河北省武邑中学2019届高三上学期第三次调研考试
数学（文）试题
(考试时间：120分钟 总分：150分)
一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1.若集合A. C. 【答案】B 【解析】 【分析】
求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的并集即可． 【详解】由A中不等式变形得：x（x-3）＜0， 解得：0＜x＜3，即A={x|0＜x＜3}， ∵B={x|-1＜x＜2}， ∴A∪B={x|-1＜x＜3}， 故选：B．
【点睛】本题考查了并集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2.已知是虚数单位，表示复数的共轭复数．若A.
B.
C.
D.
，则
B. D.
，
，则
（ ）
【答案】B 【解析】 因为
，所以
，所以
．
故选B． 3.幂函数
在
上是增函数,则
( )
A. 2 B. 1 C. 4 D. 2或-1
【答案】A 【解析】 【分析】
2
根据幂函数的定义得到，m-m-1=1，再由单调性得m＞0，求出m即可．
【详解】由幂函数的定义，得： m2-m-1=1， ∴m=-1或m=2，
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，且m∈Z， ∴m＞0， ∴m=2． 故选A.
【点睛】本题考查幂函数的定义和单调性，属于基础题． 4.已知幂函数A. B. 【答案】A 【解析】 【分析】
先利用待定系数法将点的坐标代入解析式求出函数解析式，再将x用2代替求出函数值． 【详解】由设f（x）=x，图象过点∴
，解得a=，
a
的图象过点 C. 2 D. －2
，则log4 f(2)的值为（ ）
，
∴故选：A．
．
【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式、知函数解析式求函数值． 5.已知
，则函数f(x)=(a-2)x+b为增函数的概率是（ ）
2
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】
【分析】
首先求出所以事件个数就是集合元素个数5，然后求出满足使函数为增函数的元素个数为3，利用公式可得．
【详解】从集合{-2，0，1，3，4}中任选一个数有5种选法，使函数f（x）=（a-2）x+b为增函数的是a-2＞0解得
2
2
或者 ，所以满足此条件的a有-2，3，4共有3个，
2
由古典概型公式得函数f（x）=（a-2）x+b为增函数的概率是；
故选：B．
【点睛】本题考查了古典概型的概率求法；关键是明确所有事件的个数以及满足条件的事件公式，利用公式解答． 6.若圆的半径为1，其圆心与点A. C. 【答案】C 【解析】 【分析】
先写出圆心的坐标(0,1),再求出圆C的标准方程. 【详解】由题得圆心坐标为（0,1），所以圆的标准方程为故答案为：C
【点睛】(1)本题主要考查圆的标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求圆的方程一般利用待定系数法，先定位后定量.圆的标准方程为
7.双曲线A. B. 【答案】A 【解析】 ∵抛物线的方程为∴抛物线的准线方程为∵双曲线
的准线上
的一个顶点在抛物线的 C.
D.
的准线上,则该双曲线的离心率为
.
B. D.
关于直线
对称，则圆C的标准方程为( )
的一个顶点在抛物线的
∴双曲线的顶点坐标为∴
又∵b=1
∴c=，则双曲线的离心率为故选A
点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，，代入公式齐次式，结合
；②只需要根据一个条件得到关于，，的
.
转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于
的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)． 8.已知直线l：y=k(x+2)（k>0）与抛物线C：
，则
A. B. 【答案】D 【解析】 由解得：
消去y得：，设
。得：
，代入（1）
，
。
且
( )
相交于A、B两点，F为C的焦点，若
C. D.
由根据抛物线定义及
由（2）（3）解得：。故选D
9. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4
节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（ ） A.
升 B.
升 C.
升 D. 1升
【答案】A 【解析】 试题分析：依题意
，解得
，
故.
考点：等差数列的基本概念.
10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A 【解析】
试题分析：由三视图可知，从左往右为半个圆锥，一个圆柱，一个半圆，故体积为
.
考点：三视图.
