高中数学必修一习题集

1.1 集合的概念及其运算（1）

【知识网络】

1.集合的有关概念：集合、全集、子集、空集、集合的包含与相等 2.集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图法 【典型例题】

例1.（1）下列集合中，是空集的是 （ ）

A．{x|x233} B．{(x,y)|yx2,x,yR}

2C．{x|x0} D．{x|x2x10,xR}

（2）若集合Ma,b,c中的元素是ABC的三边长，则△ABC一定不是 （ ） 0,1,2,3,4且CUA2,3，则集合A的真子集共有 （ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 （3）若全集UA．3个 B．5个 C．7个 D．8个 （4）方程组xy1xy922的解集是 .

（5）设U则a ，b . R,Ax|axb,CUAx|x4或x3，

例2.已知集合A8N，试求集合A的所有子集. xN|6x例3.已知A{x例4.全集S2x5}，B{xm1x2m1}，B且BA,求m的取值范围.

1,3,x33x22x，A1,2x1，如果CSA0,则这样的实数x是否存在？若

存在，求出x；若不存在，请说明理由. 【课内练习】

1.设集合X{x|x1}，下列关系式中成立的为 （）

A．0X B．0X C．X D．0X 2.设集合AA．

y|yx21，Bx|yx21，则下列关系中正确的是 （）

AB B．AB C．BA D．AB[1,)

3.下列说法中，正确的是 （ ）

A.任何一个集合必有两个子集 B.若AB,则A,B中至少有一个为

C.任何集合必有一个真子集 D.若S为全集，且4.已知集合MABS,则ABS

{xN|8xN}，则M中元素的个数是 （B）

A．10 B．9 C．8 D．7

1111,,,}可用描述法表示为 . {x|x,nN} 234nx30}，则A,B之间的关系是 6.设集合A{x|(x3)(x2)0},B{x|x35.集合{1,A B.（填,或）

7.设集合A{x8.已知集合9.设U则实数k的取值范围是 . 3x2},B{x2k1x2k1},且AB，

A,B,C且AB,AC,若B{0,1,2,3,4},C{0,2,4,8},集合A中最多含几个元素?

Z,A{x|x2k,kN},B{x|x2k1,kN},求CUA,CUB.

10.已知集合

A{xR|ax22x10,aR}中只有一个元素(A也可叫作单元素集合),求a1.2 集合的概念及其运算（2）

的值,并求出这个元素.

【知识网络】

集合的运算：交集、并集、补集 【典型例题】

例1.（1）设A{x|x2x0},B{x|x2x0}，则集合

A．0 B．（2）全集UAB （ ）

0 C． D．1,0,1

{a,b,c,d,e}，集合M{c,d,e},N{a,b,e}，则集合{a,b}可表示为 （ ） N B．(CUM)N C．M A．M(CUN) D．(CUM)(CUN)

A

B

（3）下列表示图形中的阴影部分的是 （ ）

A．(AC)(BC) B．(AB)(AC) C．(AB)(BC) D．(AB)C （4）已知集合

22Aa,a1,3,Ba3,2a1,a1，若AB3，求实数a的值

AAA；②A(CUA)U；③

C （5）给出下列六个等式：①

④

A(CUA)；

A(AB)AB；⑤(AB)(AB)AB；⑥(AB)AA（其中

A,B为全集U的子集）.其中正确的有 个.

22例2.设全集UR，M{m|方程mxx10有实数根}，N{n|方程xxn0

有实数根}，求(CUM)N. 例3.已知A{x|a(1)若ABxa3},B{x|x1或x5}.

,求a的取值范围; (2) 若ABB,求a的取值范围.

2例4.已知A{x|xaxa2190},B{x|x25x60},是否存在实数a,使A,

B同时满足下列三个条件:①AB,②ABB,③(AB).若存在,试求出a的值;若不存

在,请说明理由. 【课内练习】 1.若集合M(x,y)xy0,N(x,y)x2y21,xR,yR，则 MN （ ）

A．{(1,1),(1,1)} B． {(22222222,)}C． {(,)} D． {(,),(,)} 222222222．若集合

A{1,1}，B{x|mx1}，且ABA，则m的值为 （ ）

A．1 B．1 C．1或1 D．1或1或0

3.50名同学参加跳远和铅球测验，测验成绩及格的分别为40人和31人，2项测验成绩均不及格的有

4人，2项测验成绩都及格的人数是 （ ）A．35 B．25 C．28 D．15

4.

A{x|2x4},B{x|xa}，若AB，且AB中不含元素6，则a的一个

4 B. 5 C. 6 D. 7

可能值为 （ ） A. 5.若A1,4,x,B1,x2且ABB，则x .

6. 已知Ayyx22x1,Byy2x1，则AB_________.

7.设集合A{(x,y)|4xy6}，B{(x,y)|3x2y7}，则满足C(AB)的集合

C为 .

8.设U2R，Bx|x2(m1)xm0；集合Ax|x3x20，若(CUA)B，

求m的值. 9.设集合A{x|x2(b2)xb10,bR}，求集合A中所有元素的和S.

210.设集合A{1,3,a},B{1,a}，问是否存在这样的实数a，使得AB{1,a,a2}与

AB{1,a}同时成立？若存在，求出实数a；若不存在，说明理由.

1.1 集合的概念及其运算（1）

A组

1.A(3,2)且xA,xZ，则x组成的集合为 （ ）

A.{1} B.{0,1} C.{2,1,0,1} D.{3,2,1,0,1,2} 2.设全集UR，CUA{y|y1},B{y|yx22x2}，则下列各式中正确的是（ ）

A.AB B.A

24B C. B

42A D. BØA

.3.设集合M{x|xk1,kZ}，N{x|xk1,kZ}，则 （ ）

N C．NM D．MN

10Z,mZ}= . 4.用列举法表示集合：M{m|m1A．MN B．M5. 若Ix|x1,xZ，则CIN= .

6.已知集合A{a|ma23a10,aR}只含有一个元素，求m的值. 7.当a,b满足什么条件时，集合A{x|axb0}是有限集、无限集、空集. 8. 设S为满足下列条件的实数构成的非空集合：①1S；②若aS，则

1S. 1a(1)0是否为集合S中的元素？为什么？ (2)若2S，试确定一个符合条件的集合S; (3)集合S中至少有多少个元素？试证明你的结论.

B组

1.下列各选项中的M与P表示同一集合的是 （ ） A.M{0},P B.M{(3,7)},P{(7,3)} C.M{(x,y)|yx23,xR}, P{y|yx23,xR} D. M{y|yt21,tR},P{t|t(y1)21,yR}

2.集合{yN|yx26,xN}的真子集的个数是 （ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

3.集合A{x|x2k,kZ}，B{x|x2k1,kZ}，C{x|x4k1,kZ}，又aA,bB ，则有（ ）

A.abA B. abB

C. abC D. ab不属于A、B、C中任一集合

2,集合A{1,a4.设全集U{1,2,3,4，1,4}CU,A则a的值{a2,，3}为 .

5. 已知集合A{x|ax23x20}.(1)若A中至多有一个元素，则a的取值范围是 .

（2）若A中至少有一个元素，则a的取值范围是 . 6.设yx2axb,Ax|yxa,Ma,b,求M.

7.已知：A{x|x3},B{x|xa}.(1)若BA，求a的取值范围；(2)若CRACRB，求a的取值范围.

8. 对于集合A,B，我们把{(a,b)|aA,bB}记为AB，若A{1,0},B{1,2}，求AB,AA.

1.2 集合的概念及其运算（2）

A组

1.已知A{x||x2|1},B{x| A.

yx13x}，那么有 （ ）

AB B. ABB C.ABB D.(CRA)(CRB)R

2.I为全集，M、N、P都是它的子集，则图中阴影部分表示的集合是 （ ）

3.已知集合

Ax|x2mx10,若AR，则实数m的取值范围是

（ ）A．m4 B．m4 C．0m4 D．0m4

4.某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好 音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人. 5.已知集合A{x|x22x30},B{x|x2axb0}，若ABR, AB

{x|3x4}，则ab的值等于 .

6. 设全集S{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A、B是S的子集且(CSA)B{1,9},AB{2},

(CSA)(CSB){4,6,8}.求A、B.

7. 设A{xx24x0},B{xx22(a1)xa210},其中xR,

ABB，求实数a的取值范围。 8.已知A{x|2x4},B{x|xa}.

如果(1)若AB(2)若AB,求a的取值范围; A,求a的取值范围;

且ABA,求a的取值范围.

(3) 若AB

B组

1.设全集U{3,2,1,0,1,2,3}，集合E{x|x23x20,xR}，F{x|cosx2

0,xR}，则(CUE)F （ ）

A.{3,1,0,3} B.

2.已知集合P{(x,y)|{3,1,3} C. {3,1,1,3} D. {3,3}

yk(x1)1,xR,yR}，Q{(x,y)|x2y22y0,

xR,yR}，那么集合PQ中 （）

A.没有一个元素 B.至多有一个元素

C.只有两个元素 D.有一个或两个元素 3.若不等式0 A.

x2axa1的解集是单元素集，则a的值为 （ ）

0 B.2 C. 4 D. 6

4.集合

,xN}，则M{x|2n2mn,mN,且nm}，P{x|1912x2004MP中所有元素的和等于 .

5. 已知集合A{(x,y)|x2y21},B{(x,y)|kxy20}，其中x,yR.若

AB，则实数k的取值范围是 .

6.已知非空集合S同时满足下列两个条件：①S试写出满足条件的所有集合S.

7. 集合A满足

{1,2,3,4,5}，②若aS，则6aS.

x|x2axa2190，Bx|x25x60，Cx|x22x80

AB,，AC,求实数a的值。

8.已知集合Ax|2xa,By|y2x3,xA,Cz|zx2,xA,

且CB,求a的取值范围。

第二部分 函数与基本初等函数

2．1 函数的概念与表示法

【知识网络】

1．函数的概念；2．函数的表示法：解析法、列表法、图象法；3．分段函数；4．函数值．

【典型例题】

例1．（1）下列函数中哪个与函数yx(x0)是同一个函数（ ）

x22A．y=(x) B．y= C．y=3x3 D．y=x2

xx(2) 函数f(x)的图象是（ ）

|x|

（3）已知f(x)的图象恒过（1，1）点，则f(x4)的图象恒过（ ） A．（－3，1） B．（5，1） C．（1，－3） D．（1，5） （4）已知f(x)x2x1，则f[f(2)] _．

（5）函数y(x1)22的图象可由函数yx2的图象经过 得到.

①先向右平移1个单位，再向下平移2个单位；②先向右平移1个单位，再向上平移2个单位；③先向左平移1个单位，再向下平移2个单位；④先向左平移1个单位，再向上平移2个单位．

2例2．（1）已知f(x1)x2x，求f(x)及f(x)；（2）已知f(x)3f(x)2x1，求f(x).

