专题26椭圆中定值和最值问题

专题题

26--椭圆中定值和最值问

专题26--椭圆中定值和最值问题

一、椭圆中的定值问题

由于椭圆只研究中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆问题，故动态椭圆过定点问题一般不会出现，故椭圆中的定值问题主要包括以下几个方面：

1．与椭圆有关的直线过定点

(1)y－y0＝k(x－x0)表示过定点(x0，y0)的直线的方程；

(2)(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线的方程．

2．与椭圆有关的圆过定点

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(A1x＋B1y＋C1)＝0表示的是过直线A1x＋B1y＋C1＝0和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆的方程．

3．与椭圆有关的参数的定值问题 二、椭圆中的最值问题 1．参数的取值范围

由直线和椭圆的位置关系或几何特征引起的参数如k，a，b，c，(x，y)的值变化．此类问题主要是根据几何特征建立关于参数的不等式或函数进行求解．

2．长度和面积的最值

由于直线或椭圆上的点运动，引起的长度或面积的值变化．此类问题主要是建立关于参数

(如k或(x，y))的函数，运用函数或基本不等式求最值．

要点热点探究

► 探究点一 与椭圆有关的定值问题

在椭圆中出现的定值问题中，椭圆本身一般为固定的椭圆，主要是椭圆上的动点构成的直线或与准线有关的动直线过定点的问题．

x22

例1 已知椭圆＋y＝1的左顶点为A，

4

过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．

(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；

(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一个定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．

【解答】 (1)当直线AM的斜率为1时， 直线AM的方程为y＝x＋2，

代入椭圆方程并化简得：5x2＋16x＋12＝0，

6－，解得x1＝－2，x2＝－，所以M55.

5

(2)设直线AM的斜率为k，则AM：y＝k(x＋2)，

y＝kx＋2，则x22化简得：(1＋4k2)x2＋

＋y＝1，4

16k2x＋16k2－4＝0.

2－8k2

因为此方程有一根为－2，所以xM＝ 2，1＋4k

2k2－8

同理可得xN＝2. k＋4

6

由(1)知若存在定点，则此点必为P－5，0.



2－8k2k2＋2

yM5k1＋4k

因为kMP＝＝＝， 2262－8k－4k

xM＋2＋551＋4k

5k

同理可计算得kPN＝2. 4－4k

所以kMP＝kPN，M、P、N三点共线， 所以直线MN过x轴上的一个定点6P－5，0. 

例2 椭圆的两焦点坐标分别为F1(－3，0)

3

和F2(3，0)，且椭圆过点1，－.

2

(1)求椭圆方程；

6－，0(2)过点5作不与y轴垂直的直线l交

该椭圆于M、N两点，A为椭圆的左顶点，试判

断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由． x2

【解答】 (1)由题意，即可得到椭圆方程为

4

＋y2＝1.

6

(2)设直线MN的方程为：x＝ky－，

5

联立直线MN和椭圆的方程x＝ky－6，51222

得(k＋4)y－ky－＝0， x2

5252＋y＝1，4

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

12k

则y1＋y2＝2，y1y2＝－， 2

5k＋425k＋4

又A(－2,0)， →→则AM·AN＝(x＋2，y)·(x＋2，y)＝(k2＋

1122

416

1)y1y2＋k(y1＋y2)＋ 525

k2＋14k12k16＝－＋·2＋＝0， 2

25k＋455k＋425

π

即可得∠MAN＝. 2

► 探究点二 与椭圆有关的最值问题

与椭圆有关的最值问题，一般建立两类函数：一是关于k的函数；二是关于点(x，y)的函

数．

例3 如图26－1，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A，B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．

(1)求证：A，C，T三点共线；

→→(2)如果BF＝3FC，四边形APCB面积的最6＋2

大值为，求此时椭圆的方程和点P的坐标．

3

图26－1

x2y2

【解答】 (1)证明：设椭圆方程为2＋2＝

ab

1(a>b>0)，①

xyxyAT：2＋b＝1，② BF：c＋＝1，③

a－bc

b32a2c

解得AT与BF的交点a2＋c2，a2＋c2，代



入①得：

4a2c2＋a2－c22

＋＝＝1， 222a2b2a＋c

满足①式，则AT与BF的交点在椭圆上，即为点C，则A，C，T三点共线．

(2)过C作CE⊥x轴，垂足为E，则△OBF∽△ECF.

11→→∵BF＝3FC，∴CE＝b，EF＝c，则33

4cb

C3，3，代入①得： 

4b22c332222

＋＝1，∴a＝2c，b＝c. 22ab

22

设P(x0，y0)，则x20＋2y0＝2c，

4cc214c

此时C3，3，AC＝5c，S△ABC＝·2c·＝

323

42c， 3

直线AC的方程为：x＋2y－2c＝0，

|x0＋2y0－2c|

P到直线AC的距离为d＝＝5

x0＋2y0－2c

， 5

11x0＋2y0－2c2

S△APC＝d·AC＝··5c

2235x0＋2y0－2c＝·c.

3

2a2c222a＋cb3222a＋c

所以只需求x0＋2y0的最大值即可．

2

法一：∵(x0＋2y0)2＝x22x0y0≤x20＋4y0＋2·0＋

22222

4y20＋2(x0＋y0)＝3(x0＋2y0)＝6c，

∴x0＋2y0≤6c， 6

当且仅当x0＝y0＝c时，(x0＋2y0)max＝6c.

3

22

法二：令x0＋2y0＝t，代入x2 0＋2y0＝2c得：

2

(t－2y0)2＋2y0－2c2＝0，

22

即6y2－4ty＋t－2c＝0. 00

Δ＝(－4t)2－24(t2－2c2)≥0， 得－6c≤t≤6c，

6

当t＝6c时，代入原方程解得x0＝y0＝c.

