2020年8月江苏省盐城中学高三年级阶段性考试数学试卷(pdf解析版)

数学试卷（2020.8）

一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合Axx2x，BxA．0,1B．0,11

1，则AB（x

C．,1）D．,00,1）D．2．已知i为虚数单位a,bR.复数A．12i551i

iabi.则abi（2i1221B．iC．i

555521

i55）3．将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（A．12种B．24种C．36种D．48种2

4．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N105,0.试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的间的人数约为（A．150）B．200C．3001

.则此次数学考试成绩在90分到105分之5

D．400）

5．在ABC中，BDDC，APPD，且BPABAC，则（A．1C．

12

121D．3

B．x2y2

6．设F1,F2是双曲线C:221a0,b0的两个焦点，P是C上一点若PF1PF26a，且abPF1F2的最小内角为30，则C的离心率为（A．6B．6C．3）D．37．已知函数fx是偶函数定义域为R，单调增区间为0,，且f10，则x1fx10的解集为（A．2,0）B．1,1C．,01,2D．,10,18．已知点Pm,n是函数yA．25B．21x22x图像上的动点，则4m3n21的最小值是（C．20D．4）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分.共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知数列an的前n项和为Sn2an2.若存在两项am,an，使得aman，则下列结论正确的是（A．数列an为等比数列B．数列an为等差数列C．mn为定值D．设数列bn的前n项和为Tn，bnlog2an，则数列

）Tn

为等差数列n

）10．将函数fxsin2xA．函数gx在区间





的图象向右平移个单位长度得到gx图象.则下列判断正确的是（

23



,上单调递增122

7对称12B．函数gx图象关于直线xC．函数gx在区间



,上单调递减63

,0对称3

）D．函数gx图象关于点

11．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，下列结论中正确的是（A．EF与BB1垂直B．EF与平面BCC1B1垂直C．EF与C1D所成的角为45D．EF平面ABCD

x2y21上右支上一点，F1是双曲线的左焦点，O为原点，若OPOF18，则12．已知P是双曲线上2516

下列结论正确的是（A．双曲线的离心率为）53

B．双曲线的渐近线为yC．PF1F2的面积为3x5D．点P到该双曲线左焦点的距离是18三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知x110

a1a2xa3x2a11x10，若数列a1,a2,a3,,ak1k11,kZ是一个单调递增数列，则k的最大值是________.14．以抛物线y2x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________.15．某地区要建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形ABCD，腰与底边夹角为60（如图）考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米.记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过取值范围为________.2

21

米，则其腰长x的2

16．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为23，其内有2个不同的小球，球O1与三棱锥ACB1D1的四个面都相切，球O2与三棱锥ACB1D1的三个面和球O1都相切，则球O1的体积等于________，球O2的表面积等于________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在①asinC3ccosBcosC3bcosC；②5ccosB4b5a；③2bacosCccosA这三个2

条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足________.（1）求sinC；（2）已知ab5，ABC的外接圆半径为43，求ABC的边AB上的高h3

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an1n（1）求证：数列an1为等比数列；（2）设bnnan1，求数列bn的n项和Tn.19．PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PAADCD2，BC3，如图，在四棱锥PABCD中，E为PD的中点，点F在PC上，且（1）求证：CD平面PAD；PF1

.PC3（2）求二面角FAEP的余弦值；（3）设点G在PB上，且请说明理由.PG2

，试判断直线AG是否在平面AEF内，PB320.水果按照果径大小可分为四类：标准果，优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级个数标准果10优质果30精品果40礼品果20（1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考方案1：不分类卖出，单价为20元/个.方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：等级售价（元/个）标准果16优质果18精品果22礼品果24采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机地抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望EX.x2y21

21．已知椭圆C:221ab0的离心率为，其左右顶点分别为A1,A2，上下顶点分别为B2,B1，ab2

四边形A1B1A2B2的面积为43，直线m:x4.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线n与椭圆C只有一个公共点P，直线n与直线m相交于点Q，在平面内是否存在定点T，使得PTQ

恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.2

x21

alnx,aR22．已知函数fx22（1）若fx0在1,上恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数gxfx2ax有两个极值点x1,x2，当gx1gx22e围.