11.已知定义在R上的函数（ ） A. C. 【答案】B 【解析】 【分析】
由f（x）=f（x+2）可知f（x）是以2为周期的函数，依题意可求得3≤x＜4时与4≤x≤5时f（x）的解析式，对A，B，C，D判断即可． 【详解】（x）=f（x+2）， ∴函数的周期为2
∵x∈[3，5]时，f（x）=2-|x-4|， ∴当3≤x＜4时，f（x）=x-2，
即f
B. D.
满足
，当
时，
，则
当4≤x≤5时f（x）=6-x， 又f（x）=f（x+2），
∴f（x）是以2为周期的周期函数； 当x∈[1，3]时，函数同x∈[3，5]时相同，
同理可得，1≤x＜2时f（x）=（x+2）-2=x，即f（x）在[1，2）上单调递增； 当2≤x≤3时f（x）=6-（x+2）=4-x，
所以，当0≤x≤1时f（x）=6-（x+2）=2-x，即f（x）在[0，1]上单调递减； ∵则
，f（x）=f（x+2），
，故B正确；
对于A，0＜cos1＜sin1＜1，f（x）在[0，1]上单调递减， ∴f（cos1）＞f（sin1），故A错误； 同理可得，
，故C错误；
对于D，f（cos2）=f（2+cos2）=2+cos2，f（sin2）=2-sin2， f（cos2）-f（sin2）=2+cos2-2+sin2=sin2+cos2＞0， 故D错误． 故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数的周期性与奇偶性，函数的单调性的综合应用，比较函数值的大小．考查了由函数的性质，体现了转化思想在解题中的应用． 12.设函数A. C.
与函数 B. D.
的图象恰有3个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）
【答案】C 【解析】 【分析】 令ax=
2
得ax=|lnx+1|，作出y=ax和y=|lnx+1|的函数图象，利用导数知识求出两
2323
函数图象相切时对应的a0，则0＜a＜a0．
【详解】令ax=
2
得ax=|lnx+1|，
23
显然a＞0，x＞0．
作出y=ax和y=|lnx+1|的函数图象，如图所示：
设a=a0时，y=ax和y=|lnx+1|的函数图象相切，切点为（x0，y0），
23
23
则 ，解得 ．
∴当0＜a＜故选：C．
23
时，y=ax和y=|lnx+1|的函数图象有三个交点．
【点睛】本题考查了函数图象的交点个数判断，借助函数图象求出临界值是关键．
二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.
13.已知幂函数【答案】2 【解析】 【分析】 设幂函数
，由幂函数f（x）过点
，列出关于的方程，求解即可得到f（x）
的图象经过点
，则
的值为___________
的解析式，再将x=4代入，即可求得答案． 【详解】设幂函数
，
，
∵幂函数f（x）的图象经过点(∴
，∴
，
故
即答案为2．
．
【点睛】题考查幂函数的定义．属于基础题． 14.函数【答案】【解析】 分析：求出函数方程. 详解：
的导数为
，
， .
的导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切线的
在点
处的切线方程是__________．
在点（0,1）处的切线斜率为即有在点（0,1）处的切线方程为故答案为：
.
点睛：近几年高考对导数的考查几乎年年都有，利用导数的几何意义，求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，曲线
在点的导数
就是曲线在该点的切线的斜率，我们通
常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题，用导数求切线方程的关键在于求切点坐标和斜率，分清是求在曲线某点处的切线方程，还是求过某点处的曲线切线方程. 15.椭圆
，且
【答案】【解析】
试题分析：由题意可得
，易得
，代入椭圆方程得：
，
的右顶点为，是椭圆上一点，为坐标原点．已知，则椭圆的离心率为 ．
故，所以离心率．
考点：椭圆的几何性质与离心率．
16.已知函数f（n）=n2cos（nπ），数列{an}满足an=f（n）+f（n+1）（n∈N+）， 则a1+a2+…+a2n=_____． 【答案】
【解析】 【分析】
2+
函数f（n）=ncos（nπ），数列{an}满足an=f（n）+f（n+1）（n∈N），可得：
a2k-1=4k-1．a2k=-4k-1．a2k-1+a2k=-2．即可得出．
2+【详解】函数f（n）=ncos（nπ），数列{an}满足an=f（n）+f（n+1）（n∈N），
a2k-1=f（2k-1）+f（2k）=-（2k-1）2+（2k）2=4k-1． a2k=f（2k）+f（2k+1）=（2k）2-（2k+1）2=-4k-1． ∴a2k-1+a2k=-2． ∴a1+a2+…+a2n=-2n． 故答案为：-2n．
【点睛】本题考查了三角函数求值、数列分组求和、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）
17.已知等比数列(）求的值； (II）若数列
的首项为，其前项和为， 当
时，
；当
时，试比较与的大小. 时，
；当
时，
.
