高中数学必修

集合

（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）12）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（（3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集函数

映射定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x， 在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：B为从集合A到集合B的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量x,y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，定义 按照某个对应关系f,y都有唯一确定的值和它对应。那么y就是x的函数。记作yf(（4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若xA xB，则AB，即A是B的子集。1、若集合A中有n个元素，则集合A的子集有2n个，真子集有(2n-1)个。2、任何一个集合是它本身的子集，即关系 AA 注3、对于集合A,B,C,如果AB，且BC,那么AC.4、空集是任何集合的（真）子集。集合真子集：若AB且AB（即至少存在x0B但x0A），则A是B的真子集。集合相等：AB且AB AB集合与集合定义：ABx/xA且交集xB性质：AAA，A，ABBA，ABA,ABB，ABABA定义：ABx/xA或xB并集性质：AAA，AA，ABBA，ABA，ABB，ABAB运算B Card(AB)Card(A)Card(B)-Card(AB)定义：CUAx/补集xU且xAA性质：(CUA)A，(CUA)AU，CU(CUA)A，CU(AB)(CUA)(CUB)， CU(AB)(CUA)(CUB)

近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。定义域函数及其表示函数的三要素值域对应法则解析法函数的表示方法列表法图象法传统定义：在区间a,b上，若ax1x2b,如f(x1)f(x2)，则f(x)在a,b上递增,a,b 递增区间；如f(x是 1)f(x2)，则f(x)单调性在导数定义：在区间a,b上，若f(x)0，则f(x)在aa,b,b上递增上递减,,aa,b,b是递增区间；如是的递减区间。f 则f(x)在a,b上递减,(x)0a,b是的递减区间。 函数最大值：设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x函数的基本性质最值 （2）存在x)M。则称M是函数yI，都有f(x)的最大值f(x)M；0I，使得f(x0最小值：设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)N； （2）存在x0I，使得f(x0)N。则称N是函数yf(x)的最小值(1)(2)ff((xx))ff((xx),),xx定义域定义域DD，则，则ff((xx)叫做偶函数，其图)叫做奇函数，其图象关于原点对称。奇偶性象关于y轴对称。周期性：在函数 奇偶函数的定义域关于原点对称f(x)的定义域上恒有f(xT)f(x)(T0的常数)则f(x)叫做周期函数，T为周期； T的最小正值叫做f(x)的最小正周期，简称周期（1）描点连线法：列表、描点、连线向左平移个单位：y1y,x1axyf(xa)向右平移a个单位：yy,xaxyf(x平移变换a)向上平移b个单位：x1x,y1byybf向下平移b个单位：x11(x)1x,y1byybf(x)横坐标变换：把各点的横坐标x1缩短（当w1时）或伸长（当0w1伸缩变换时） 到原来的1/w倍（纵坐标不变），即x1wxyf(wx)纵坐标变换：把各点的纵坐标y 1伸长（A1)或缩短（0A1)到原来的A倍函数图象的画法 （横坐标不变），即y1y/Ayf(x)（2）变换法xx12x关于点(x0,y0)对称：yy12y00x12x0x2y0yf(2x0x)y关于直线xx0对称：xx12y0y12x0x12x0xyf(2x0x)对称变换yy1y1y关于直线yy0对称：xy1x1y2y0xy1x12y0y2y0yf(x)关于直线yx对称：xx1yy1yf1(x) 附：

一、函数的定义域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于零；4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；5、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值零点：对于函数yf（x）,我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点。定理：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0,零点与根的关系 那么，函数yf(x)在区间[a,b]内有零点。即存在c(a,b),使得f(c)0,这个c也是方范围。

二、函数的解析式的常用求法：

1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法 三、函数的值域的常用求法：

1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、单调性法；7、直接法 四、函数的最值的常用求法：

1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法 五、函数单调性的常用结论：

1、若f(x),g(x)均为某区间上的增（减）函数，则f(x)g(x)在这个区间上也为增（减）函数 2、若f(x)为增（减）函数，则f(x)为减（增）函数

3、若

f(x)与g(x)的单调性相同，则yf[g(x)]是增函数；若f(x)与g(x)的单调性不同，则

yf[g(x)]是减函数。

4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论：

1、如果一个奇函数在x0处有定义，则f(0)0，如果一个函数yf(x)既是奇函数又是偶函数，

则

f(x)0（反之不成立）

2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。 4、两个函数

yf(u)和ug(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶

函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。 5、若函数

f(x)的定义域关于原点对称，则

f(x)可以表示为

f(x)112[f(x)f(x)]2[f(x)f(x)]，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的

和。

 程f(x)0的根。（反之不成立）关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)有零点函数yf(x)的图象与x轴有交点函数与方程(1)确定区间[a,b],验证f(a)f(b)0,给定精确度；(2)求区间(a,b)的中点c;函数的应用(3)计算f(c)；二分法求方程的近似解 ①若f(c)0,则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)0,则令b（此时零点cx(a0,b)）； ③若f(c)f(b)0,则令a（此时零点cx(c,b0)）；(4)判断是否达到精确度：即若a-b,则得到零点的近似值a(或b);否则重复24。几类不同的增长函数模型函数模型及其应用用已知函数模型解决问题建立实际问题的函数模型根式：na,n为根指数，a为被开方数nmmaan分数指数幂指数的运算arasars(a0,r,sQ)指数函数性质rs(a)ars(a0,r,sQ)(ab)rarbs(a0,b0,rQ)定义：一般地把函数yax(a0且a1)叫做指数函数。指数函数性质：见表1对数：xlogaN,a为底数，N为真数基本初等函数loga(MN)logaMlogaN;logaMlogaM对数的运算对数函数性质NlogaN;logaMnnlogaM;(a0,a1,M0,N0)loglogcb换底公式：ab(a,c0且a,c1,b0)logca对数函数定义：一般地把函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数性质：见表1定义：一般地，函数yx叫做幂函数，x是自变量，是常数。幂函数性质：见表2

对数数函数表1 指数函数yaxa0,a1 ylogaxa0,a1 定义xR x0, 域 值域 y0, yR 图象 过定点(0,1)󰀀 过定点(1,0) 减函数 增函数 减函数 增函数 x(,0)时，y(1,)x(,0)时，y(0,1)x(0,1)时，y(0,)x(0,1)时，y(,0)x(0,)时，y(0,1)x(0,)时，y(1,)x(1,)时，y(,0)x(1,)时，y(0,性质 ab ab ab ab

表2 幂函数yx(R) pq 0 01 1 1 p为奇数q为奇数奇函数 p为奇数q为偶数 p为偶数q为奇数 偶函数 过定第一象增函数 点限性质 减函数 （0，1） )