1

a时，求实数a的取值范e

江苏省盐城中学高三年级阶段性考试

数学试卷（2020.8）

一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合Axx2x，BxA．0,1【答案】A解：xx，xx0xx100x1，Ax0x1.221

1，则AB（x

C．,1）D．,00,1B．0,1

111x1x0，100x1x00x1，Bx0x1xxx1i

iabi.则abi（2i1221B．iC．i

5555

ABx0x1，故本题选A.2．已知i为虚数单位a,bR.复数A．）D．12

i5521i55

【答案】B解：1i2ii23i1i13ii12iabi1i

i2i5555551212

a，b.abii.故本题选B.5555）3．将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（A．12种【答案】C解：C4A36636，故本题选C.232

4．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N105,B．24种C．36种D．48种0.试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的间的人数约为（A．150【答案】C）B．200C．3001

.则此次数学考试成绩在90分到105分之5

D．400解：PX120分之间的人数约为3

1000300.故本题选C.10

5．在ABC中，BDDC，APPD，且BPABAC，则（A．111113，PX90，即P90X105，数学考试成绩在90分到105552510

）C．

1

2

121D．3

B．【答案】C解：BPBAAPAB则

113131ADABABACABAC，，244444311

.故本题选C.442

x2y2

6．设F1,F2是双曲线C:221a0,b0的两个焦点，P是C上一点若PF1PF26a，且abPF1F2的最小内角为30，则C的离心率为（A．6【答案】DB．6C．3）D．3PF1PF26aPF14a

解：，2a2c且2a4a

PF1PF22aPF22aPF2所对的角PF1F2最小PF22PF12F1F222PF1F1F2cos304a216a24c224a2c

c

3，即e3.故本题选D.a327．已知函数fx是偶函数定义域为R，单调增区间为0,，且f10，则x1fx10的解集为（A．2,0【答案】C）B．1,1C．,01,2D．,10,1x1

1x2解：1当x10时，fx10，即

1x11

2当x1时，满足x1

x0，3当x10时，fx10，即

x11

综上：x,01,2.故本题选C.8．已知点Pm,n是函数yA．25【答案】C解：y

B．21x22x图像上的动点，则4m3n21的最小值是（C．20D．4）x22x0，y2x22xx1y21

22Pm,n在x1y21y0半圆上，圆心为1,0，半径为1m1cosmcos1



设，其中0,nsinnsin4m3n214cos43sin214cos3sin255sin25255sin（其中sin当

43

，cos）55时，4m3n21取最小值20，故本题选C.2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分.共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知数列an的前n项和为Sn2an2.若存在两项am,an，使得aman，则下列结论正确的是（A．数列an为等比数列B．数列an为等差数列C．mn为定值D．设数列bn的前n项和为Tn，bnlog2an，则数列【答案】ACD解：Sn2an2，当n1时，a1S12a12a12当n2时，anSnSn12an22an122an2an1）Tn

为等差数列n

an2an1a10

ana，即an是以2为公比的等比数列，选项A正确；n12

an22n12naman2m2n2mnmn6，选项C正确；b1Tnlog22nn，则Tn

nnnn2n1

2Tnn1Tnn2n11T

11n222，则nn

是以2为公差的等差数列，选项D正确；故本题选ACD.10．将函数fxsin

2x



3



的图象向右平移2个单位长度得到gx图象.则下列判断正确的是（A．函数gx在区间



12,

2上单调递增B．函数gx图象关于直线x712对称C．函数gx在区间





6,3上单调递减D．函数gx图象关于点3,0



对称【答案】ABD解：gxfx

2sin2x223

sin2x3对于A，

22x273212x12

gx的一个单调增区间为712,12，gx在区间



12,2上单调递增，正确；对于B，2x

27k32kx12

2kZ，当k0时，gx的对称轴为x712

，正确；对于C，由A可知gx在

12,

3

上单调增，错误；对于D，2x

2k3kx32kZ，当k0时，gx的对称中心为3,0

，正确；故本题选ABD.）11．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，下列结论中正确的是（A．EF与BB1垂直B．EF与平面BCC1B1垂直C．EF与C1D所成的角为45D．EF平面ABCD【答案】AD解：F为BC1中点，则F也为B1C中点，E为AB1中点，EF是B1AC中位线，EF//AC.对于A，BB1平面ABCD，BB1AC，BB1EF，正确；对于B，AC与BC不垂直，则EF与BC不垂直，则EF与平面BCC1B1不垂直，错误；对于C，EF//AC，EF与C1D所成角就是AC与C1D所成角，也是A1C1与C1D所成角，）A1C1C1DA1D，A1C1与C1D所成角为60，不是45，错误对于D，EF//AC，EF平面ABCD，AC平面ABCD，EF//平面ABCD，故本题选AD.x2y2

1上右支上一点，F1是双曲线的左焦点，O为原点，若OPOF18，则12．已知P是双曲线上2516

下列结论正确的是（A．双曲线的离心率为）53

B．双曲线的渐近线为yC．PF1F2的面积为3x5

D．点P到该双曲线左焦点的距离是18【答案】BD解：取PF1的中点为M，设双曲线右焦点为F2，连接PF2，OM

OPOF182OM8OM4，PF28PF1PF22a10，PF118，故选项D正确；而双曲线的离心率为e

41，故选项A错误；5双曲线渐近线方程为y

b4

xx，故选项B正确；a5

41565

x0518x01354141设Px0,y0，由PF1ex0a

y0

3221322322，故选项C错误.，SPF1F2241

24141故本题选BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知x110

a1a2xa3x2a11x10，若数列a1,a2,a3,,ak1k11,kZ是一个单调递增数列，则k的最大值是________.答案：6

解：1x展开式中第r1项为Tr1C10x，anC1010rr456a5C10210，a6C10252，a7C10210

n1a1a2a3a4a5a6a7a11a1,a2,a3,,ak是一个单调递增数列，kmax6.14．以抛物线y2x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________.2

