命题、定理与证明知识讲解
【学习目标】
1．了解命题、定理的含义，会区分命题的题设（条件）和结论，会在简单情况下判断一个命题的真假；
2．能用基本的逻辑术语、几何证明的步骤、格式和规范进行几何证明； 3．了解证明的含义，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据． 【要点梳理】
要点一、命题、基本事实与定理 1. 命题
一般地，判断某一件事情的语句叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题．
命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“开始的部分是结论. 要点诠释：
命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以． 2.基本事实
人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理. 如：（1）两点确定一条直线；（2）两点之间，线段最短等. 3.定理
数学中，有些命题可以从基本事实或者其他真命题出发，用逻用推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据. 要点诠释：
满足以下两个条件的真命题称为定理：
（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到. （2）其又可作为判断其它命题真假的依据. 要点二、证明 1.证明
根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明． 2.证明表述格式
证明几何命题时，表述格式一般如下： （1）按题意画出图形；
（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
（3）在“证明”中写出推理过程. 要点诠释：
在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线.
【典型例题】 类型一、命题
1. 判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？做出判断的哪些是正确的？哪些是错误的？
(1)对顶角相等； (2)画一个角等于已知角； (3)两直线平行，同位角相等； (4)a，b两条直线平行吗?
(5)鸟是动物； (6)若a4，求a的值； (7)若ab，则a=b． 【答案与解析】
句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，其中 (1)(3)(5)判断是正确的，（7）判断是错误的． 句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断．其中(2)属于操作性语句，(4)属于问句，都不是判断性语句.
【总结升华】主要考察命题的定义. 举一反三：
【变式】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题? (1)若a＜b，则b＜-a； (2)三角形的三条高交于一点；
(3)在ΔABC中，若AB＞AC，则∠C＞∠B吗? (4)两点之间线段最短； (5)解方程x2x30； (6)1＋2≠3．
【答案】（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．
2. 下列命题是真命题的是（ ）
A．如果|a|=1，那么a=1
B．有两条边相等的三角形是等腰三角形 C．如果a为实数，那么a是有理数
D．有两边和一角相等的两个三角形全等；
【答案】C
【解析】如果|a|=1，那么a=±1，故A错误；如果a为有理数，那么a是实数，故C错误；有两边和夹角相等的两个三角形全等，故D错误；而B根据等腰三角形的定义可判断正确； 【总结升华】主要考查命题的真假，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义. 举一反三：
【变式】下列命题中，真命题的个数有（ ）
①对顶角相等 ②同位角相等 ③4的平方根是2 ④若a＞b，则-2a＞-2b A．3个 B．1个 C．4个 D．2个
2222【答案】Ｂ
3.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式： (1)三条边对应相等的两个三角形全等； (2)在同一个三角形中，等角对等边； (3)对顶角相等； (4)同角的余角相等； 【答案与解析】
（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”．可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”． （2）“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。可以改写成“如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。”值得注意的是，命题中包含了一个前提条件：“在同一个三角形中”，在改写时不能遗漏．
（3）这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
（4）条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”． 类型二、证明举例
（1）平行线的性质与判定进行几何证明：
4.（2016•淄博）如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．
【思路点拨】根据同位角相等，两直线平行证明OB∥AC，根据同旁内角互补，两直线平行证明OA∥BC． 【答案与解析】
