圆锥曲线的定义性质方程

★★★高考在考什么 【考题回放】

1．已知△ABC的顶点B、Cx2在椭圆

3＋y2＝1上，顶点

A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(C )

（A）23 （B）6 （C）43 （D）12

4x2y22．已知双曲线221的一条渐近线方程为y＝x，则

ab3

双曲线的离心率为(A)

545

（A） (B) (C)

3343

(D) 2

3．如果双曲线的两个焦点分别为F1(3,0)、F2(3,0)，一条渐近线方程为y2x，那么它的两条准线间的距离是（ C ）

A．63 B．4 C．2 D．1

4．抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( B)

16168 ( A ) 17 ( B ) 15 ( C ) 7 ( D ) 0

5．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是

第 1 页

2x2y1 ． 16．如图，F为双曲线

x2y2C：221a0,b0的右焦点。

abP为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上

一点，O为坐标原点。已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=|OF|。

（Ⅰ）写出双曲线C的离心率e与的关系式；

（Ⅱ）当=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若|AB|=12，求此时的双曲线方程。

【专家解答】

∵四边形OFPM是

，∴|OF||PM|c，

a2作双曲线的右准线交PM于H，则|PM||PH|2，

c|PF||OF|c2e2又e，

a2c22a2e22|PH|c2cx2y2b3a，（Ⅱ）当1时，双曲线为221e2，c2a，

4a3a22四边形OFPM是菱形，所以直线OP的斜率为3，则直线AB的方程为y3(x2a)，代入到双曲线方程得：9x248ax60a20，

又AB12，由AB1k2(x1x2)24x1x2得：

48a260a2122()499，解得a942，则b2742，所以

x2y21为9274所求。

★★★高考要考什么

【考点透视】

椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单的几何

第 2 页

性质，椭圆的参数方程。

【热点透析】 主要题型：

（1）定义及简单几何性质的灵活运用；

（2）求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）。 题型一般为二小一大，小题基础灵活，解答题一般在中等难度以上，一般具有较高的区分度。

★★★突破重难点

【范例1】过椭圆左焦点F，倾斜角为60的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率为( B )

(A)

23 (B) (C) (D)

23122 2解：设点A、B到椭圆左准线的距离分别为d1，d2，｜FA｜=r1，｜FB｜=r2，

则

r12r2d1d1=e，即d1=

2r2e，同理d2=2，两式相减得的倾斜角为

2 3rer2d1d2. e因为直线AB60， 2|d1-d2|=|AB|=3r2，e=

【点晴】本题的关键在于利用椭圆的第二定义将60倾斜角、|FA|=2|FB|这两个条件与椭圆的离心率建立联系。

【文】若

x2y2F1、F2为双曲线221的左、右焦点，Oab为

坐标原点，点P在双曲线的左支上，点M在双曲线的右准线

上，且满足：

则该双曲线的离心率为（ ）

A．2 B．3 C．2 D．3

解：由F1OPM知四边形F1OMP是平行四边形，又

第 3 页

OP(OF1OF1OMOM)

知OP平分∠F1OM，即F1OMP是菱形，设|OF1|=c，则|PF1|=c.

又|PF2|-|PF1|=2a， ∴|PF2|=2a+c，

由双曲线的第二定义知e2ac21,且e>1，∴e=2，故

ce选C.

【范例2】定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。

分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1，x12)，B(x2，x22)，又设AB中点为M(x0,y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，用函数思想求出最短距离。

（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义。

解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)

22(x1x2)2(x12x2)①9 则x1x22x0 22② x1x22y0由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9， 即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④

由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入④得[(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9

当4x02+1=3 即 ∴MM2∴

x02255时，(y0)min此时M(,) 2244法2：如图2MM2AA2BB2AFBFAB3

313， 即MM1， 2425MM1， 当AB经过焦点F

4时取得最小值。

第 4 页

∴M到x轴的最短距离为

5 4【点晴】解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离与，结合定义与三角形中两边之与大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之与等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。请思考：当|AB|在什么范围内取值时不能用解法二？

x2y2【文】（北京卷）椭圆221(a,b0)的两个焦点F1、

ab414F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥PF2，| PF1|=，| PF2|=.

33（I）求椭圆C的方程；

（II）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程。

解法一：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以2aPF1PF26，a=3.

在Rt△PF1F2中，F1F2距c=

5,

2

2

2

PF2PF12225,故椭圆的半焦

从而b=a－c=4, 所以椭圆Cx2y2的方程为94＝1.

(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.

由圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得

（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.

第 5 页

因为A，B关于点M解得k8，

9x1x218k29k2. 对称. 所以2249k所以直线l的方程为y8(x2)1, 即8x-9y+25=0.

9(经检验，符合题意)

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.

