，蔡风英，张为公．一种７ＤＯＦ机械臂逆运动学解析算法及其应用【Ｊ】＿江苏大学学报：自然科学 版，２０１１，３２（３）：２５４－２５９． ｆ８】徐俊虎，栾楠，张诗雷，等．７自由度机械臂的运动学逆解与优化［Ｊ］．机电一体化，２０１１，６：２８—３３． 附录Ａ 式（２）齐次坐标变换矩阵 中各元素值如下： 孢一： ＋ （ （。 （ －Ｃ１ ｃ３卜ｃｌｃ ｓ２）’％（ｃ５（ｃ４（ｓ１ｓ。 ｃ２ｃ３）＋ｃ１ｓ ｓ４）＋Ｓ５（ｃ３ ＋ｃｌｃ２ｓ。））） ｌ ３～ＣＬＣ２Ｃ３）＋ｃ１￥２８４）一ｃ５（ｃ３ｓ１＋ｃ１ｃ２８３））一 ， 他 二 ８７ 一３））， ｃ４（ｃ１ｓ３＋Ｃ２Ｃ３Ｓ１）一￥１Ｓ２Ｓ４）一ｃ５（ｃＩｃ３一ｃ２ｓ１ｓ＂￣－Ｃ２Ｃ３Ｓ１）＋Ｃ４ＳＩＳ２）一ｃｅ（ｃ５（ｃ （ｃｌｓ３＋ｃ￣ｃ３ｓ１）－ＳＩＳ２８４）＋ｓ５（ｃ１ｃ３ ｓ１ｓ。））） ’‘上。 川 ｎｒ）ｚ ‘Ｃ ‘。 ‘。。 ４＋。３ｃ４ｓ ？——ｓ Ｓ。８ｓ）＋ｓ。（ｃ。ｃ ——ｃ３ｓ。ｓａ１１——ｓ （ｓ （Ｃ２Ｓ４￣－Ｃ３Ｃ４Ｓ２）＋ 。 。），Ｔ（Ｓ５（Ｃ ４（ＳｌＳ一 ，。（ （ （ ３一 ｌＣ２Ｃ３）＋Ｃ１８２Ｓ４）＋ｓ５（ｃ３ｓ１＋ｃｌｃ２ｓ３）））， ｃ２３二吼２ｃ３）＋ 。ｓ４）一ｃ５（ｃ。ｓ ＋ｃ１ 。－）／）Ｊ ｓ－７（ 。 椭 ：） … ｃ￣ｓ１）＋ｃ４ｓ１８ ）——ｃｓ（ｃ５（ｃ （ｃ ８３＋ｃ２ｃ３８１）————８７４ （ ８６ （￥３ ＋（Ｃ １Ｓ——— ｒ。， 【 【 （ ｌ ３＋Ｃ２Ｃ３Ｓ１）——ＳＩＳ２Ｓ４）——ｃ５ ｃｌｃ３ｃ２ｓ１ｓ３））。ｒｒｓ ｓ ｓ４）＋８５（ｃ ｃ３—— 。ｓ ３））） 。 ．ｕ ～ｃＴ（ｓ￣（ｃ２ｓ４＋ｃ３ｃ４ｓ２）￣Ｃ５８２８３）一ｓ７（ｃ６（ｃ５（ｃ ８ ＋ｃ３ｃ ８ １－－￥２￥３Ｓ５）＋８６（ｃ 一。。８ ｓ４））ａ ｘ￣－－ｃ６（ｓ４（ｓ１ｓ３－－ＣＬＣ２Ｃ３）－－ｃｌｃ４ｓ２）＋ （ｃ５（ｃ４（ 。～ ｓ）＋ｃｓ２ｓ４）＋ ｓ５（ 。－ ｃＧ（ｙ＝ｓ４（ｃｌｓ３＋ｃ２ｃ３ｓ１） ＋ ｃ４ｓ￣ ）－ｓ６（ｃ５（ｃ４（ｃｌｓ３－－｝－ｃ２ｃ。ｓ１） －－ｊ ， 一…、２８３８５）、 口 ＝ｃ６（ｃ２ｃ４——ｃ３８２ｓ４）——ｓ６（ｃ５（ｃ２ｃ４＋ｃ３ｃ４ｓ２）—ｓ…—ｓ。ｓ４）＋ 。二 ））Ｉ 。 。 。３ ’ Ｐｘ 。【 ４【 ｌ ３一ＣＩＣ２Ｃ３）一ＣＬＣ４Ｓ２）一１２ｃ１ｓ２， ｐ ～ｆ３【 ４（ｃ１ｓ３＋Ｃ￣Ｃ３Ｓ１）＋ｃ４ｓ１ｓ２）一１２ｓ１８２，
