7.2.2 复数的乘除运算教学设计

复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的乘法与多项式乘法是类似的，不同的是即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．复数的除法运算法则是通过分子分母同时乘分母的共轭复数，将分母实数化转化为乘法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.

课程目标：

1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；

2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律; 3.理解且会求复数范围内的方程根. 数学学科素养

1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则; 2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导; 3.数算：复数四则运算;

4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题.

重点：复数代数形式的乘法和除法运算． 难点：求复数范围内的方程根.

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练. 教学工具：多媒体.

一、 情景导入

前面学习了复数的加法、减法运算，根据多项式的乘法、除法运算法则猜测复数的乘法、除法满足何种运算法则？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课

阅读课本77-79页，思考并完成以下问题

1、复数乘法、除法的运算法则是什么？

2、复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数解决问题？ 要求：学生完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究

1．复数代数形式的乘法法则

已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

[提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．

2.复数乘法的运算律

1

对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 z1·z2＝z2·z1 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3 3．复数代数形式的除法法则

(a＋bi)÷(c＋di)＝ac＋bdbc－ad

c2＋d2＋c2＋d2i(c＋di≠0)

四、典例分析、举一反三 题型一 复数的乘法运算 例1 计算下列各题．

(1)(1－2i)(3＋4i) (－2＋i)；(2)(2－3i)(2＋3i)；(3)（1+i）2 . 【答案】(1) －20＋15i. (2) 13. (3) 2i. 【解析】(1)原式=(11－2i)(-2＋i)＝-20＋15i.

(2)原式=(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝4－9i2＝4+9＝13.

(3)原式＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i. 解题技巧（复数乘法运算技巧）

1．两个复数代数形式乘法的一般方法

(1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将i2换成－1.

(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式

(1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)．

(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)． (3)(1±i)2＝±2i.

跟踪训练一

1．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝ ( )

A．2－13i B．13＋2i C．13－13i

D．－13－2i

【答案】D.

【解析】 (1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.

2．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)

【答案】B.

【解析】因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i， 所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，

又此点在第二象限，所以a＋1＜0，



1－a＞0，

解得a＜－1.

题型二 复数的除法运算 例2计算(1＋2i)÷(3－4i). 【答案】−1

+25

5

𝑖.

2

) 【解析】 原式=

1+2𝑖3−4𝑖

=(

(1+2𝑖)(3+4𝑖)3−4𝑖)(3+4𝑖)

=

−5+10𝑖25

=−+𝑖.

5

5

12

解题技巧： (复数的除法运算技巧)

1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式；

(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；

(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式

(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i. 跟踪训练二

1

1．复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝________.

1＋i【答案】

2. 2

1－i111i1

【解析】∵z＝＝＝＝－i，

2221＋i(1i)(1i)∴|z|＝ 2．计算：

12＋－12＝2.

222

1＋i2－i

4＋3i

＝________.

1－i

【答案】－2＋i. 【解析】

(1i)(43i)1＋7i(17i)(13i)＝＝＝－2＋i. 1－3i10(2i)(1i)题型三 复数范围内的方程根问题

例3 在复数范围内解下列方程： （1）x220；

（2）ax2bxc0，其中a,b,cR，且a0,b24ac0． 【答案】 （1）方程x220的根为x2i．

b24acb（2）方程的根为xi．

2a2a222(2 i) (2 i) 2x【解析】（1）因为，所以方程20的根为x2i．

bb24ac（2）将方程axbxc0配方，得x， 22a4a22b24acbxi．

2a2a

3

b24acb所以原方程的根为xi．

2a2a解题技巧（解决复数方程根问题的技巧）

与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用． 跟踪训练三

1、已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)． (1)求b，c的值；

(2)试判断1－i是否是方程的根．

【答案】(1)b＝－2，c＝2. (2)1－i也是方程的一个根． 【解析】(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.

b＋c＝0，b＝－2，∴得∴b＝－2，c＝2. 2＋b＝0，c＝2.

(2)将方程化为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根． 五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计

7.2.2 复数的乘除运算 1. 复数的乘法运算 例1 例2 例3 2. 复数乘法的运算律 七、作业

课本80页练习，80页习题7.2的剩余题.

本节课主要是在学生了解复数的加减运算及共轭复数的基础上，类比多项式的乘除运算法则探讨得出复数的乘除运算法则，使学生对知识更加融会贯通.尤其在例3，使学生对方程的根有了更深刻的认识.

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