设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2

且

由①－②得 代入③得

(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.

94 ③

因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,

y1y2x1x2＝8，即直线l的斜率为8，

999所以直线l的方程为y－1＝8（x+2），即8x－9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意.) 【范例3】如图1，已知A、B、C是长轴为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，且AC•BC0，BC2AC。

（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；

图

（2）如果椭圆上两点P、Q使直线CP、CQ与x轴围

成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数使PQAB？请给出证明。

第 6 页

解：（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如 图直角坐标系，则A（2，0），椭圆方程可设为

而O为椭圆中心，由对称性知|OC|=|OB| 又AC•BC0，所以AC⊥BC

又BC2AC，所以|OC|＝|AC|，

所以△AOC为等腰直角三角形，所以点C坐标为（1，1）。

x23y241。将（1，1）代入椭圆方程得b，则椭圆方程为

4432（2）由直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰

三角形，设直线CP的斜率为k，则直线CQ的斜率为－k，直线CP的方程为y=k(x-1)，直线CQ的方程为y=-k(x-1)。由椭圆方程与直线CP的方程联立，消去y得

(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0① 因为C（1，1）在椭圆上，所以x＝1是方程①的一个根，于是

3k26k13k26k1xP 同理xQ

13k213k2yy11这样，kPQPQ， 又B（－1，－1），所以kAB，

3xPxQ3即kAB=kPQ。所以PQ∥AB，存在实数使PQAB。

【点晴】利用斜率互为相反数关系，整体替换，可简化解题过程。

【文】（06上海春）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）

y2x2的轨迹方程为1，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变

10025为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M0, 为顶点

7的抛物线的实线部分，降落点为D(8,第 7 页

0). 观测点A(4,0)、B(6,0)同时跟踪航天器.

（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；

（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

解：（1）设曲线方程为yax2， 由题意可知，

70a. a1. 77  曲线方程为y1x2.

77y)，根据

（2）设变轨点为C(x,题意可知

得 4y27y360，

y4或y9（不合题意，舍去）. 4 得 x6或x6（不合题意，舍去）.

C点的坐标为(6,4)，|AC|25,|BC|4.

答：当观测点A、B测得AC、BC距离分别为25、4时，应向航天器发出指令.

【范例4】过抛物线x2=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，

（1）求点P的轨迹方程；

（2）已知点F（0，1），是否存在实数使得FAFB(FP)20？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

2x12x2解法（一）：（1）设A(x1,),B(x2,),(x1x2)

44xxx由x24y,得：y' kPA1,kPB2

222x12x1x1xx12直线PA的方程是y(xx1)即y ①

4224第 8 页

2x2xx2 ② 同理，直线PB的方程是：y24x1x2x(x1,x2R) ∴点P的轨迹方程是由①②得：xx2y121,4y1(xR).

2x12x2xx（2）由（1）得：FA(x1,1),FB(x2,1),P(12,1)

4422(x1x2)2x12x22(FP)42，所以FAFB(FP)20

44故存在=1使得FAFB(FP)20

解法（二）：（1）∵直线PA、PB与抛物线相切，且PAPB0, ∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且PAPB, 设PA的直线方程是ykxm(k,mR,k0)

ykxm由2得：x24kx4m0

x4y16k216m0即mk2

即直线PA的方程是：ykxk2 同理可得直线PB的方程是：yykxk2由11yxkk21xkR得： ky111x2 kk故点P的轨迹方程是y1(xR). （2）由（1）得：A(2k,k2),B(211,2),P(k,1) kkk故存在=1使得FAFB(FP)20

【点晴】抛物线的切线方程成了近几年高考试题中的一个考查亮点。解法一、解法二是解决抛物线切线问题的常用方法，应熟练掌握。

【文】已知△ABC的两顶点A、B分别是双曲线2x2-2y2=1的左、右焦点, 且sinC是sinA、sinB的等差中

第 9 页

项.

（Ⅰ）求顶点C的轨迹T的方程；

2（Ⅱ）设P(-2,0), 过点E作直线l交轨迹T于M、（，0）7N两点，问∠MPN的大小是否为定值？证明你的结论. 解：(Ⅰ) 由条件知A (-1 , 0 ) , B (1 , 0 )，且sinA + sinB = 2sinC

∴|BC| + |AC| = 2|AB| = 4

∴点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a = 4的椭圆（不包括x轴上两点）.

∴点C的轨迹Tx2y2的方程是43=1 (x≠±2)

x2y22x =，代入437(Ⅱ) 当l⊥x轴时，直线l的方程为

77=1

解得M、N的坐标为（2,12），而|PE| =12，∴∠MPN =

790°，

猜测∠MPN= 90°为定值.