12

答案：xy1

2

11122解：抛物线y2x的焦点为,0，圆心C为,0，圆C方程为xyr，222

222

112抛物线的准线为x圆C与抛物线准线相切，r1，即圆C的方程为：xy1.22

15．某地区要建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形ABCD，腰与底边夹角为60（如图）考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米.记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过取值范围为________.答案：3,4221

米，则其腰长x的2

解：过B作AD的垂线，垂足为E，则AE

33x

，BEx，x3x222293

1

BCBCx3x，则BC181202x622xx183x21

，则3x4，x22

yBC2x

综上：x3,4.16．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为23，其内有2个不同的小球，球O1与三棱锥ACB1D1的四个面都相切，球O2与三棱锥ACB1D1的三个面和球O1都相切，则球O1的体积等于________，球O2的表面积等于________.【答案】4；3

解：三棱锥ACB1D1为正四面体，AC26，设球O1的半径为r1，由等体积法知VACB1D1VO1ACB1VO1AB1D1VO1CB1D1SCB1D1

2362663，正四面体高为h2644311363424r14r1133444球O1的体积等于13.33

正四面体的高AQ4，AO1413设球O2的半径为r2，如图AO2O2N2r2r21

r2AO1O1M3121

.4

66外接球的半径Ra，a，34球O2的表面积等于4

注释：设正四面体的棱长为a，则其高为内切球的半径r

623a，体积为a.1212四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在①asinC3ccosBcosC3bcosC；②5ccosB4b5a；③2bacosCccosA这三个2

条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足________.（1）求sinC；（2）已知ab5，ABC的外接圆半径为43，求ABC的边AB上的高h3

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解：（1）选条件①asinC3ccosBcosC3bcos2C且正弦定理sinAsinC3sinCcosBcosC3sinBcos2CabcsinAsinBsinC即：sinAsinC3cosC(sinCcosBcosCsinB)3cosCsin(BC)在ABC中，ABC，sin(BC)sinA，sinAsinC3cosCsinA在ABC中，A(0,)，sinA0，sinC3cosC若cosC0，则sinC0，此时与sin2Ccos2C1矛盾cosC0，tanCsinC3cosC在ABC中，C(0,)，C3，则sinCsin.332选条件②5ccosB4b5a，且正弦定理5sinCcosB4sinB5sinA在ABC中，ABC，sinAsin(BC)5sinCcosB4sinB5sin(BC)5sinBcosC5cosBsinC4sinB5sinBcosC在ABC中，B(0,)，sinB0，cosC453.5abcsinAsinBsinC在ABC中，C(0,)，sinC0，sinC1cos2C选条件③(2ba)cosCccosA正弦定理abcsinAsinBsinC(2sinBsinA)cosCsinCcosA，即2sinBcosCsinAcosCsinCcosA2sinBcosCsin(AC)在ABC中，ABC，sin(AC)sinB，2sinBcosCsinB在ABC中，B(0,)，sinB0，cosC在ABC中，C(0,)，C123，则sinCsin.332（2）选条件①或③时，C由正弦定理得：343833cc2RsinC42R，且ABC的外接圆半径RsinC332a2b2c2(ab)22abc21522ab42由余弦定理：cosC，且ab5，可得：，则ab32ab2ab22ab33311.4h，则habsinCch，得：3222834选条件②时，sinC，cosC55由ABC的面积S由正弦定理得：4383383cc2RsinC2R，且ABC的外接圆半径RsinC3355a2b2c2(ab)22abc24522ab425由余弦定理：cosC，且ab5，可得：，则ab2ab2ab52ab2由ABC的面积S53835311.h，则habsinCch，得：222551618．已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an1n（1）求证：数列an1为等比数列；（2）设bnnan1，求数列bn的n项和Tn.解：（1）证明：①当n1时，Sn2an1n，a1S12a111，a10，a111②当n2时，Sn2an1n，Sn12an11(n1)2an12nanSnSn1(2an1n)(2an12n)2an2an11an2an11，则an12(an11)，即：an12an11{an1}是以1为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）可得：an1(a11)2n12n1 (nN)，bnn(an1)n2n1(nN)Tn120221322423n2n1①2Tn121222323(n1)2nn2n②①减去②：Tn(2222Tn(n1)2n1.012n120(12n))n2n2n(1n)2n112n19．PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PAADCD2，BC3，如图，在四棱锥PABCD中，E为PD的中点，点F在PC上，且（1）求证：CD平面PAD；PF1