例3．画出下列函数的图象．

（1）y＝x2－2，x∈Z且｜x｜2；（2）y＝－2x2＋3x，x∈（0，2］；

x＜－2，3（3）y＝x｜2－x｜；（4）y＝－3x－2x＜2．

－3x2．例4．如图，动点P从单位正方形ABCD顶点A开始，顺次经C、D绕边界一周，当x表示点P的行程，y表示PA之长时，求y关于x的解析式，并求f(

5)的值． 2

【课内练习】 1．与曲线y

A．y1关于原点对称的曲线为 （ ） x1

1111 B．y C．y D．y 1x1x1x1x2．已知函数yf(x),x[a,b],那么集合{(x,y)|yf(x),x[a,b]}{(x,y)|x2} 中所含元素的个数是 A．0个 B．1个 C． 0或1个 D．0或1或无数个 3．下列说法中，正确的有（ ）个

①函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x=0对称； ②函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线y=0对称； ③函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于坐标原点对；

④如果函数yf(x)对于一切xR,都有f(ax)f(ax)，那么yf(x)的图象关于直线xa对称．A．1 B．2 C．3 D．4

2x1,x0,若f(x0)1，则x0的取值范围是 （ ） 4．设函数f(x)12x0x,A．（－1，1） B．（－1，+∞） C．（－∞，－2）∪（0，+∞） D．（－∞，－1）∪（1，+∞）

5．已知f(x)x4x4x0，则f[f(3)]的值为 x06．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，f（－2）＝10，则f（2）＝ _．

x2111f(x)f(1)f(2)f()f(3)f()f(4)f()21＋x2347．已知函数，那么＝ _

8．作出下列函数的图象：

10(2x0)4x2(x)2 (1)f(x)2 ； (2)yx2x3 ；(3)y2

(0x2)x1|x|x9．设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且方程f(x)0的两实根的平方和为10，f(x)的图象过点(0,3)，求f(x)的解析式.

10．设f(x)3ax22bxc，若abc0,f(0)0,f(1)0，求证：

（1）a0且2b1； a（2）方程f(x)0在（0，1）内有两个实根。

作业

x1，则方程f(4x)x的根是 x2．如果函数yf(x)的图象与函数g(x)32x的图象关于坐标原点对称，则yf(x)的表达式为

3．设函数f(x)对任意x、y满足f(xy)f(x)f(y)，且f(2)4，则f(1)＝

1．若f(x)4．函数y(x1)21的图象与函数y(x1)21的图象关于 对称 5．设函数yf(x)与函数g(x)的图象关于x3对称，则g(x)的表达式为 6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中纵轴表示离学校的距离d，横轴表示出发后的时间t，则下列四个图形中较符合该生走法的是（ ）

7．设f(x－1)=3x－1,则f(x)= ．

8． 则x与y在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变成c%(a,b0,ab)，的函数关系式是

x21(x0)(x0)，则f(f(f(2008))) 9．若函数f(x)0(x0)1，求f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值为

2x22x＋2(x2)11．设函数f(x)，求f（－4）；若f(x0)8，求x0．

(x2)2x12．（1）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)；

11x2（2）已知g(x)12x,fg(x)2 (x0)， 求f()．

2x213．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)xx)f(x)x2x,若f(2)3，求f(1)；又若f(0)a，求f(a)．

14．用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x，求此框架围成的面积y与x的函数式yf(x)，并写出它的定义域．

10．设f(x)15．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2)1，若f(1)5，求f(f(5))． f(x)16．设yf(x)是定义在区间[1,1]上的函数，且满足条件： （1）f(1)f(1)0；（2）对任意的u,v[1,1],都有|f(u)f(v)||uv|． （Ⅰ）证明：对任意的x[1,1],都有x1f(x)1x； （Ⅱ）证明：对任意的u,v[1,1],都有|f(u)f(v)|1．

2．2 函数的定义域与值域

【知识网络】1．函数的定义域；2．函数的值域． 【典型例题】 例1．（1）函数f(x)3x21xlg(3x1)的定义域是 （2）已知f(x)=

1，则函数f(f(x))x1的定义域是 （3）函数＝ykx26xk8的定义域为R，则k的取值范围是 _

1（4）下列函数中,最小值是2的是_ _(正确的序号都填上).①yxx2)；②

xx23x9yy1；④ytanxcotx． ；③24xx2（5）若x2y21,则3x4y的最大值是______ 例2．（1）求下列函数的定义域：f(x)x5x62(x1)0xx的定义域．

（2）已知函数f(x)的定义域是(a,b)，求函数F(x)f(3x1)f(3x1)的定义域． 例3．求下列函数的值域： （1）y432xx2； （2）yx12x；

x2x1（3）y2； （4）yx35x；

2x2x32例4．已知函数yf(x)xax3在区间[1，1]上的最小值为3，求实数a的值． 【课内练习】

3

21．函数f(x)3xx的定义域为（ ）A．[0，2 ] B．[0，3] C．[3，0] D． （0，3）

2x522．函数y的值域为（ ）A{y|y}B{y|y0}C{y|y2且y5}D{y|y}

5x1253．若函数f(x)的定义域为[a,b]，且ba0，则函数g(x)f(x)f(x)的定义域是（ ） A．[a,b] B．[b,a] C．[b,b] D．[a,a]

1x2(1,1] C．[1,1) D．(,1][1,) [1,1] B．4．A．函数y的值域为（）

1x24x28x135．函数yx1x3 的值域是 6．函数y (x1)的值域是

6(x1)7．若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,

2那么函数解析式为yx、值域为{1,4}的“同族函数”共有 个.

xy3xx28．求下列函数的定义域：（1）y； （2）log1(2x) ．

x1129．求下列函数的值域：

2sinxx24x3（1）yx4x2(1x4)；（2）y；（3）y2．

xx62sinx10．已知函数f(x)x22ax1在区间[1,2]上的最大值为4，求a的值．

2

作业

1．设I＝R，已知f(x)lg(x23x2)的定义域为F，函数g(x)lg(x1)lg(x2)的定义域为G，那么GUCIF等于（ ）

A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．(1，＋ ∞) D．(1，2)U(2，＋∞)

2．已知函数f(x)的定义域为[0，4]，求函数yf(x3)f(x2)的定义域为（ ） A．[2,1] B．[1,2] C．[2,1] D．[1,2]

1313．若a＞1, 则 a的最小值是（B）A．2 B．3 C． D．

a1224．若函数f(x)的定义域为[－2，2]，则函数f(x)的定义域是（ ） A．[－4，4] B．[－2，2] C． [0，2] D． [0，4] 5．已知函数f(x)lg1x的定义域为A，函数g(x)lg(1x)lg(1x)的定义域为B，1x则下述关于A、B的关系中，不正确的为（ ）

A A．AB B．A∪B=B C．A∩B=B D．B≠6．下列结论中正确的是（ ）

1A．当x2时，x的最小值为2

x1C．当x0时，x2

x

B．0x2时，2x2x无最大值 D．当x1时，lgx12 lgx7．函数y32xx2的值域为 8．函数y|x1||x2|的值域为

2x22x39．函数yx(63x)(0x2)的值域是 10．求函数y2的值域

xx111．求函数y12．已知函数y25x2lgcosx的定义域．

2x的定义域是R, 则实数a的范围是

ax2(a1)x113．已知函数f(x)lg[(a21)x2(a1)x1],若f(x)的值域为(,)，求实数a的取值范围。

14.已知函数f(x)x22x3在[0,a](a0)上的最大值为3，最小值为2，求实数a的取值范围．

15．已知f(x)的值域是[,34]，试求函数yg(x)f(x)12f(x)的值域． 16．已知二次函数f(x)x2bxc(b0,cR)．若f(x)的定义域为[1,0]时，值域也是[1,0]，符合上述条件的函数f(x)是否存在？若存在，求出f(x)的解析式；若不存在，请说明理由．

2．3函数单调性

【知识网络】

1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用 【典型例题】

例1．(1)设函数f(x)(2a1)xb是R上的减函数,则a的范围为( )

a,bR且ab0，则下列表达正确

(2)已知f(x)在区间(,)上是减函数，

的是（ ）A．f(a)f(b)[f(a)f(b)] B．f(a)f(b)f(a)f(b)

C．f(a)f(b)[f(a)f(b)] D．f(a)f(b)f(a)f(b) (3) 函数yx22x3的单调减区间是 22例2．画出下列函数图象并写出单调区间（1）yx2|x|1（2）y|x2x3| 例3．根据函数单调性的定义，证明函数

在

上是减函数．

nR恒有f(mn)f(m)f(n)，例4.设f(x)是定义在R上的函数，对m、且当x0时，0f(x)1。（1）求证：f(0)1； （2）证明：xR时恒有f(x)0；（3）求

证：f(x)在R上是减函数； （4）若f(x)f(2x)1，求x的范围。 【课内练习】

1．下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( ).

3

C． yx24x5 D． y3x28x10 x

2.函数 yx22x3的增区间是（ ）.A[3,1] B[1,1] C(,3) D [1,) 3. f(x)x22(a1)x2在 (,4]上是减函数，则a的取值范围是（ ）. A． a3 B． a3 C． a5 D． a3 4．若函数f(x)在区间[a,b]上具有单调性，且f(a)f(b)0,则方程f(x)0在区间[a，

A．y3x2 B． y

b]上（ ）A至少有一个实数根B至多有一个实数根C没有实数根D必有唯一的实数根 5. 函数yx26x10 的单调增区间是____，单调减区间______。

6．f(x)2x2mx3当 x[2,)时是增函数,当x(,2]时是减函数, 求f(1) 7．已知f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的为 ①yaf(x)（为常数）；②yaf(x)（a为常数）；③ y8．函数f(x)alogax(x1)1 ；④ y[f(x)]2．

f(x)在[0,1]上的最大和最小值的和为a，则a=

9．设f(x)是定义在(0,)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y),f(3)1

a10．求证:函数f(x)x(a0)在(a,)上是增函数.

x作业

1.下列四个函数：① yxx2，; ②yx2x； ③ y(x1)2; ④yx11x其中在(-,0) 上为减函数的是（ ）（A）① （B）④ （C）①、④ （D）①、②、④ 2.函数f(x)在(a,b)和(c,d)都是增函数，若x1(a,b),x2(c,d)，且x1x2那么（ ）A．f(x1)f(x2) B．f(x1)f(x2) C．f(x1)f(x2) D．无法确定

3. 已知函数f(x)是定义在(2,2)上的减函数，若f(m1)f(2m1)，实数m的取值范围为( ) A. m>0 B. 08.设f(x)是定义在(0,)上的增函数， f(2)1，且 f(xy)f(x)f(y)，求满足不等式 f(x)f(x3)2的x的取值范围. 作业

1.函数yx2|x|的单调递减区间为 ；

2单调增函数f(x)对任意x,yR满足f(xy)f(x)f(y),若f(k3x)f(3x9x2)0 恒成立，则k的取值范围是 ；

11x3.函数y＝2的单调递增区间为 ； 4.函数y＝的递减区间是 ；

x2x801x5.已知函数f(x)在[0, π)上是递减函数，那么下列三个数f(lg100), f(

), 22f()，从大到小的顺序是 36.(1) 证明：函数 yx在 [0,)上是增函数，(2)并判断函数 yxx在

[0,)上的单调性(3)求函数yxx在区间[1，4]上的值域.