3

由法一、法二知四边形APCB的面积最大值6－22426＋226＋2为c＋c＝c＝，

3333∴c2＝1，a2＝2，b2＝1.

x2

此时椭圆方程为＋y2＝1，P点坐标为

2

66，.

33

【点评】 本题所建立的函数与点P坐标(x0，

y0)有关．在计算最值时，方法一用的是基本不等式；方法二用的是代入消元和方程有解来计算最值．本题还可以用三角换元的方法或者构造z＝x0＋2y0的几何意义用线性规划的思想来解决问

题．

► 探究点三 椭圆和圆的综合问题

椭圆和圆的综合问题中，题目中存在多种曲线混合的现象，椭圆以考查标准方程和离心率为主，而圆中会涉及定值或最值的问题．

x2y2

例4 如图26－2，已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)

ab

的左、右焦点分别为F1、F2，其右准线l与x轴的交点为T，过椭圆的上顶点A作椭圆的右准线l的垂线，垂足为D，四边形AF1F2D为平行四边形．

(1)求椭圆的离心率；

(2)设线段F2D与椭圆交于点M，是否存在

→＝λTM→？若存在，实数λ，使TA求出实数λ的值；若不存在，请说明理由；

(3)若B是直线l上一动点，且△AF2B外接圆面积的最小值是4π，求椭圆方程．

图26－2

a2

【解答】 (1)依题意：AD＝F1F2，即c＝2c，

2

所以离心率e＝. 2

(2)由(1)知：a＝2c，b＝c，

→故A(0，c)，D(2c，c)，F2(c,0)，T(2c,0)，TA

＝(－2c，c)，

x2y2

所以椭圆方程是2＋2＝1，即x2＋2y2＝

2cc

2c2，

直线F2D的方程是x－y－c＝0， x2＋2y2＝2c2，x＝0，由解得(舍去)或x－y－c＝0y＝－c

x＝4c，

31y＝c，3

→， 3TM





4121→→即M3c，3c，TM＝－3c，3c，所以TA＝



→＝3TM→成立． 即存在λ＝3使TA

(3)解法一：由题可知圆心N在直线y＝x上，设圆心N的坐标为(n，n)，

因圆过准线上一点B，则圆与准线有公共点，

设圆心N到准线的距离为d，则NF2≥d， 即n－c2＋n2≥|n－2c|，解得n≤－3c或

n≥c，

2cc22

又r2＝(n－c)2＋n2＝2n－2＋∈[c，＋2

∞)，

由题可知，(πr2)min＝c2π＝4π，则c2＝4，

x2y2

故椭圆的方程为＋＝1.

84

解法三：设B(2c，t)，△AF2B外接圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

又A(0，c)，F2(c,0)，



2c＋cD＋F＝0，2

则c＋cE＋F＝0， 4c2＋t2＋2cD＋tE＋F＝0，

F212122

D＝E＝－c－c，r＝(D＋E－4F)＝c＋

42

F2

. 2c2

由4c2＋t2＋2cD＋tE＋F＝0，得4c2＋t2＋(2cF－c－＋t)＋F＝0， c

tF222

4c＋t－2c－ct－2F－c＋F＝0,2c2－ct＋t＋cF2

t－c＝0，

4c2

F＝ct＋c＋t＋c－3c，



2F12222c＋所以F≥c或F≤－7c，所以r＝

c22

≥c2，

所以(πr2)min＝c2π＝4π，所以c2＝4.

x2y2

所求椭圆方程是＋＝1.

84

【点评】 本题的第三小问从多种角度建立了半径与圆心的坐标之间的关系，无论哪一种方法，本题关键是求出r2的取值范围，方法一用的是几何法；方法二和方法三用的是代数法．

例 [2011·江苏卷] 如图26－3，在平面直角

x2y2

坐标系xOy中，M，N分别是椭圆＋＝1的

42

顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.

(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值； (2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d； (3)对任意k>0，求证：PA⊥PB.

图26－3

【解答】 (1)由题设知a＝2，b＝2，故

M(－2,0)，N(0，－2)，得线段MN中点的坐标2

为－1，－，由于直线PA平分线段MN，故

2直线PA过线段MN的中点，

2

又直线PA过坐标原点，所以k＝＝. 2－1(2)k＝2时，直线PA的方程为y＝2x，代入

x24x2

椭圆方程得＋＝1，

42

24242，－，－解得x＝±，因此P，A. 33333

40＋23

于是C3，0，直线AC的斜率为＝1，

22

＋33

2

故直线AB的方程为x－y－＝0.

3

242－－33322

因此，d＝＝.

312＋12x2

(3)解法一：将直线PA的方程y＝kx代入＋

4

y22＝1，解得x＝±， 21＋2k2

－2

2

记μ＝

21＋2k2

.

则P(μ，μk)，A(－μ，－μk)，于是C(μ，0)，0＋μkk

故直线AB的斜率为＝，

μ＋μ2k

其方程为y＝(x－μ)，代入椭圆方程得(2＋

2k2)x2－2μk2x－μ2(3k2＋2)＝0，

μ3k2＋2

解得x＝或x＝－μ，

2＋k2

μ3k2＋23μk

，因此B. 222＋k2＋k

于是直线PB的斜率kPB＝

μk3

－μk2

2＋kμ3k2＋2

－μ

2＋k2

＝

1＝－. k3k2＋2－2＋k2

因此kPBk＝－1，所以PA⊥PB.

k3－k2＋k2