拉格朗日中值定理求极值的方法

引言

拉格朗日中值定理是微积分中一个非常重要的定理，它提供了一种求解函数在某个区间上的极值问题的方法。通过拉格朗日中值定理，我们可以将求极值的问题转化为求导数为零的问题，从而简化计算过程。本文将详细介绍拉格朗日中值定理及其应用。

拉格朗日中值定理概述

拉格朗日中值定理是法国数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日在18世纪提出的。它是微积分学中一个重要的基本定理，用于描述函数在某个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。

具体来说，设函数𝑓(𝑥)在闭区间[𝑎,𝑏]上连续，并且在开区间(𝑎,𝑏)内可导。那么存在𝑐∈(𝑎,𝑏)使得𝑓′(𝑐)=

𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎

。

换句话说，存在一个点𝑐位于开区间(𝑎,𝑏)内，在这个点处函数𝑓(𝑥)的导数等于函数在闭区间[𝑎,𝑏]上的平均变化率。

求解极值问题

利用拉格朗日中值定理，我们可以将求解函数在某个区间上的极值问题转化为求导数为零的问题。具体步骤如下：

1. 确定函数𝑓(𝑥)在闭区间[𝑎,𝑏]上连续，并且在开区间(𝑎,𝑏)内可导。 2. 计算函数𝑓(𝑥)在闭区间[𝑎,𝑏]上的平均变化率3. 求导数𝑓′(𝑥)，并令其等于平均变化率4. 解方程𝑓′(𝑥)=

𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎

𝑏−𝑎

𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎

。

𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎

𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)

，得到方程𝑓′(𝑥)=。

，得到方程的根𝑐。

5. 根据拉格朗日中值定理，点𝑐即为函数𝑓(𝑥)在闭区间[𝑎,𝑏]上的极值点。 需要注意的是，在应用拉格朗日中值定理进行求解时，我们需要满足以下条件： • •

函数𝑓(𝑥)在闭区间[𝑎,𝑏]上连续，并且在开区间(𝑎,𝑏)内可导。 闭区间[𝑎,𝑏]不包含任何奇点（即函数不可导的点）。

拉格朗日中值定理的应用

拉格朗日中值定理广泛应用于求解各种极值问题，下面将介绍几个常见的应用。

1. 求函数在某个区间上的最大值和最小值

通过拉格朗日中值定理，我们可以找到函数在某个区间上的极值点。进一步求解这些极值点对应的函数值，就可以得到函数在该区间上的最大值和最小值。 具体步骤如下：

1. 确定函数𝑓(𝑥)在闭区间[𝑎,𝑏]上连续，并且在开区间(𝑎,𝑏)内可导。 2. 计算函数𝑓(𝑥)在闭区间[𝑎,𝑏]上的平均变化率3. 求导数𝑓′(𝑥)，并令其等于平均变化率4. 解方程𝑓′(𝑥)=

𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎

𝑏−𝑎

𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎

。

𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎

𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)

，得到方程𝑓′(𝑥)=。

，得到方程的根𝑐。

5. 根据拉格朗日中值定理，点𝑐即为函数𝑓(𝑥)在闭区间[𝑎,𝑏]上的极值点。进一

步计算𝑐对应的函数值𝑓(𝑐)，即可得到函数在该区间上的最大值和最小值。 2. 判断函数单调性

利用拉格朗日中值定理，我们可以判断函数在某个区间上的单调性。具体步骤如下： 1. 确定函数𝑓(𝑥)在闭区间[𝑎,𝑏]上连续，并且在开区间(𝑎,𝑏)内可导。 2. 求导数𝑓′(𝑥)。

3. 如果导数𝑓′(𝑥)在闭区间[𝑎,𝑏]上恒大于零（或恒小于零），则函数𝑓(𝑥)在该

区间上是递增的（或递减的）。 4. 如果导数𝑓′(𝑥)在闭区间[𝑎,𝑏]上既大于零又小于零，则函数𝑓(𝑥)在该区间上

不是单调的。 3. 判断函数凹凸性

利用拉格朗日中值定理，我们还可以判断函数在某个区间上的凹凸性。具体步骤如下：

1. 确定函数𝑓(𝑥)在闭区间[𝑎,𝑏]上连续，并且在开区间(𝑎,𝑏)内可导。 2. 求导数𝑓′(𝑥)和二阶导数𝑓″(𝑥)。

3. 如果二阶导数𝑓″(𝑥)在闭区间[𝑎,𝑏]上恒大于零（或恒小于零），则函数𝑓(𝑥)

在该区间上是凹的（或凸的）。 4. 如果二阶导数𝑓″(𝑥)在闭区间[𝑎,𝑏]上既大于零又小于零，则函数𝑓(𝑥)在该区

间上不是凹的也不是凸的。

总结

拉格朗日中值定理是微积分中一个重要的定理，用于求解函数在某个区间上的极值问题。通过该定理，我们可以将求极值的问题转化为求导数为零的问题，从而简化计算过程。本文介绍了拉格朗日中值定理的基本概念、求解极值问题的步骤以及其在最大最小值、单调性和凹凸性判断中的应用。希望读者通过本文对拉格朗日中值定理有一个更深入的了解，并能够熟练运用它解决实际问题。