17.如果二次函数f(x)x2(a1)x5在区间(,1)上是增函数，求f（2）的范围。

2x8.若f(x)是定义在(0,)上的增函数，且对于x0满足f()f(x)f(y)。

y1（1）求f(1)的值；（2）若f(6)1，试求解不等式f(x3)f()2。

x

2．4 函数的奇偶性

【知识网络】

1．奇函数、偶函数的定义及其判断方法；2．奇函数、偶函数的图象．3．应用奇函数、偶函数解决问题． 【典型例题】 例1．（1）下面四个结论中，正确命题的个数是（A）

①偶函数的图象一定与y轴相交；②函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)0；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）． A．1 B．2 C．3 D．4 提示：①不对，如函数f(x)1是偶函数，但其图象与y轴没有交点；②不对，因为奇2x函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－a，a）〕，答案为A．

2（2）已知函数f(x)axbx3ab是偶函数，且其定义域为［a1,2a］，则（ ） A．a1，b＝0 B．a1，b＝0 C．a1，b＝0 D．a3，b＝0 32提示：由f(x)axbx3ab为偶函数，得b＝0．

1．故答案为A． 32（3）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x2x，则f(x)）在R上的

表达式是（ ）

A．yx(x2) B．yx(|x|2) C．y|x|(x2) D．yx(|x|2)

2提示：由x0时，f(x)x2x，f(x)是定义在R上的奇函数得：

又定义域为［a1,2a］，∴ (a1)2a0，∴a2当x＜0时，x0，f(x)f(x)(x2x)x(x2)

(x0)x(x2)∴f(x)，即f(x)x(|x|2)，答案为D．

x(x2)(x0)53（4）已知f(x)xaxbx8，且f(2)10，那么f（2）等于26

5381，8∴提示：f(x)8xaxbx为奇函数，f(2)818，∴f(2)f(2)2．6

1（5）已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，若f(x)g(x)，则f(x)的解析式为

x1

提示：由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，可得f(x)g(x)1，联立

x1111111f(x)g(x) )2，得：f(x)(， ∴f(x)2x1x1x12x1x1例2．判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)(x1)1x；(2)f(x)1x2x21； 1x2(x0)lg(1x2)xxf(x)f(x)34（）；（）． 22xx(x0)|x2|2 解：（1）由

1x0，得定义域为[1,1)，关于原点不对称，∴f(x)为非奇非偶函数． 1x21x0(2) 2x21x1，∴ f(x)0 ∴f(x)既是奇函数又是偶函数．

x101x201g(l1g(l)x2（3）由2得定义域为(1,0)(0,1)，∴f(x)(x22)2|x2|20lg[1(x)2]lg(1x2)f(x) ∴f(x)为偶函数 ∵f(x)22(x)x （4）当x0时，x0，则f(x)(x)2x(x2x)f(x)，

当x0时，x0，则f(x)(x)2x(x2x)f(x)，

)x2， 2x 综上所述，对任意的x(,)，都有f(x)f(x)，∴f(x)为奇函数． 例3．若奇函数f(x)是定义在（1，1）上的增函数，试解关于a的不等式： f(a2)f(a24)0．

2解：由已知得f(a2)f(a4)

因f(x)是奇函数，故 f(a24)f(4a2)，于是f(a2)f(4a2)． 又f(x)是定义在（1，1）上的增函数，从而

3a2a24a21a213a2 1a31a2415a3或3a5即不等式的解集是(3,2)．

例4．已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x、y，恒有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，又f(1)．

23（1）求证：f(x)为奇函数；（2）求证：f(x)在R上是减函数；（3）求f(x)在[3，6]上的最大值与最小值．

（1）证明：令xy0，可得 f(0)f(0)f(00)f(0)，从而，f(0) = 0． 令yx，可得 f(x)f(x)f(xx)f(0)0，即f(x)f(x)，故f(x)为奇函数．

（2）证明：设x1,x2∈R，且x1x2，则x1x20，于是f(x1x2)0．从而

f(x1)f(x2)f[(x1x2)x2]f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)0

所以，f(x)为减函数．

（3）解：由（2）知，所求函数的最大值为f(3)，最小值为f(6)．

f(3)f(3)[f(2)f(1)][2f(1)f(1)]3f(1)2 f(6)f(6)[f(3)f(3)]4

于是，f(x)在[-3，6]上的最大值为2，最小值为 -4．

【课内练习】

1．下列命题中，真命题是（ C ）

1是奇函数，且在定义域内为减函数 xB．函数yx3(x1)0是奇函数，且在定义域内为增函数 C．函数yx2是偶函数，且在（3，0）上为减函数

A．函数yD．函数yax2c(ac0)是偶函数，且在（0，2）上为增函数

1在定义域内不具有单调性；B中，函数的定义域不关于原点对称；Dx中，当a0时，yax2c(ac0)在（0，2）上为减函数，答案为C．

2． 若(x)，g(x)都是奇函数，f(x)a(x)bg(x)2在（0，＋∞）上有最大值5，则f(x)在（－∞，0）上有（ ）

提示：A中，yA．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3 提示：(x)、g(x)为奇函数，∴f(x)2a(x)bg(x)为奇函数． 又f(x)有最大值5， ∴－2在（0，＋∞）上有最大值3．

∴f(x)－2在(,0)上有最小值－3，∴f(x)在(,0)上有最小值－1．答案为C． 3．定义在R上的奇函数f(x)在（0，+∞）上是增函数，又f(3)0，则不等式xf(x)0的解集为（A） A．（－3，0）∪（0，3） B．（－∞，－3）∪（3，+∞） C．（－3，0）∪（3，+∞） D．（－∞，－3）∪（0，3） 提示：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解．答案为A．

4.已知函数yf(x)是偶函数，yf(x2)在［0，2］上是单调减函数，则（A） A.f(0)f(1)f(2) B. f(1)f(0)f(2) C. f(1)f(2)f(0) D. f(2)f(1)f(0)

提示：由f（x－2）在［0，2］上单调递减，∴f(x)在［－2，0］上单调递减.

∵yf(x)是偶函数，∴f(x)在［0，2］上单调递增. 又f(1)f(1)，故应选A. 5．已知f(x)奇函数，当x∈（0，1）时，f(x)lg的表达式是lg(1x)．

1，那么当x∈（－1，0）时，f(x)1x1lg(1x)． 1x提示：当x（－1，0）时，x∈（0，1），∴f(x)f(x)lg6．已知f(x)log3 f(0)log3提示：

2ax是奇函数，则a2007＋2007a= 2008．

ax2a2a 0，1，解得：a1，经检验适合，a20072007a2008．

aa7．若f(x)是偶函数，当x∈［0，+∞)时，f(x)x1，则f(x1)0的解集是{x|0x2} 提示：偶函数的图象关于y轴对称，先作出f(x)的图象，由图可知f(x)0的解集为{x|1x1}，∴f(x1)0的解集为{x|0x2}.

8．试判断下列函数的奇偶性：

1x2（1）f(x)|x2||x2|； （2）f(x)；

x33（3）f(x)|x|(x1)0． x解：（1）函数的定义域为R，f(x)|x2||x2||x2||x2|f(x)， 故f(x)为偶函数．

1x20（2）由得：1x1且x0，定义域为[1,0)(0,1]，关于原点对称，

|x3|3021x21x21xf(x)，f(x)f(x)，故f(x)为奇函数． x33xx（3）函数的定义域为(-∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞)，它不关于原点对称，故函数既非奇函

数，又非偶函数．

3)a，用a9．已知函数f(x)对一切x,yR，都有f(xy)f(x)f(y)，若f(表示f(12)．

解：显然f(x)的定义域是R，它关于原点对称．在f(xy)f(x)f(y)中， 令yx，得f(0)f(x)f(x)，

令xy0，得f(0)f(0)f(0)，∴f(0)0，

∴f(x)f(x)0，即f(x)f(x)， ∴f(x)是奇函数． ∵f(3)a， ∴f(12)2f(6)4f(3)4f(3)4a．

ax21(a,b,cZ)是奇函数，又，f(1)2，f(2)3，求a、b、10．已知函数f(x)bxcc的值.

解：由f(x)f(x)得bxc(bxc) ∴c=0. 又f(1)2，得a12b，

而f(2)3，得

4a13，解得1a2. a1又aZ，∴a0或a1.

1Z，应舍去； 若a1，则b=1∈Z. 2∴a1,b1,c0.

若a0，则b=

2．5 映射的概念、指数函数

【知识网络】

1．映射；2．指数概念；3．指数运算；4．指数函数；5．指数函数的图象及其性质． 【典型例题】 例1．（1）已知集合P={x|0x4}，Q={y|0y2},下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是（ C ）

x2xx1A．y B．y C．y D．yx2

2338x4x2x8x2提示：当0x4时，02，0，0，02，故答案为C．

833233（2）图中曲线C1、C2、C3、C4分别是指数函数 yax、ybx、ycx、ydx的图象，则 a、b、c、d与1的大小关系是（ D ）

A、a＜b＜1＜c＜d B、a＜b＜1＜d＜c C、b＜a＜1＜c＜d D、b＜a＜1＜d＜c 提示：在第一象限内，指数函数图象的排列是“底大的在上”，增函数的底大于1，减函数的底大于0且小于1． （3）函数f(x)2|x|的值域是（ A ）

A．(0,1] B．(0,1) C．(0,) D．R

t提示：令t|x|，则t0，∴ y2(0t)，其值域为(0,1]，答案为A．

（4）函数y()12x2x2得单调递增区间是[,2]

12提示：由x2x20得：1x2，以

1为底的指数函数是减函数，则二次函数2x2x2(1x2)的减区间[,2]就是所给函数的增区间．

（5）已知1a0，则三个数3a,a3,a3由小到大的顺序是

a131121

1提示：30,a0,a0，又0a1，故(a)3(a)3，所以，a3a3． 例2．计算下列各式：

3（

431）

1370220.256341.5()82(23)()36313；（2）

a8aba2ab4b23323(123b3)a． a13112121633442解：（1）原式＝()122(23)()32427110． 334311m8mn2nm(m38n3)m2 (1)m2（2）令a3m,b3n，则：原式2m2mn4n2mm2mn4n2m2nm3(m2n)(m22mn4n2)m3a 22(m2mn4n)(m2n)ax1(a1) 例3．已知函数f(x)x．（1）判断函数f(x)的奇偶性；（2）求f(x)的值域；

a1（3）证明f(x)在(－∞，+∞)上是增函数． 解：（1）函数的定义域为R．

ax11axax1f(x)xxf(x)，所以f(x)是奇函数． xa11aa11y1yax1xxa0，故1y1， （2）由yx得：，由a0，得：1y1ya1f(x)函数值域为(－1，1) ． .（3）设x1x2，

(a1)(a1)(a1)(a1)2(aa)ax11ax21x= 则f(x1)f(x2)x。xx(a1)(a1)(a1)(ax1)a11ax21xx∵a1，x1x2，∴ax1ax2， 又∵a110,a210，