.PC3（2）求二面角FAEP的余弦值；（3）设点G在PB上，且请说明理由.解：（1）证明：PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD又CDAD，PAADA，CD平面PAD.（2）过A作AEBC于点E，如上图建立空间直角坐标系则F

PG2

，试判断直线AG是否在平面AEF内，PB3

224

,,，E0,1,1，A0,0,0333

224

AF,,，AE0,1,1333

设平面AEF的一个法向量为n1x0,y0,z0x01242nAF0xyz01000

y1，n11,1,13330

z1n1AE0y0z000



而平面AEP的一个法向量n20,0,1，设n1,n2的夹角为二面角余弦值为coscos

13.33422422

（3）G,,，∴AG,,

333333

422

∵AGn10，∴AGn1333

AG在平面AEF内.20.水果按照果径大小可分为四类：标准果，优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级个数标准果10优质果30精品果40礼品果20（1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考方案1：不分类卖出，单价为20元/个.方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：等级售价（元/个）标准果16优质果18精品果22礼品果24采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机地抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望EX.解：（1）抽取一个抽到礼品果的概率201

1005

2

21故抽取4个恰有2个水果是礼品果的概率为C45964

.

5625

2

（2）方案2水果售价的均值为∵20.620，故应采用方案2.1610183022402420

20.6

100

（3）用分层抽样抽取的10个水果中标准果1个，优质果3个，精品果4个，礼品果2个再从这10个水果中抽取3个，抽取精品果的数量X可以为0，1，2，331221C6C4C61C4C13

PX03，PX13，PX236

C106C10C102103C41

PX33

C1030∴X的分布列如下：XP

012316

11316EX0123.305621012310130

x2y21

21．已知椭圆C:221ab0的离心率为，其左右顶点分别为A1,A2，上下顶点分别为B2,B1，ab2

四边形A1B1A2B2的面积为43，直线m:x4.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线n与椭圆C只有一个公共点P，直线n与直线m相交于点Q，在平面内是否存在定点T，使得PTQ

恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.2c1a2

1a2

解：（1）由题意知2a2b43

b32

a2b2c2x2y2

1.故椭圆C的方程为43

（2）法一：设Px0,y0，直线PQ的方程为x0xy0y

1，令x4，得43

y

31x0y0

y00，∴Q4,31x0y0假设存在定点T满足PTQ

2

31x0n设Tm,n，∴TPx0m,y0n，TQ4m,y031x0n0∴TPTQx0m4my0my04x0mx04mm233x0ny0

3n1x0y0

n20

31x0221mx0y0nm4m3n0y01m0

m1

对x02,2恒成立，故必有n0

m24m3n20n0

故存在定点T1,0使得PTQ

恒成立.2法二：设直线PQ方程为ykxm，联立直线与椭圆方程x2kxm14k23x28kmx4m2120430m24k23

∴xP

2

4km4k3mm4k3

y，，即PP,

m4k234k233mm

当x4，y4km，所以Q4,4km34k

假设存在定点Ts,t，使得PTQTPTQ0s,t4s,4kmt0

2mms1ms4k3mtm24kmtm30（*），∴当

s10

时，即s1,t0时，方程（*）恒成立t0

所以存在定点T1,0，使得PTQ

.2

x21

alnx,aR22．已知函数fx22

（1）若fx0在1,上恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数gxfx2ax有两个极值点x1,x2，当gx1gx22e围.



1

a时，求实数a的取值范e

ax2a

解：（1）法一：fxx

xx当a1时，fx在1,上，故fxf10符合题意当a1时，令fx0得x

a且当x1,a时，fx0，fx单调递减此时fxf10，这与fx0在1,上恒成立矛盾，舍去综上：a的取值范围为,1.法二：必要性探路由f10知fxf1在1,上恒成立，故首先f10而fxx

a

，∴1a0a1xx21x21alnxlnx下证充分性，当a1时，fx2222x211x21lnx，hxx0，∴hx在1,上令hx22xx∴hxh10，故a的取值范围为,1.x21

alnx2ax（2）gx22ax22axa

gxx2a，xx

gx0x22axa0有两个不相等的正数根x1,x2

4a24a0



∴x1x22a0a1xxa012

2

x121x21

gx1gx2alnx12ax1alnx22ax2

2222

112

x1x22x1x22ax1x2alnx1x214a22a2a2aalna1221

2a2aalna12ea

e

∴2a1lna

11

2eae112a1a11

0，Ga22

aaa2a令Ga2a1lna∴Ga在,1上

注意到GaGeae.综上：a的取值范围为e,1.