解：OA∥BC，OB∥AC． ∵∠1=50°，∠2=50°， ∴∠1=∠2， ∴OB∥AC，
∵∠2=50°，∠3=130°， ∴∠2+∠3=180°， ∴OA∥BC．
【总结升华】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 举一反三： 【变式】（2015•宁城）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个．
（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．
A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 解：（1）利用同旁内角互补判定两直线平行，故（1）正确；
（2）利用内错角相等判定两直线平行，∵∠1=∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误；
（3）利用内错角相等判定两直线平行，故（3）正确； （4）利用同位角相等判定两直线平行，故（4）正确． ∴正确的为（1）、（3）、（4），共3个； 故选：C．
（2）与三角形有关的几何证明：
5.如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，IH⊥BC于H，试比较∠CIH和∠BID的大小．
【思路点拨】有角平分线，必然有相等的角；其次有垂直，所以直角三角形中两锐角互余，把这些条件综合，经过推理不难找出要求两个角的关系. 【答案与解析】
∵AI、BI、CI为三角形ABC的角平分线， ∴∠BAD=
111∠BAC，∠ABI=∠ABC，∠HCI=∠ACB． 222∴∠BAD+∠ABI+∠HCI
111∠BAC+∠ABC+∠ACB 2221=（∠BAC+∠ABC+∠ACB） 21=×180° 2=
=90°．
∴∠BAD+∠ABI=90°-∠HCI． ∵IH⊥BC，∴∠IHC=90° ∴90°-∠HCI=∠CIH， ∴∠CIH=∠BAD+∠ABI
∵∠BID=∠BAD+∠ABI（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和） ∴∠BID=∠CIH．
【总结升华】考查了角平分线的定义及三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，在推导角的关系时，一定不要忘记与三角形有关的角中还有一个特别重要的性质：三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和. （3）添加辅助线的方法进行几何证明：
6、（2015春•霸州）如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）
【思路点拨】关键过转折点作出平行线，根据两直线平行，内错角相等，或结合三角形的外角性质求证即可． 【答案与解析】如图：
（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；
证明：过点P作PF∥AB，则AB∥CD∥PF，
∴∠APC=∠PAB+∠PCD（两直线平行，内错角相等）． （2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°； （3）∠APC=∠PAB﹣∠PCD； （4）∵AB∥CD， ∴∠POB=∠PCD，
∵∠POB是△AOP的外角， ∴∠APC+∠PAB=∠POB， ∴∠APC=∠POB﹣∠PAB， ∴∠APC=∠PCD﹣∠PAB．
【总结升华】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的． (4)文字命题的证明：
7、写出下面文字命题的证明过程（要求：画出图形，写出已知、求证及证明的推理过程）
求证：两条平行线被第三条直线所截构成的一对同位角的平分线互相平行 已知：如图， 求证： 证明：
【思路点拨】根据题意画出图形，写出已知与求证，证明过程为：由AM与BN平行，利用两直线平行同位角相等得到一对角相等，再由AE与BF为角平分线，利用角平分线定义及等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行可得出AE与BF平行，得证．
【答案与解析】解：已知，AM∥BN，AE为∠CAM的平分线，BF为∠ABN的平分线，如图所示， 求证：AE∥BF． 证明：∵AM∥BN（已知）， ∴∠CAM=∠ABN（两直线平行同位角相等）， ∵AE为∠CAM的平分线，BF为∠ABN的平分线（已知）， ∴∠CAE=11∠CAM，∠ABF=∠ABN（角平分线定义）， 22∴∠CAE=∠ABF（等量代换），
∴AE∥BF（同位角相等两直线平行）．
【总结升华】此题考查了平行线的判定与性质，对于文字叙述型题，首先画出相应的图形，写出已知与求证，然后分析，最后写出证明过程． 举一反三： 【变式】已知以下基本事实：①对顶角相等；②一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；③两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行；④全等三角形的对应边、对应角分别相等．
（1）在利用以上基本事实作为依据来证明命题“两直线平行，内错角相等”时，必须要用的基本事实有 （填入序号即可）；
（2）根据在（1）中的选择，结合所给图形，请你证明命题“两直线平行，内错角相等”． 已知：如图， 求证： 证明：
【答案】解：（1）①②；
（2）已知：如图，a∥b，直线a、b被直线c所截． 求证：∠1=∠2． 证明：∵a∥b，
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）． ∵∠3=∠2（对顶角相等）， ∴∠1=∠2（等量代换）．