∴f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)， ∴ 函数f(x)在(－∞，+∞)上是增函数．

1212x1x2x1x2x1x2例4．已知函数ya2x2ax1(a0且a1)在区间[1,1]上的最大值是14，求a的值. 解： tax，则yt22t1(t1)22f(t)，对称轴方程为t1. 当0a1时，∵ 1x1，∴ at∴ ymaxf()1，此时，y关于t单调增， a12121a3或a5（舍）114150a，，∴ ，∴ ． 22aaaa31当a1时，∵ 1x1，∴ ta，此时，y关于t单调增，

a2（舍）∴ ymaxf(a)a2a114，a22a150，∴a3或a5

1综上：a3 或a．

3【课内练习】

1．已知映射f：AB，其中集合A=｛－3，－2，－1，１，２，３，４｝，集合Ｂ中的

1af元素都是Ａ中元素在映射下的象，且对于任意的Ａ，在Ｂ中和它对应的元素是，

|a|则集合Ｂ中元素的个数是（A）

Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ 提示：B{,2． 1a111,1,} 3244a3aa5(a0)的值是（ D ）

a D、a a，答案为D．

1710A．1 B、a C、提示：151710a3aa54a31245a14325aa3．设m,n∈N*,a0,b0，则下列各式中正确的有（ C ）个

①amanamn； ②(am)namn；③(ab)nanbn；④()mambm；⑤()mambm A．5 B．4 C．3 D．2 提示：②③⑤正确，①④错误．

4.当a0时，函数yaxb和ybax的图象只可能是（ A ）

提示：先考虑直线yaxb中的a、b的正负，再验证ybax的单调性，易知，答案为A．

5．在某种细菌培养过程中，每30分钟一次（一个为两个），经过4个小时，这种细菌由一个可繁殖成256个．

提示：经过4个小时，共有细菌28256（个）． 6．若函数f(x)的定义域为(0,1)，则函数f(2x)的定义域为 (0,) 提示：由02x1得x0，∴ x0 7．若

xx11212ababxx3，则

12 2 .

5x2x233232提示：由x2x23得：xx129，∴xx17， ∴x2x2249，∴x2x247

． ∵ x2x2(x2x2)33(x2x2)27918，∴ 原式＝

47358．求函数y331111182215xx1的定义域.

1x10x1x0且x1 解：要使函数有意义必须：x0x0x1 ∴ 定义域为：xxR且x0,x1

9．若0x2，求函数y432x5的最大值与最小值. 解：令t2x，∵0x2 ∴1t4

111yt23t5(t3)2

22215 当t3时，y有最小值；当t1时，y有最大值.

2210x10x10．讨论函数f(x)x的奇偶性与单调性及其值域. x1010x1210x10x解：①函数f(x)x的定义域是R． x101010x10x10x10x 又∵f(x)xxf(x)，故函数f(x)为奇函数． xx10101010 ②任取x1,x2R，且x1x2，

10x210x210x110x12(102x2102x1) x1则f(x1)f(x2)xx2x12x22x1210101010(101)(101)又∵10x为增函数 ∴当x1x2时，102x2102x10，而102x110,102x210， ∴f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，所以f(x)是R上的增函数

110x10x102x122x01 ③yx∵∴110112xx2x2x1011010101101220 ∴112x1 ∴函数的值域为（1，1）. ∴22x101101

作业本

A组

1．在M到N的映射中，下列说法正确的是（ D ）

A．M中有两个不同的元素对应的象必不相同 B．N中有两个不同的元素的原象可能相同

C．N中的每一个元素都有原象 D．N中的某一个元素的原象可能不只一个

提示：M中两个不同的元素对应的象可以相同， N中的元素可以没有原象．答案为D． 2．函数y(a23a3)ax是指数函数，则有（ C）.

A．a1或a2 B．a1 C．a2 D．a0且a1

a23a31提示：a0得：a2，答案为C．

a131211323．已知a(),b2,c()3，则下列关系中正确的是（ D ） 22 A abc B cab C acb D

113提示：b()2，有y()x在R上为减函数知bac，答案为D．

224．y(2a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是（1，2） 提示：由02a1解得：1a2

5．若指数函数yax在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a提示：若

0a1

，解得：

，则

a1a1，即

a2a10a1515或a（舍去）． 221515． 或a（舍去）22若a1，则aa11即a2a10，解得：a51． 26.比较下列个组数的大小：

综上所述；a（1）0.50.5与0.60.4；（2）40.8,80.45,()1.5.

解：（1）∵ 0.50.50.60.5且0.60.50.60.4， ∴ 0.50.50.60.4.

12121∵ 21.621.521.35，∴ 40.8()1.580.45

2127.求函数y()x2x的值域及单调区间.

3111解：①令tx22x(x1)21，则t1，y()t， 0()t()1,即0y3

333∴ 函数y的值域为(0,3].

（2）40.821.6，80.4521.35，()1.521.5

1322当x1时，t(x1)1为增函数，当x1时，t(x1)1为减函数 ∴ 所给函数的增区间为(,1]，减区间为[1,).

②函数y()t在R上为减函数，

8．已知函数f(x)x2bxc的对称轴为直线x1，且f(0)3，比较f(bx)与f(ax)的大小．

b1解：由题意：2，∴ b2,c3，

f(0)c32∴f(x)x2x3，f(x)在(0,)上单调递增．

xx当x0时，2x3x0，则f(2)f(3)； xx当x0时，2x3x1，则f(2)f(3)；

xx当x0时，02x3x，则f(2)f(3)．

B组

1．设f(x)22x52x11,它的最小值是（ ）

A．91 B．3 B． D．0

162提示：设2xt(t0)，得yt2t1(t)25254995，当t时，ymin． 1612．下列f：M→N的对应关系中,不是映射的是（C ）

A．M={α|090} ，N=[0,1]，f：取正弦． B．M={α|090}，N=[－1,1]，f：取余弦．

1}，f：取倒数． 2 D．M ={－3,－2,－1,2,3}，N={1,4,9,16}，f：取平方．

C．M={0,1,2}，N={0, 1, 提示：C中，0没有象．

3.函数y3x2的单调递增区间是（ D ） A、(,) B、(,0] C、(2,) D、(,2]

1提示：y()|x2|,t|x2|的减区间(,2]就是所给函数的增区间.答案为D．

34．设0a1，使不等式ax22x1ax23x5成立的x的集合是{x|x4}

提示：∵ 0a1，∴ 原不等式可以化为：x22x1x23x5，解得x4．

5．若M={－1,0,1} N={－2,－1,0,1,2}从M到N的映射满足：对每个x∈M恒使x+

f(x)是偶数, 则映射f有_12__个．

提示：M中的元素a与其在N中的象b的和为偶数，故a为偶数时，b为偶数，a为奇数时，b为奇数，故符合条件的映射的个数为23212（个）

116．已知9x103x90，求函数y()x14()x2的最大值和最小值．

42xx解 ：由9x103x90得：(31)(39)0，解得：13x9, ∴ 0x2

111令()xt，则t1, y4t24t24(t)21

2241当t时，ymin1，此时，x1；当t1时，ymax2，此时，x0．

2

7.若a0,b0，且abc，

求证：(1)当r1时，arbrcr ；(2)当r1时，arbrcr .

abab证明：∵ a0,b0，且a+b=c，∴ 1， ∴01,01

ccccrrabarbr()()， crccabab（1）当r1时，1，所以arbrcr；

ccccrrabab（2）当r1时，1，所以arbrcr.

ccccrr2m是奇函数，求常数m的值； 3x1 （2）画出函数y|3x1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3x1｜＝k无解？有一解？有两解？

解:（1）由f(x)f(x)0得：

8.（1）已知f(x)1322mxm0,mx1 xx31313113（2）当k0时，直线yk与函数y|3x1|的图象无交点,即方程无解；

当k0或k1时, 直线yk与函数y|3x1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解； 当0k1时, 直线yk与函数y|3x1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解. 8．

2．6 对数函数与幂函数

【知识网络】

1．对数的概念、运算法则；2．对数函数的概念；3．对数函数的图象及其性质；4．运用对数函数的性质解决问题． 【典型例题】 例1．（1）下列函数中既是偶函数又是(,0)上是增函数的是（C ） A．yx B．yx C．yx D．yx4332x214

提示：A、D中的函数为偶函数，但A中函数在(,0)为减函数，故答案为C． （2）函数yx的图象是（ A ）

432（3）函数ylg(1)的图像关于（ C ）

1xA．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线yx对称

21x1x提示：yf(x)lg(，由1)lg0得函数的定义域为(1,1)

1x1x1x1x1x11xlg()lgf(x)，∴ f(x)为奇函数，答案为C． 1x1x1x（4）函数ylog1(x26x17)的值域是(,3]

∵ f(x)lg2提示：令tx26x17(x3)288，ylog1t，log1tlog183．

222（5）下列命题中，正确命题的序号是 ④

①当0时函数yx的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）

点；

③若幂函数yx是奇函数，则yx是定义域上的增函数；④幂函数的图象不可能出现在第四象限．

提示：①错，当0时函数yx的图象是一条直线（去掉点（0，1））；

②错，如幂函数yx1的图象不过点（0，0）；③错，如幂函数yx1在定义域上不是增函数；④正确，当x0时，x0． 例2．已知幂函数f(x)xm试确定f(x)的解析式．

22m3且关于y轴对称，(mZ)的图象与x轴、y轴都无交点，

m22m302解：由m2m3是偶数，解得：m1,1,3．

mZm1和3时解析式为f(x)x0,m1时解析式为f(x)x4.

当m1和3时，f(x)x0；当m1时，f(x)x4．

x例3．根据函数单调性的定义，证明函数f(x)log2在(0,1)上是增函数．

1xx1log2(1) 证明：f(x)log21x1x在（0，1）上任取x1,x2且x1x2，则：

x1x211111)(1)k (1x11x21x11x2(1x1)(1x2)∵ 0x1x21，∴ x1x20，1x10，1x20，∴ k0 111111，∴lg(1)lg(1)，即f(x1)f(x2) ∴

1x11x21x11x2∴ f(x)在(0,1)上是增函数．

g(x),其中f(x)lg(x1)，并且仅当（x0,y0）例4．设F(x)f(x)在ylg(x1)的图象

（2x0,2y0）上时，在yg(x)的图象上． （1）写出g(x)的函数解析式；（2）当x在什么区间时，F(x)0

y, 2） ∵ （x0,y0在f(x)lgx1的图象上，∴ y0lg(x01)

解：（1）设2x0x,2y0y，那么x0,y0x2xxyxlg(1)y2lg(1)， ∴ g(x)2lg(1) ，∴

2222xx（2）F(x)lg(x1)2lg(1)，由题意得，x需满足：lg(x1)2lg(1)0

22 ∴

xx1(1)22x28x80422x422 x1 2x422 x2x2x12∴ 当x(2,422]时，F(x)0． 【课内练习】

1．如果x1，alog1x，那么（ C ）

2 A．a2aa B．2aaa2 C．a2a2a D．a2aa2

alog1x0提示：当x1时，，答案为C．

2212．设a0,b0,且a2b27ab,那么lg|(ab)|等于（ B ）

31111 A．(lgalgb) B．lg(ab) C．(lg|a|lg|b|) D．lg(ab)

3223222提示：∵ ab7ab，∴ (ab)9ab

111111lg|(ab)|lg|(ab)2|lg|9ab|lg(ab),答案为B． 3292924f(x1)f(x2)x1x2f()3．对于幂函数0xx，若，则，大小关系是（A） 12f(x)x522xx2xxf(x1)f(x2)f(x1)f(x2))A．f(1 B．f(12) 2222xxf(x1)f(x2)C．f(12) D．无法确定

224．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是（ D ）

21ylog(x1)ylog(x4x5) 211A． B．ylog2x1 C．ylog2 D．

x22提示：A、C中函数为减函数，(0,2)不是B中函数的子集，故答案为D．

5．函数yx22x24的单调递减区间是(,6]

1提示：由x22x240得：x4或x6，∵ 函数yt2在[0,)上为增函数，函数

tx22x24在(,6]上为减函数，故所给函数的单调减区间为(,6]．

6．函数ylog(x1)(3x)的定义域是(1,2)(2,3)

x10x1提示：由x11得：x2， ∴1x2且2x3

3x0x37．若loga331，则a的取值范围是a1或0a

55 提示：当a1时, loga33301； 当0a1,loga1logaa, ∴ 0a.

