19.10 极坐标系

极坐标系

学习目标：

1. 了解极坐标系的定义；

2. 能根据极坐标系的定义确定点的极坐标；

3. 根据极坐标系与直角坐标系的关系，将点的极坐标与直角坐标进行转化 学习重点：

1. 理解极坐标的意义； 2. 熟练继续两种坐标的转化。 计划课时：

二课时

学习过程：

【基础知识导学】

1． 极坐标系和点的极坐标

极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。规定：

当点M在极点时，它的极坐标0,可以取任意值。

2． 平面直角坐标与极坐标的区别

在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x，y）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽

然一个有序实数对(,)只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对对应(,)，极坐标系中的点与有序实数对极坐标

(,)不是一一对应的。

3． 极坐标系中，点M(,)的极坐标统一表达式(,2k),kZ。

4． 如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示，

同时，极坐标(,)表示的点也是唯一确定的。

5． 极坐标与直角坐标的互化

（1） 互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X轴的正方向重合；③

两种坐标系中取相同的长度单位。

xcos（2） 互化公式，

ysin

2x2y2。 ytan,x0x1

【知识迷航指南】 【例1】

在极坐标系中，描出点M(2,3)，并写出点M的统一极坐标。

【点评】点M(2,M 3O )的统一极坐标表示式为(2,2k3)，如果允许0，还可以表

示为(2,(2k1)3)。

X

【例2】已知两点的极坐标A(3,),B(3,)，则|AB|=______,AB与极轴正方向所成的26角为________.

0

解:根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=60,即∆AOB为等边三角形,所以|AB|=|AO|=|BO|=3, ∠ACX=

5 6【点评】在极坐标系中我们没有定义两点间的距离,我们只要画出图形便可以得到结果. 【例3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线. (1)3,(R) 4(2)sin2cos

【解】(1)根据极坐标的定义,因为tan3y,即yx,所以方程表示直线. 4x2(2)因为方程给定的不恒为0,用同乘方程的两边得:sin2cos

22化为直角坐标方程为xyy2x,即(x1)(y)212215,这是以(1,)为

24圆心,半径为

5的圆. 2【点评】①若没有R这一条件,则方程表示一条射线.

②极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘,使之出现是常用的方法.

2

【课堂能力测试】

1．已知点的极坐标分别为A(3,坐标。

2

4)，B(2,23)，C(,)，D(4,)，求它们的直角322

2.已知点的直角坐标分别为A(3,3),B(0,

3．已知点M的极坐标为(5,5),C(2,23)，求它们的极坐标。 3A.(5,)

3

)，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标的是（ ） 3425B.(5,) C.(5,) D.(5,)

3334．点P的直角坐标为(1,3)，则点P的极坐标为（ ）

A.(2,)

3

B.(2,4) C.(2,) 33

D.(2,4) 3课堂小结：

【课后强化训练】

1．在极坐标中，若等边∆ABC的两个顶点是A(2,是（ ）

4)、B(2,5)，那么顶点C的坐标可能4

A.(4,3) 4

B(23,3) C.(23,) 4D.(3,)

2．在极坐标系内，点(3,A（3，0）

.(R)的对称点坐标为（ ）

26211B(3,) C(3,) D(3,)

236)关于直线2855)..R(2,)..M(2,).N(2,2k)(kZ)33333.若P(2,3)是极坐标系中的一点，Q(2,四点中与P重合的点有（ ）

A．1个 B 2个 C 3个 D 4个 4．极坐标方程cos2..(0)表示的曲线是（ ） 2A 余弦曲线 B两条相交直线 C 一条射线 D 两条射线 5．极坐标系中，点A的极坐标是(3,6)，则 （1）点A关于极轴对称的点是_______.

(2) 点A关于极点对称的点的极坐标是___. (3) 点A关于直线

3

2的对称点的极坐标是________.(规定: (0)0,2

【知识要点归纳】

一、(1)要注意直角坐标与极坐标的区别,直角坐标系中平面上的点与有序实数对(x,y)是一一对应的,在极坐标系中,平面上的点与有序实数对(,)不是一一对应的,只有在规定

(0,0,2)的前提下才一一对应.在解题时要注意极坐标的多和表示形式.

(2)直角坐标与极坐标互化要注意互化的前提.若要判断曲线的形状,可先将极坐标方程化为直角坐标方程,再判断. 二、坐标系

〔课堂能力测试〕 1． A（

322,322) B(1,3)C(32,0)D(0,4)2． A(23,56)B(3,32)C(4,43). 3、A、4、C 〔课后强化训练〕

1、B 2、D 3、C 4、D 5（1）(3,116) （2）(3,76)

3）(3,56) 4

（