的公比为（
），等差数列
的公差也为，且
．
【答案】（1）； （2）当【解析】 【分析】
（Ⅰ）由已知列关于公比的方程，求解方程即可得到q值；
（Ⅱ）分别求出等比数列的通项公式及前n项和，分类作出比较得答案． 【详解】（）由已知可得∵解得
是等比数列， 或
，∵
，∴， ∴ 的公差为 ，
2
， . . ，
(II）由（）知等差数列∴
，
当
时，
；当 时，
时，；当
；当 时，
， 时，；当
. 时，
.
综上，当
【点睛】本题考查数列递推式，考查了等比数列的通项公式及前n项和，训练了作差法两个函数值的大小，是中档题．
18.已知函数（1）当（2）将
时，求函数
.
的取值范围；
的图象，求.
的单调递增区间.
的图象向左平移个单位得到函数
；（2）
，
【答案】（1）【解析】
试题分析：（1）根据三角恒等变换的公式，得出函数
的取值范围；（2）化简
，在根据，即可求解
的单调
，根据三角函数的性质，即可求解
递增区间. 试题解析：（1）∵∵∴函数（2）∵∴令即可解得
，
的单调递增区间为：
，
，
.
时，
的取值范围为：
，∴
.
， .
，
考点：三角函数的图象与性质. 19.在（1）求（2）若
中，内角； ，点为
边上一点，且
，求
的面积.
的对边分别为
，若
.
【答案】（1）【解析】
；（2）
试题分析：（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，化简可得角公式求
的值，最后根据二倍
的值．（2）先根据余弦定理得a，再根据三角形面积公式求面积.
， ， ， ．
和
，得
， ，
，化简得
，解得
或，则
．
（舍去），
，
试题解析：（Ⅰ）因为所以有从而故（Ⅱ）根据由余弦定理得，即
从而所以
，又
20.已知数列（1）求数列（2）设【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）利用an+1=2Sn+1，an=2Sn-1+1（n≥2）两式相减推出{an}是以3为公比的等比数列．然后求解通项公式；
nn−1
（2）化简bn＝log3an+1＝log33＝n，得到an+bn＝3+n，利用拆项法求解数列的和即可．
的首项，前项和为，，.
的通项公式；
，求数列； （2）
的前项和.
.
【详解】（1）由题意得，
两式相减得所以当
时，
是以3为公比的等比数列.
，
因为，
所以，，对任意正整数成立，是首项为1，公比为3的等比数列，
所以得（2）
.
，所以
，
【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，通项公式求法，考查转化思想以及计算能力．
21.已知函数（1）当
时，求函数在
。 在
处的切线方程；
（2）求函数（3）证明：【答案】(1)【解析】
上的最小值； ，都有
．
；(2)答案见解析；(3)证明见解析.
试题分析：
(1)利用导函数研究函数的切线方程可得切线方程为(2)分类讨论可得：当时，
(3)构造新函数题中的结论.
时，
，结合(1)的结论和不等式的特点研究函数的最值即可证得
；当
，
；当
试题解析： （1）切线斜率（2） ①当
时，时，
，切点为，令
，；
②当
，即
；
③当
时，
，
，切线方程为 在
上单调递增，
时， 在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，
（3）要证的不等式两边同乘以，则等价于证明令令当所以
，都有，则由（1）知，则时，
，
，当递增减；
时，
，
递增；
，且最值不同时取到，即
。
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以 (1)考查导数的几何意义， (2)下几个角度进行：往往与解析几何、微积分相联系．利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
22.在直角坐标系
中，圆的参数方程为
为参数），以为极点，轴的非
。
负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求的极坐标方程；
（2）射线【答案】（1）【解析】
；（2）
与圆的交点为
与直线的交点为，求的范围。
分析：第一问先将圆的参数方程化为普通方程，之后借用平面直角坐标与极坐标的转换关系求得极坐标方程，第二问借用极坐标系中的几何意义，最后转化为三角形式的式子，最后求得取值范围.
详解：（1）圆的普通方程是所以圆的极坐标方程为（2）设设
，则有，且直线的方程是
； ，
，则有
，
，又
，
所以所以
，
点睛：解决该题的关键是需要熟记参数方程与普通方程的转化，以及平面直角坐标方程与极坐标方程的转换关系，还有就是明确极坐标中的意义，以及有关三角函数形式的式子的值域问题的求解方法.