5558．计算：（1）lg25lg2lg50(lg2)2；

lg23lg91(lg27lg8lg1000)（2） lg0.3lg1.2解：（1）原式＝2lg5lg2(1lg5)(lg2)22lg5lg2(1lg5lg2)2lg52lg22

333lg232lg31(lg33lg2)(1lg3)(lg32lg21)3222（2）原式＝

(lg31)(lg32lg21)(lg31)(lg32lg21)29．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系. （1）yx；（2）yx；（3）yx；（4）yx；（5）yx；（6）yx

（1）yx定义域为[0,)，非奇非偶函数，在[0,)上为增函数，对应图（A）； （2）yx定义域为R，奇函数，在R上为增函数，对应图（F）； （3）yx定义域为R，偶函数，在[0,)上为增函数，对应图（E）；

（4）yx定义域为{x|xR且x0}，偶函数，在[0,)上为减函数，对应图（C）； （5）yx定义域为{x|xR且x0}，奇函数，在[0,)上为减函数，对应图（D）； （6）yx1223133213232312．

3223定义域为(0,)，非奇非偶函数，在(0,)上为减函数，对应图（B）．

． 综上： （1）（A），（2）（F），（3）（E），（4）（C），（5）（D），（6）（B）

10．已知函数f(x)2log3x(1x9)，求函数y[f(x)]2f(x2)的最大值和最小值，并求出相应x的值．

1x9解：由解得1x3，则函数y[f(x)]2f(x2)的定义域为[1,3] 21x9y[f(x)]2f(x2)(2log3x)22log3x2log32x6log3x6

令tlog3x(0t1)，则yt26t6(t3)23，y关于t在[0，1]上为增函数，

当t0时，ymin6，此时，log3x0，x1； 当t1时，ymax13，此时，log3x1，x3．

综上：当x1时，函数y有最小值6，当x3时，函数y有最大值13．

作业本 A组 1．函数ylog3(6x3x22)的定义域是（ B ）

3333,1] B．(1,1) 33333333C．(,1][1,) D．(,1)(,1)

333333x1提示：由6x3x220得：3x26x20,解得：1，答案为B． 33A．[12．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ B ）

A．yx3 B．yx3 C．y2x3 D．yx31

x提示：形如ya(a0且a1)的函数叫做幂函数，答案为B．

3．如果函数f(x)lg[x(x)1],x[1, A．0 B．

323]，那么f(x)的最大值是（ A ） 211 C． D．1 42337x1)lg[(x)2] 24163373令t(x)2，当x[1,]时，t关于x单调增，当t时，tmax1

24162此时，yf(x)取到最大值0．

提示：yf(x)lg(x24．函数yx2在区间[,2]上的最大值是4 提示：函数yx2在区间[,2]上单调减，当x12121时，ymax4． 25．函数f(x)lg(x21x)是 奇（填奇或偶）函数． 提示：∵x21|x|x，∴

x21x0恒成立，故函数的定义域为R．

又∵f(x)f(x)lg(x21x)lg(x21x)lg10，∴f(x)为奇函数．

b，logba，logab的大小； axyz （2）若235，且x，y，z都是正数，试比较2x，3y，5z的大小．

bb2解：（1）由aba1得1a，∴ ba1且logab1

aab故logblogba1logab．

algtlgtxyz （2）令235t，由于x，y，z都是正数，则t1，x，y，

lg2lg3lgtz，

lg52lgt3lgtlgt(lg9lg8)0，∴2x3y； ∴2x3ylg2lg3lg2lg3 同理可得：2x5z0，∴2x5z，∴3y2x5z．

6．（1）若aba1，试比较logb27．利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤） （1）y(x2)53x22x21；（2）y2．

x2x153解：（1）函数y(x2)移1个单位而得到．

1的图象可以由yx53的图象向右平移2个单位，再向下平

x22x2111,y211（2）y2，把函数的图象向左平移

x2x2x1x2x1(x1)2x22x21个单位，再向上平移1个单位，可以得到函数y2的图象．

x2x1

x8．已知函数f(x)loga(a1)（a0且a1）．

求证：（1）函数f(x)的图象在y轴的一侧；

（2）函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0．

证明：（1）由a10得：a1，

∴当a1时，x0，函数f(x)的定义域为(0,)，此时函数f(x)的图象在y轴右侧； 当0a1时，x0，函数f(x)的定义域为(,0)，此时函数f(x)的图象在y轴左侧．

∴函数f(x)的图象在y轴的一侧．

（2）设A(x1,y1)、B(x2,y2)是函数f(x)图象上任意两点，且x1x2，

xxax11y1y2x1x2则直线AB的斜率k，y1y2loga(a1)loga(a1)logax，

a21x1x2当a1时，由（1）知0x1x2，∴1a1a2，∴0a11a21，

xxxxax11∴0x1，∴y1y20，又x1x20，∴k0；

2a1xxxx当0a1时，由（1）知x1x20，∴a1a21，∴a11a210， ax11∴x1，∴y1y20，又x1x20，∴k0．

2a1∴函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0．

B组

（x0），log2x1x]的值是（B） 1．已知函数f（x）则f[f（）43（x0），A．9

B．

1 9 C．－9 D．1 9提示：f()log2141112，f[f（）]f(2)32． 4491n,logay等于（ D ） 1x11A．mn B．mn C．(mn) D．(mn)

22提示：loga(1x)m,loga(1x)n, ∴ loga(1x)loga(1x)mn,

122∴ loga(1x)mn,即logaymn,∴ 2logaymn,∴logay(mn)

2x1，0)上有g(x)0，3． 已知g(x)loga|x1|(a0且a1)在(1则f(x)a是（C ）

A．在(,0)上是增加的 B．在(,0)上是减少的

222．已知xy1,x0,y0，且loga(1x)m,logaC．在(,1)上是增加的 D．在(,1)上是减少的

，0)时，0|x1|1，由g(x)0知0a1，提示：当x(1函数f(x)ax1在(,0)上没有单调性，在(,1)上为增函数．答案为C． 4． 右图为幂函数

yx在第一象限的图象，

则1,2,3,4按由小到大的顺序排列为

3241

5．函数ylogax在[2,)上恒有y1，则a的取值范围是

1(,1)(1,2) 2提示：当0a1时，函数yf(x)logax在[2,)上单调减，yf(2)loga20

0a10a11则1a1；

2loga212a当a1时，函数yf(x)logax在[2,)上单调增，yf(2)loga20

a1a11a2 则log212aa综上：

1a1或1a2 2116． （1）若a0，比较2a,()a,0.2a的大小；（2）若1a0，比较3a,a3,a3的大小．

2a解：（1）当a0时，幂函数yx在(0,)上单调减，∵0.2112，2.∴2a()a022a ．

x（2）当1a0时，3a0,a30,a30，指数函数y(a)在(0,)上单调减，

1∵31111，∴0(a)3(a)3，∴ 0a3a3， ∴ 3aa3a3 37．求函数yloga(xx2)(a0,a1)的值域和单调区间．

解：（1）由xx2>0得0x1，所以函数yloga(xx)的定义域是(0,1) 因为04112 函数yloga(xx)的值域为(,loga] 44（2）令txx2，则ylogat，

1当0a1时，函数ylogat在(0,)为减函数，txx2在(0,]上是增函数，在

2111[,1)上是减函数，故所给函数在在(0,]上是减函数，在[,1)上是增函数； 2222当a1时, loga(xx)loga当a1时，函数ylogat在(0,)为增函数，txx2在(0,上是减函数，故所给函数在在(0,8．已知函数f(x)log211]上是增函数，在[,1)2211]上是增函数，在[,1)上是减函数． 22x1log2(x1)log2(px). x1（1）求函数f (x)的定义域；（2）求函数f (x)的值域．

x1x10x1或x1x1解：（1）由x10x1 xppx0xp∵ 函数的定义域不能为空集，故p1，函数的定义域为(1,p)． （2）f(x)log2[2x1(x1)(px)]log2(x1)(px)＝log2[－x2(p1)xp] x1p12(p1)2=－x(p1)xp(x)g(x) 令t24p112 ①当，即1p3时，t在(1,p)上单调减，g(p)tg(1)，即0t2p2，p1∴ f(x)1log2(p1)，函数f(x)的值域为(,1log2(p1))；

p1p11p1(p1)222即p3时，g(p)tg( )，即0t②当42p1∴ f(x)2log2(p1)2，函数f(x)的值域为(,2log2(p1)2)．

综上：当1p3时，函数f(x)的值域为(,1log2(p1))；

当p3时，函数f(x)的值域为(,2log2(p1)2)．

2．7 函数与方程

【知识网络】

1．利用函数的图象求方程的解的个数；2．一元二次方程的根的分布；3．利用函数的最值解决不等式恒成立问题 【典型例题】

x1例1．（1）若f(x)，则方程f(4x)x的根是( A )

x11 A． B．－ C．2 D．－2

22（2）设函数f(x)对xR都满足f(3x)f(3x),且方程f(x)0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（ D ）

A．0 B．9 C．12 D．18

提示：由f(3x)f(3x)知f(x)的图象有对称轴x3，方程f(x)0的6个根在x轴上对应的点关于直线x3对称，依次设为3t1,3t2,3t3,3t1,3t2,3t3，故6个根的和为18，答案为D． （3）已知

5bc（a、b、c∈R），则有（ ） 1，

5aA．b24ac B．b24ac C．b24ac D．b24ac 提示一：依题设有 a5b5c0

∴5是实系数一元二次方程ax2bxc0的一个实根； ∴△＝b24ac≥0 ∴b24ac，答案为B．

提示二：去分母，移项，两边平方得：5b225a210acc210ac＋25ac＝20ac． ∴b24ac，答案为B．

（4）关于x的方程 x2(2m8)xm2160的两个实根

x、x 满足 x13x2，

12217则实数m的取值范围(,)

