案例七. 化学方程式配平问题
在用化学方法处理污水过程中, 有时会涉及到复杂的化学反应. 这些反应的化学方程式是分析计算和工艺设计的重要依据. 在定性地检测出反应物和生成物之后,可以通过求解线性方程组配平化学方程式.
图18 污水处理
【模型准备】某厂废水中含KCN, 其浓度为650mg/L. 现用氯氧化法处理, 发生如下反应:
KCN + 2KOH + Cl2 = KOCN + 2KCl + H2O.
投入过量液氯, 可将氰酸盐进一步氧化为氮气. 请配平下列化学方程式:
KOCN + KOH + Cl2 === CO2 + N2 + KCl + H2O. (注: 题目摘自福建省厦门外国语学校2008-2009学年高三第三次月考化学试卷) 【模型建立】设
x1KOCN ＋ x2KOH ＋ x3Cl2 === x4CO2 ＋ x5N2 ＋ x6KCl ＋ x7H2O,
则
⎧x1+x2−x6=0⎧x1+x2=x6
⎪x+x−2x−x=0⎪x+x=2x+x
124747⎪⎪12⎪⎪⎪x1=x4⎪x1−x4=0
, 即⎨ ⎨
xx=20xx2−=55⎪1⎪1
⎪x2=2x7⎪x2−2x7=0⎪⎪⎪⎪⎩2x3=x6⎩2x3−x6=0【模型求解】在Matlab命令窗口输入以下命令
>> A = [1,1,0,0,0,-1,0;1,1,0,-2,0,0,-1;1,0,0,-1,0,0,0;
1,0,0,0,-2,0,0;0,1,0,0,0,0,-2;0,0,2,0,0,-1,0];
>> x = null(A,’r’); format rat, x’
Matlab执行后得 ans =
1 2 3/2 1 1/2 3 1 可见上述齐次线性方程组的通解为
x = k(1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1)T.
取k = 2得x = (2, 4, 3, 2, 1, 6, 2)T. 可见配平后的化学方程式如下
2KOCN + 4KOH + 3Cl2 === 2CO2 + N2 + 6KCl + 2H2O.
【模型分析】利用线性方程组配平化学方程式是一种待定系数法. 关键是根据化学方程式两边所涉及到的各种元素的量相等的原则列出方程. 所得到的齐次线性方程组Ax = θ中所含方
程的个数等于化学方程式中元素的种数s, 未知数的个数就是化学方程式中的项数n.
当r(A) = n −1时, Ax = θ的基础解系中含有1个(线性无关的)解向量. 这时在通解中取常数k为各分量分母的最小公倍数即可. 例如本例中
1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1
分母的最小公倍数为2, 故取k = 2.
当r(A) ≤ n −2时, Ax = θ的基础解系中含有2个以上的线性无关的解向量. 这时可以根据化学方程式中元素的化合价的上升与下降的情况, 在原线性方程组中添加新的方程. 参考文献
陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 84-85.
Matlab实验题
配平下列反应式
(1) FeS + KMnO4 + H2SO4 —— K2SO4 + MnSO4 + Fe2(SO4)3 + H2O + S↓ (2) Al2(SO4)3 + Na2CO3 + H2O —— Al(OH)3↓+ CO2↑+ Na2SO4