证明：设直线l的方程为my = x +2，

由 7 ，得 (3m2 + 4) y2 12my576= 0

74922

3x + 4y 12= m576∴y1 + y2 =，y y= 12 227(3m4)49(3m4)x = my2

7∴PMPN= (x1 + 2 , y1)·(x2 +2 , y2 ) = (x1 + 2 ) (x2 +2) +

y1 y2

= (my1 +12) (my2 +12) + y1 y2 = (m2 +1) y1 y2 +12m (y1 +

777y2) +144

49=(m2 +1)57612m12144+m+= 0 2274949(3m4)7(3m4)∴∠MPN = 90°，为定值. ★★★自我提升

第 10 页

1. 若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0），F2（３，0），则其离心率为（ C ）

A.

34 B.

23 C.

6212 D.

1 42. 双曲线的虚轴长为4，离心率e，F1、F2分别是它

的左，右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|为（A）.

A、82 B、42 C、22 D、8

3. F1、F2为椭圆两个焦点，Q为椭圆上任一点，以任一焦点作∠F1QF2的外角平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹为（A）.

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

x2y24．双曲线221的左支上一点P，⊙O'为ΔPF1F2的内

ab切圆，则圆心O'的横坐标为（B）.

A、a B、-a C、5. 已知点F1(-4,0)，F2(4,0), 又

caac D、 22P(x,y)是曲线|x||y|153上的点, 则 (C)

A. |PF1|+|PF2|=10 B. |PF1|+|PF2|<10 C. |PF1|+|PF2|10 D. |PF1|+|PF2|10

6. F1、F2是椭圆

x2a2y2b21（a>b>0）的两焦点，过

F1的

弦AB与F2组成等腰直角三角形ABF2，其中∠BAF2=900，则椭圆的离心率是________63

7．已知椭圆E的离心率为e，左、右焦点为F1、F2，抛物线C以F2为焦点，F1为其顶点，若P为两曲线的公共点，且e|PF2|=|PF1|，则e＝__________。第 11 页

3 38．已知⊙O：x2+y2=4，一动抛物线过A（－1，0）、B（1，0）两点，且以圆的切线为准线，则动抛物线的焦点F的轨迹方程为____x2y21，y≠0 439．如图，已知三点A(－7, 0)，B(7,0)，C(2,－12).

① 若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，

求另一焦点P的轨迹方程；

② 若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一

焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。

解析：①由椭圆定义知，|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|，

即|PB||PA||AC||BC|2|AB|14 故P的轨迹为A（－7，0）、B（7，0）为焦点实轴长为2的双曲线的一支，

y2其方程为x1(x0)；

482② 经讨论知，无论A在双曲线的哪一支上,

总有|QA|＋|QB|＝|AC|＋|BC|＝28＞|AB|＝14 故点Q的轨迹为以A（－7，0）、B（7，0）为焦点长轴长为28的椭圆，

x2y21。 其方程为196147x2y21(2m5)过其左焦点且斜率为10．已知椭圆mm11

的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D，设f(m)=||AB|-|CD||,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。 x2y21中，a2=m，b2=m-1，c2=1，解：（1）椭圆mm1左焦点F1(-1,0)

则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0

第 12 页

AByCF10F2Dx得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 ∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0

2m(2m5)

2m1f(m)ABCD2(xBxA)(xDxC)设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-

（2）2m2(x1x2)(xAxD)2x1x222m12m111f(m)22(1)

2m12m110242∴当m=5时，f(m)min 当m=2时，f(m)max

93x2y211．如图，A为椭圆221(ab0)上的一个动点，弦

abAB、AC分别过焦点F1、F2．当AC垂直于x轴 时，恰好

|AF1|:|AF2=3:1

（I）求该椭圆的离心率； （II）设AF11F1B，AF22F2C， 试判断是否为定值？若是，则求出该定

值；若不是，请说明理由．

解：（I）当AC垂直于x轴时，

AF1:AF23:1由AF1AF22a，

，

得

AF13aa，AF2 2222y A B F1 O F2 C x 在Rt△AF1F2中，AF12AF22(2c)2 解得 e=

．

22b，则aa2c221e2a2（II）由e=

，bc．

第 13 页

x2y20)，F2(b，0)则椭圆方程为221， 焦点坐标为F1(b，，2bb化简有x22y22b2．

设A(x0，y0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)，

①若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为

yy0x(xb) 0b代入椭圆方程有(3b22bx0)y22by0(x0b)yb2y200．

由韦达定理得：2yb2y0，∴yb2y00y23b22bx203b22bx

0所以

2y02AFF2y3b2x0C理可2b，同3b2x03b2x01bb 故=6bb6．

②若直线ACx轴，x2b0b，21，13bb5 ∴＝6． 综上所述：是定值6．

第 14 页

得