2222提示：设f(x)x(2m8)xm16，则f()3293(m4)m2160， 16即：4m212m70，解得：m127． 2（5）若对于任意a[1,1]，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零, 则x的取值范围是(,1)(3,)

提示：设g(a)(x2)ax24x4，显然，x2

2x3或x2g(1)2xx4x40则，即，解得：x>3或x<1． 2x2或x1g(1)x2x4x40x2x例2．设x1,x2,x3依次是方程log1， 2log2(x2)x，2xx2的实数根，试比

较x1,x2,x3的大小 ．

解：在同一坐标内作出函数yx2，

ylog1x2，y2x的图象

从图中可以看出，0x3x1 又x20，故x2x3x1

例3．若关于x的方程22x2xaa10有实根，求实数a的取值范围． 解：设t2x(t0)，则原方程可变为t2ata10① 原方程有实根，即方程①有正根．

2令f(t)tata1

a24(a1)0(1)方程①有两个正实根t1,t2，则t1t2a0解得 1a222；

tta1012（2）方程①有一个正实根和一个负实根，则f(0)a10，解得：a1． 综上：a222

例4．已知二次函数f(x)ax2bx(a,b为常数，且a0) 满足条件：f(x1)f(3x)，且方程f(x)2x有等根 （1）求f(x)的解析式；

（2）是否存在实数m、n(mn)，使f(x)定义域和值域分别为［m，n］和［4m，4n］，

如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由

26． 解：（1）∵方程ax2bx2x有等根，∴(b2)0，得b=2 ．

由f(x1)f(3x)知此函数图象的对称轴方程为x2故f(x)x2x ．

2（2）f(x)(x1)11，∴4n1，即nb1，得a1， 2a1 41时，f(x)在［m，n］上为增函数 42而抛物线yx2x的对称轴为x1 ∴n若满足题设条件的m，n存在，则f(m)4m，

f(n)4n2m2m4mm0或m2即2 n0或n2n2n4n又mn1， ∴m2,n0，这时定义域为［–2，0］，值域为［–8，0］ 4由以上知满足条件的m、n存在， m2,n0．

【课内练习】

1．当0x1时，函数yaxa1的值有正值也有负值，则实数a的取值范围

是（D ）

A．a B．a1 C．a或a1 D．a1

2．已知方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为的等差数列,则

121212|mn|( C)

331A．1 B． C． D．

4281143d4 提示：由题意，等差数列的首项为，四项的和为4，设公差为d，则444211357，故该数列的四项为：,,,． 244443．已知函数yf(x)(xR)满足f(x3)f(x1)，且x∈[－1,1]时，f(x)|x|，则

解得：d

yf(x)与ylog5x的图象交点的个数是( B )

A．3 B．4 C．5 D．6 提示：由f(x3)f(x1)知f(x2)f(x)故

f(x)是周期为2的函数，在同一坐标系

中作出yf(x)与ylog5x的图象，可以看出，交点个数为4． 4．已知函数 f(x)ax3bx2cxd的图象如下，则（A ） A．b(,0) B．b(0,1) C．b(1,2) D．b(2,)

提示：f(x)ax(x1)(x2)ax33ax22ax，b2a．

当x2时，f(x)0，当x0时，f(x)0，∴ a0，故b0，答案为A． 5．x0是方程axlogax(0a1)的解，则x0,1,a 这三个数的大小关系是ax01

提示：在同一坐标系中作出函数yax和ylogax的图象，

可以看出：x01，logax01，∴x0a，∴ax01

6．关于x的不等式232x3xa2a30，当0x1时恒成立，则实数a的取值范围为(,1)(2,)

提示 设t3x，则t∈［1，3］，

原不等式可化为：a2a32t2t,t[1,3]，

等价于a2a3大于f(t)2t2t,t[1,3]的最大值 ∵f(t)在[1，3]上为减函数，∴[f(t)]maxf(1)1 ∴ a2a31，解得：a2或a1．

7.已知函数f(x)ax22ax4(0a3),若x1x2,x1x21a,则f(x1)与f(x2)的大小关系为 f(x1)f(x2)

提示：f(x)a(x1)24a其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x1， ∵ x1x2(1a)(2,1)，x1与x2的中点在(－1，)之间，x1x2 ∴ x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离，∴f(x1)f(x2)，答案为A．

8．已知函数y解：由

21的图象与直线ymx只有一个公共点，求这个公共点的坐标． x11221mx，得mx2(m1)x10, x1因为两个图象只有一个公共点，所以(m1)24m0，解得：m322. 当m322时，xm1m121； 21，ymx22m当m322时，x21,y21.

当m322时，公共点的坐标是(21,21)；

当m322时，公共点的坐标是(21,21)．

9．已知f(t)log2t，t∈[2，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式

x2mx42m4x恒成立，求x的取值范围．

解：∵t∈[2，8]，∴ f(t)∈[

11，3]， ∴m∈[，3] ． 22原题转化为：m(x2)(x2)>0恒成立， 当x2时，不等式不成立．

∴x2，令g(m)m(x2)(x2)2，m∈[

21，3]， 2x21(x2)20g()则：2，解得：x2或x1． 2g(3)3(x2)(x2)20∴x的取值范围为(,1)(2,)． 10．已知函数f(x)（1）求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数；

（2）若f(x)2x在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围；

（3）若f(x)在［m，n］上的值域是［m，n］(m≠n)，求a的取值范围 解：（1）证明 任取x1x20

111111xxf(x1)f(x2)()()12

ax1ax2x2x1x1x211 ((a0,x0) ax∵x1x20，∴x1x20，x1x20，

∴f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(0,+∞)上是增函数

（2）解 ∵

112x在(0,+∞)上恒成立，且a＞0, ax∴

a12x1在（0，+∞）上恒成立， x令

g(x)112x1x122x1x212x(x0)即x=2时取等号 ，当且仅当4x22要使

a1在(0,+∞)上恒成立，则a

2x4x故a的取值范围是［

2,+∞)． 4（3）解 由（1）f(x)在定义域上是增函数

∴mf(m),nf(n)，即m2m10，n2故方程x21a1n10 a11x10有两个不相等的正根m，n，注意到mn1，mn0 aa11故只需要(()240,由于a0，则0a ．

a2

作业本 A组

1．函数y(x22x)29的图象与x轴交点的个数是（B） A．1 B．2 C．3 D．4 提示：令y0，(x22x3)(x22x3)0

∵x22x30 ∴x22x30，解得x1或x3 即方程f(x)0只有两个实数根 2．若函数f(x)2|x1|m的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是（A）

A．0m1 B．0m1 C．m1或m0 D．m1或m0

1x1|1，∵ |x1|0，∴ 0()|x1|1，即0m1． 223．直线y2k与曲线9k2x2y218k2|x|(kR,且k0)的公共点的个数为（Ｄ）

提示：令f(x)0，得：m()|A．1 B．2 C．3 D．4

提示：将y2k代入9k2x2y218k2|x|得：9k2x24k218k2|x|

9|x|218|x|40，显然该关于|x|的方程有两正解，故关于x的方程有四解，所以

交点有4个，答案D．

24.若关于x的方程(1)x2a3有负根，则实数a的取值范围是(,5)

335a由

3a222a30，解得：a5． 1得：

a535ax5．若a为方程2x0的解，b为不等式log2x1的解，

c为方程log1xx的解，则a、b、c从小到大依次为acb；

2提示：a0，b2，在同一坐标系内作出函数

ylog1x和函数

2yx的图象，可以看出0c1，答案为acb

6．已知关于x的方程32x1(m1)(3x11)(m3)3x0有两个不同的实根，求m的

取值范围.

解：设3xt(t0)，原方程化为：3t2(m1)(3t1)(m3)t0，即

3t22mtm10„„„„„„„„„„①

2m301m3210 原问题等价于方程①有两个不同的正根，解得：. m3224m12(1m)07.方程2ax2x10(a0，且a1)在区间1,1上有且仅有一个实根，求函数

ya3x2x的单调区间.

解：令f(x)2ax2x1，

（1）由f(1)2a0，得a0，舍去； （2）由f(1)2a20，得a1，舍去；

（3）f(1)f(1)0aa00a1 综上：0a1

2121

61211 则yat在R上为减函数，t在(,]上为增函数，在[,)上为减函数.

662211∴当x(,]时，ya3xx是减函数；当x[,)时，ya3xx是增函数.

668．设f(x)是定义在(,)上的偶函数，其图像关于直线x1对称，对任意

1x1,x2[0,]都有f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)

2 对于函数ya3x2x，令yat，t3xx3(x)211（1）设f(1)a0，求f()，f()；

24（2）证明f(x)是周期函数。

（1）解：∵f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)，x1,x2[0,]，

12xxxx∴f(x)f()f()f()0,x[0,1]。

222211111f(1)f()f()f()[f()]2，

2222211111121 f()f()f()f()[f()]0，同理可得：f()0

24444441111∵f(1)a0，∴f()a2，∴f()a4．

24（2）证明：函数yf(x)的图像关于直线x1对称，∴f(x)f(2x) f(x)f(x) ∴f(x)f(2x)，

令xt，则f(t)f(2t)

∴f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期。

B组

11．已知函数g(x)f(x)，其中log2f(x)2x，xR，则g(x)（ C ）

f(x)A．是奇函数又是减函数 B．是偶函数又是增函数 C．是奇函数又是增函数 D．是偶函数又是减函数

提示：由log2f(x)2x得：f(x)22x，g(x)22x1，g(x)的定义域为R， 22x1122xg(x)，∴ g(x)为奇函数； 2x2x22122x为奇函数，则g(x)为增函数．答案为C． ∵ f(x)22x为增函数，

f(x)2．已知函数f(x)log2|ax1|(a0)满足关系式f(2x)f(2x)，则a的值为(B )

11

A．1 B．－2 C．4 D．－1

提示：由f(2x)f(2x)知f(x)的图象有对称轴x2，它也是函数t|ax1|的g(x)22x对称轴，函数t|ax1|的对称轴为x111，故2，所以，a，答案为B． aa23．关于x的方程(x21)2|x21|k0，给出下列四个命题：

①当k0时，方程恰有2个不同的实根；②当k0时，方程恰有5个不同的实根；

11③当k时，方程恰有4个不同的实根；④当0k时，方程恰有8个不同的实根．

44其中假命题的个数是 ( A )

A．0 B．1 C．2 D．3 提示：记|x21|t，则方程变为t2tk0， 14k

k0时，t10,t21，原方程有5个解；

k0时，t10,t21，原方程有2个解；

1110k时，t1(0,),t2(,1)，原方程有8个解；

42211k时，t1t2，原方程有4个解；

421时，关于t的方程无解，原方程有0个解． 44．三个同学对问题“关于x的不等式x2＋25＋|x3－5x2|ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”．

参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是a10． k提示：∵ 1x12，∴ 原不等式可化为：x当x5时，x25|x25x|a x252和|x5x|同时取到最小值5，故a10． x5． 关于x的方程lg(ax1)lg(x3)1有解，则a的取值范围是a10

13ax110(x3)(10a)x29ax10 提示：显然有x＞3，原方程可化为x3x302931a10． ∴ 10a310a06．已知函数f(x)x2（a,b为常数）且方程f(x)x120有两个实根为 axbx13,x24。

（1）求函数f(x)的解析式；（2）设k1，解关于x的不等式：f(x)(k1)xk。

2x931203abx2 解：（1）f(x)x120即x120,由题意：16axb41204ab3ab1x2整理，得：，解得：a1,b2，∴f(x)；

4ab2x2(k1)xkx2(k1)xkx2(k1)xk0 （2）f(x)即：，∴

2xx22xx2(xk)(x1)0， ∴

x2①当1k2时，不等式的解集为(1,k)(2,)； ②当k2时，不等式的解集为(1,2)(2,)； ③当k2时，不等式的解集为(1,2)(k,)

7．对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点 已知函数

f(x)ax2(b1)xb1(a0)

（1）当a1,b2时，求f(x)的不动点；

（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

2解 （1）当a1,b2时，f(x)xx3 由题意可知xx2x3，得x11,x23 故当当a1,b2时，f(x)的不动点 1,3．

2（2）∵f(x)ax(b1)xb1(a0)恒有两个不动点，

2∴xax(b1)xb1，

即ax2bxb10恒有两相异实根

2∴b4ab4a0(bR)恒成立 2于是(4a)16a0解得

故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0a1 x2(a1)， x1求证：（1）函数f(x)在(1,)上为增函数；（2）方程f(x)0没有负数根． 证明：（1）设1x1x2，

x2x2x则f(x1)f(x2)a11 ax22x11x21x2x223(x1x2)， ax1ax21ax1ax2x11x21(x11)(x21)3(x1x2)∵1x1x2，∴x110，x210，x1x20，∴0；

(x11)(x21)8．已知函数f(x)axxxxx∵1x1x2，且a1，∴a1a2，∴a1a20，

∴f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴函数f(x)在(1,)上为增函数； （2）假设x0是方程f(x)0的负数根，且x01，则a0 即ax0xx020， x012x03(x01)31① x01x01x0133 当1x00时，0x011，∴ 3，∴12，而由a1知ax01，

x01x01∴①式不成立；

当x01时，x010，∴

330，∴11，而ax00， x01x01∴①式不成立．

综上所述，方程f(x)0没有负数根．

2．8 函数的应用（1）

【典型例题】

例1．（1）设集合A{x|x210},B{x|log2x0|},则AB等于 （ A ） A．{x|x1} B．{x|x0} C．{x|x1} D．{x|x1或x1} 提示：A{x|x1或x1}，B{x|x1}，AB{x|x1}

12 A．y3y1y2 B．y2y1y3

提示：y121.8（2）设y140.9,y280.44,y3()1.5，则 （D）

C．y1y2y3

D．y1y3y2

,y221.32,y321.5，∵y2x在R上为增函数，∴ y1y3y2，答案

为D．

（3）下列函数既是奇函数，又在区间[1,1]上单调递减的是（D ）

1x2xxA．f(x)sinx B．f(x)|x1| C．f(x)(aa) D．f(x)ln

22x提示：A、D为奇函数，A中函数在[1,1]上为增函数，故答案为D

（5）若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(,0]上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0的x的取值范围是 (2,2)

提示：作出示意图：当2x2，时，f(x)0．

2log(xx2)log1(x1)1. 1例2．解不等式：

222log(xx2)log1(2x2).所以，原不等式 1解：原不等式变形为

22xx20,(x2)(x1)0,x2,x10x10,2x3.

0x3x2x22x2x23x0故原不等式的解集为{x|2x3}. 例3．已知函数f(x)满足f(logax)2a(xx1)，其中a0且a1 2a1 （1）对于函数f(x)，当x(1,1)时，f(1m)f(1m2)0求实数m的取值集合；

2)时，f(x)－4的值恰为负数，求a的取值范围． （2）当x(，解：（1）令tlogax，则xat，f(t)函数f(x)的定义域为R，f(x)当0a1时，当a1时，

aattf(x)(axax)， (aa)∴22a1a1a(axax)f(x)，故f(x)为奇函数． 2a1a0，ax为减函数，ax为增函数，故f(x)为增函数； 2a1a0，ax为增函数，ax为减函数，故f(x)为增函数； 2a1综上，f(x)为R上的增函数．

（1）由f(1m)f(1m2)0及f(x)为奇函数，得，f(1m)f(m21) 再由定义域和单调性得：11mm211，解之得1m2。 （2）因为f(x)4在R上是增函数，且x2，所以，f(x)4f(2)4，要使f(x)4a(a2a2)＝4，解之得a23 在(,2)上恰为负数，只需f(2)40，即2a1例4．已知二次函数f(x)ax2bxc,(a,b,cR)满足：对任意实数x，都有

1f(x)x，且当x（1，3）时，有f(x)(x2)2成立．

8 （1）证明：f(2)2；（2）若f(2)0,求f(x)的表达式．

m1 （3）设g(x)f(x)x x[0,)，若g(x)图上的点都位于直线y的上方，求

42实数m的取值范围．

1解：（1）由条件知 f(2)2恒成立，又∵取x=2时，f(2)(22)22恒成立，∴f(2)2

8f(2)4a2bc21 （2）∵ ∴4ac1，2b1，b,c14a

2f(2)4a2bc0f(x)x恒成立，即ax2(b1)xc0恒成立

12∴a0,(1)4a(14a)0，即：(8a1)20

21211111解得：a,b,c ∴f(x)xx

822822（3）由条件知道，f(x)图象总在直线 yy由ym1x上方，即直线与抛物线无公共点． 241211xx111m1822消去y得：x2x＝x，即：x24(1m)x20

m182224x2416(m1)280，解得：122． m122【课内练习】

1．若f(x)、g(x)都是R上的单调函数，有如下命题： ①若f(x)、g(x)都单调递增，则f(x)g(x)单调递增 ②若f(x)、g(x)都单调递减，则f(x)g(x)单调递减 ③若f(x)、g(x)都单调递增，则f(x)g(x)单调递增 ④若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)g(x)单调递增

⑤若f(x)单调递减，g(x)单调递增，f(x)g(x)单调递减 其中正确的是（D） A．①② B．②③④ C．③④⑤ D．④⑤

提示：①错，反例：f(x)x，g(x)x；②错，反例：f(x)x，g(x)x；③错，反例：f(x)x，g(x)x；④⑤正确．

2．函数f(x)axlogax在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为之积为1，最大值与最小值43，则a等于( B ) 8 A．2 B．

112 C．2或 D． 2231438提示： f(x)在区间[1，2]上为单调函数，故f(1)f(2)，f(1)f(2)，把选择支代入检验，知a1，答案为B． 2a,ab3．对a,bR，记max{a,b}=，函数f(x)max{|x1|,|x2|}(xR)的

b,a＜b最小值是(C ) A．0 B．

13 C． D．3 223 2提示：作出函数yf(x)的图象，可以看出函数的最小值为

4若函数f(x)kaxax(a0且a1)在(,)是既是奇函数，又是增函数，则 g(x)loga(xk)的图像是（ C ）

提示：f(x)f(x)0，即：kaxaxkaxax0，∴(k1)(axax)0 ∵axax0，∴ k1，∴f(x)axax，g(x)loga(x1)

∵f(x)axax在(,)上为增函数，故a1，∴g(x)loga(x1)在(1,)上为增函数，故答案为C．

5．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为 0 提示：f(6)f(42)f(4)f(22)f(2)f(0)0 6．设f(x)lg2xx2，则f()f()的定义域为 (4,1)(1,4) 2x2xx22,2x2f(x){x|2x2}提示：由得，的定义域为。故， 02x222.xx2解得：(4,1)(1,4)，故f()f()的定义域为(4,1)(1,4)．

2x7．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是②

①yx3,xR； ②ysinx,xR；③yx,xR；④y(),xR． ②在其定义域内是奇函数但不是减函数；②在其定义域内既是奇函数又是增函数；③在其定义域内不是奇函数，是减函数．故答案为①． 8．设函数f(x)lg(xx21)．

(1)确定函数f (x)的定义域；(2)判断函数f (x)的奇偶性；(3)证明函数f (x)在其定义域上是单调增函数．

1x2xx2109．解： (1)由得x∈R，定义域为R. 2x10(2) f(x)lg(xx21)lg(xx21)1lg(xx21)f(x)

又f(x)的定义域关于原点对称，所以f(x)是奇函数． (3)设x1,x2R，且x1x2 则f(x1)f(x2)lg则t1t2(x1 (x1x2)x1x1212x2x21. 令txx21，

22x121)(x2x21) (x1x2)(x121x21)

2(x1x2)(x121x21x1x2(x1x2)(x1x)2x1x12122x1x12122

222∵x1－x2＜0，x11x10，x21x20，x112x210，

∴t1－t2＜0，∴0＜t1＜t2，∴0t11 t2∴f(x1)f(x2)lg10，即f(x1)f(x2)，∴ 函数f(x)在R上是单调增函数． 10．设函数f(x)|x24x5|.

（1）在区间[2,6]上画出函数f(x)的图像；

（2）设集合A{xf(x)5},B(,2][0,4][6,). 试判断集合A和B之间的关系，并给出证明； （3）当k2时，求证：在区间[1,5]上，ykx3k的图像位于函数f(x)图像的上方． 解：（1）函数的图象如下：

（2）方程f(x)5的解分别是214,0,4和214，由于f(x)在(,1]和[2,5]上单调递减，在[1,2]和[5,)上单调递增，因此

A(,214][0,4][214,)

由于2146,2142 ∴ B是A的子集． （3）当x[1,5]时，f(x)x24x5.

4k2k220k36) g(x)k(x3)(x4x5)x(k4)x(3k5)(x244kk2，∴ 1，又1x5，

24k4k ① 当1， 1，即2k6时，取x22k220k3612[(k10)6 g(x)min. 4]44 16k(120)，∴ (k10)20，则g(x)min0.

224k1，即k6时，取x1，g(x)min＝2k0. 2 由 ①、②可知，当k2时，g(x)0，x[1,5]．

② 当

作业 A

5． 已知yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x1，那么不等式f(x)1213)

2226．若函数ylg(axax1)的定义域为R，求实数a的范围．

的解集是 (,)[0,7．已知函数f(x)x2ax2a在区间[－2，4]上的最小值不小于3，求实数a的范围． 8．设yf(x)是定义在区间[1,1]上的函数，且满足条件：

（i）f(1)f(1)0；（ii）对任意的u,v[1,1],都有|f(u)f(v)||uv|． （1）证明：对任意的x[1,1]，都有x1f(x)1x； （2）证明：对任意的u,v[1,1]，都有|f(u)f(v)|1．

5提示：设x0，则x0，f(x)x1f(x)，∴ f(x)x1，且f(0)0

x0x013x0或1或1，解得：x或0x

x1x122226解：ax2ax10对xR恒成立．

（1）当a0时，10恒成立，适合题意；

2（2）当a0时，抛物线yaxax1开口向下，ax2ax10对xR不恒成立；

a0（3）当a0时，，解得：0a4． 2a4a0综上所述：0a4

a2a27解：f(x)(x)2a

24a4aa4时，，解得：a； 2即

f(2)42a2a324a8a（2）当24即4a8时，a，解得：2a6； a2f()2a3242a8aa8（3）当4即时，，解得：a．

2f(4)164a2a3（1）当

综上所述：2a6．

8（1）证明：由题设条件可知，当x[1,1]时，有|f(x)||f(x)f(1)||x1|1x,

即x1f(x)1x.

（2）证明： 对任意的u,v[1,1]，当|uv|1时，有|f(u)f(v)||uv|1

当|u-v|1时，uv0，不妨设u0,则v0且v-u1, ∴ |f(u)f(v)||f(u)f(1)||f(v)f(1)||u1||v1|

1u1v2(vu)1．

综上可知，对任意的u,v[1,1],都有|f(u)f(v)|1．

B组

1．若函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上单调递减，则（D）

A．f(3)f(4)0 B．f(3)f(2)0 C．f(2)f(5)0 D．f(4)f(1)0

2．已知函数yloga(1ax)(a0,a1)在定义域（1，2）上为增函数，则a的范围是（ C）

11) B．(0,1) C．(0,] D．(1,2) 22pp3．函数f(x)x在（1，+∞）上是增函数，则实数p的取值范围是（ A ）

x2A．(0,A．［－1,＋∞) B．［1,+∞) Ｃ. (－∞,－1］ Ｄ.( －∞,1］

4．已知函数f(x)是定义在(,)上的偶函数，当x(,0)时，f(x)xx4，则当x(0,)时，f(x)xx4

5．设a0,a1，函数f(x)loga(x2x3)有最小值，则不等式loga(x1)0的解集为(2,)

6．已知函数ylg(ax2ax1)的值域为R，求实数a的范围． 7．设a,bR,且a2,定义在区间(b,b)内的函数f(x)lg（1）求b的取值范围；（2）判断并证明函数f(x)的单调性． 8．已知定义域为R的函数f(x)是奇函数。

x12a21ax是奇函数． 12x2xb（1）求a,b的值；

（2）若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围．

1提示：A错误，反例：yx220；B错误，反例：yx2, C错误，反例：yx2．答案为D．

2提示：令t1axg(x)，由a0知，t在（1，2）上为减函数，则ylogat在(0,)0a11上为减函数，故0a1， ∴ ，解得0a．

2g(2)12a0pp的增区间为(,p]x2p0和[p,)，则（1，+∞）是[p,)的子集，故，解得1p0．

p1综上：p1．答案为A．

3提示：显然，p0时，适合题意；当p0时，f(x)x4提示：设x0，则x0，f(x)xx2f(x)，故f(x)xx4．

5提示：令tx22x3(x1)222，由题意，当t2时，ylogat有最小值，故

a1，∴ loga(x1)0可化为x11，即x2． 6解：当a0时，ylg10显然不符合要求，则a0； 当a0时，显然不符合要求；因此a0．

22令taxax1(t0)，则{t|taxax1(xR)}{t|t0} 结合tax2ax1的图象可知：当tax2ax1的图象全部在x 轴上方时，t大于或等于一个正常数，故不符合要求．

a0∴，解得：a4． 综上所述：a4 2a4a01ax1ax1a2x21a2x2lglg0，∴ 1 7解：（1）f(x)f(x)lg12x12x14x214x222∴ (a4)x0， ∵ x2不恒为0，∴a24，又a2，故a2，∴f(x)lg12x 12x12x111110，得：x，由题意：(b,b)(,)，∴0b． 12x22222（2）函数f(x)在(b,b)上为减函数．证明如下：

12x112x24(x2x1)k 设bx1x2b，则

12x112x2(12x1)(12x2)∵bx1x2b，∴x2x10，12x112b0,12x212b0

12x112x212x112x2lglgk0∴ ，∴ ，∴，即f(x1)f(x2)

12x112x212x112x2∴f(x)在(b,b)上为减函数．

由

8解：（1）因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0，即

b10b1， a212x1f(1)f(1)，知12∴f(x)，又由2a2 x1a2a4a1∴ a2,b1

112x11（2）由（1）知f(x)，易知f(x)在(,)上 x1x22221为减函数。又因f(x)是奇函数，从而不等式： f(t22t)f(2t2k)0

等价于f(t22t)f(2t2k)f(k2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：

t22tk2t2．即对一切tR有：3t22tk0，

1从而判别式412k0k．

32．8 函数的应用（1）

A组

1．yf(x)的图象g(x)log2x(x0)的图象关于原点对称，则f(x)的表达式为(D ) A．f(x)1(x0) B．f(x)log2(x)(x0) log2x C．f(x)log2x(x0) D．f(x)log2(x)(x0) 提示：把yg(x)中的x换成x，y换成y得：ylog2(x)，ylog2(x)，答案为D． 2.“a1”是“函数f(x)|xa|在区间[1, +∞)上为增函数”的( A )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 提示：显然，a1时，f(x)|xa|在区间[1, +∞)上为增函数,但当f(x)|xa|在区间[1, +∞)上为增函数时，a1.

3．函数f(x)log0.5(2x25x2)的单调递增区间为（ B ） A．(,]； B．[,2)； C．[,); D．(,] 提示：由2x25x20得：2x25x20，解得：的减区间[,2)即为f(x)的增区间． 4．方程log3(2x1)1的解x2 提示：2x13，x2，经检验适合．

5． 已知yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x1，那么不等式f(x)的解集是 (,)[0,54545415241x2，函数t2x25x2254

12提示：设x0，则x0，f(x)x1f(x)，∴ f(x)x1，且f(0)0

123) 2x0x013x0或1或1，解得：x或0x

x1x12222

6．若函数ylg(ax2ax1)的定义域为R，求实数a的范围． 解：ax2ax10对xR恒成立．

（1）当a0时，10恒成立，适合题意；

（2）当a0时，抛物线yax2ax1开口向下，ax2ax10对xR不恒成立；

a0（3）当a0时，，解得：0a4． 2a4a0综上所述：0a4

7．已知函数f(x)x2ax2a在区间[－2，4]上的最小值不小于3，求实数a的范围． a2a2 解：f(x)(x)2a24a4a（1）当2即a4时，，解得：a；

2f(2)42a2a34a8a（2）当24即4a8时，a，解得：2a6； a2f()2a3242a8a（3）当4即a8时，，解得：a．

2f(4)164a2a3综上所述：2a6．

8．设yf(x)是定义在区间[1,1]上的函数，且满足条件：

（i）f(1)f(1)0；（ii）对任意的u,v[1,1],都有|f(u)f(v)||uv|． （1）证明：对任意的x[1,1]，都有x1f(x)1x；

（2）证明：对任意的u,v[1,1]，都有|f(u)f(v)|1．

（1）证明：由题设条件可知，当x[1,1]时，有|f(x)||f(x)f(1)||x1|1x,

即x1f(x)1x.

（2）证明： 对任意的u,v[1,1]，当|uv|1时，有|f(u)f(v)||uv|1

当|u-v|1时，uv0，不妨设u0,则v0且v-u1, ∴ |f(u)f(v)||f(u)f(1)||f(v)f(1)||u1||v1|

1u1v2(vu)1．

综上可知，对任意的u,v[1,1],都有|f(u)f(v)|1．

B组

1．若函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上单调递减，则（D）

A．f(3)f(4)0 B．f(3)f(2)0 C．f(2)f(5)0 D．f(4)f(1)0

提示：A错误，反例：yx220；B错误，反例：yx2, C错误，反例：yx2．答案为

D． 2．已知函数yloga(1ax)(a0,a1)在定义域（1，2）上为增函数，则a的范围是（ C）

11) B．(0,1) C．(0,] D．(1,2) 22提示：令t1axg(x)，由a0知，t在（1，2）上为减函数，则ylogat在(0,)A．(0,0a110a1上为减函数，故， ∴ ，解得0a．

2g(2)12a03．函数f(x)xpp在（1，+∞）上是增函数，则实数p的取值范围是（ A ） x2A．［－1,＋∞) B．［1,+∞) Ｃ. (－∞,－1］ Ｄ.( －∞,1］

pp的增区间为(,p]x2p0和[p,)，则（1，+∞）是[p,)的子集，故，解得1p0．

p1综上：p1．答案为A．

4．已知函数f(x)是定义在(,)上的偶函数，当x(,0)时，f(x)xx4，

提示：显然，p0时，适合题意；当p0时，f(x)x则当x(0,)时，f(x)xx4

24提示：设x0，则x0，f(x)xxf(x)，故f(x)xx．

5．设a0,a1，函数f(x)loga(x2x3)有最小值，则不等式loga(x1)0的解集为(2,)

提示：令tx22x3(x1)222，由题意，当t2时，ylogat有最小值，故 a1，∴ loga(x1)0可化为x11，即x2．

26．已知函数ylg(ax2ax1)的值域为R，求实数a的范围． 解：当a0时，ylg10显然不符合要求，则a0； 当a0时，显然不符合要求；因此a0．

22令taxax1(t0)，则{t|taxax1(xR)}{t|t0} 结合tax2ax1的图象可知：当tax2ax1的图象全部在x 轴上方时，t大于或等于一个正常数，故不符合要求．

a0∴，解得：a4． 综上所述：a4 2a4a07．设a,bR,且a2,定义在区间(b,b)内的函数f(x)lg（1）求b的取值范围；（2）判断并证明函数f(x)的单调性．

1ax是奇函数． 12x1ax1ax1a2x21a2x2lglg0，∴ 1 解：（1）f(x)f(x)lg12x12x14x214x222∴ (a4)x0， ∵ x2不恒为0，∴a24，又a2，故a2，∴f(x)lg12x 12x12x111110，得：x，由题意：(b,b)(,)，∴0b． 12x22222（2）函数f(x)在(b,b)上为减函数．证明如下：

12x112x24(x2x1)k 设bx1x2b，则

12x112x2(12x1)(12x2)由

∵bx1x2b，∴x2x10，12x112b0,12x212b0

12x112x212x112x2lglg，∴，即f(x1)f(x2)

12x112x212x112x2∴f(x)在(b,b)上为减函数．

∴ k0，∴

8．已知定义域为R的函数f(x)是奇函数。

x12a（1）求a,b的值；

（2）若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围． 解：（1）因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0，即

2xbb10b1， a212x1f(1)f(1)，知12 ∴f(x)，又由

2a2a2x1a4a1∴ a2,b1

112x11（2）由（1）知f(x)，易知f(x)在(,)上 x1x22221为减函数。又因f(x)是奇函数，从而不等式： f(t22t)f(2t2k)0

等价于f(t22t)f(2t2k)f(k2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：

t22tk2t2．即对一切tR有：3t22tk0，

1从而判别式412k0k．

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