集合、函数单调性、定义域值域解析式知识点整理

第一章 集合

（一）集合的含义与表示

1.集合的概念

（1）集合：指定的某些对象的全体称为集合。可以用大写字母表示。

（2）元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素。可以用小写字母表示。 2.集合中元素的三个特征

（1）确定性：任意一个元素，都可以确定是否属于给定的集合。 （2）互异性：给定一个集合，集合中的元素是各不相同的。 （3）无序性：集合中的元素没有先后顺序。 3.常用数集及记法

自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集

N 4.元素与集合的关系

N*或N Z

Q R C （）（） 元素与集合之间有属于和不属于两种关系。

（1）对任何a与A，在aA与aA两种情况中必有且仅有一种情况成立。 “”“”（2）符号与表示元素与集合之间的关系。 “”“”（3）与的开口方向指向集合。 5.集合的表示法

（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法。

注：a与a不同：a表示一个元素，a表示一个集合，集合中只有一个元素a。

a 要注意此种集合,b,c这个集合中，每一个元素都是一个小集合。

（2）描述法：用确定的条件表示默写对象属于一个集合并写在大括号内的方法。

注：描述法中竖线前面的就是这个集合的研究对象。例：集合xx1中研究对象为x是数，集合

x,yyx中研究对象为x,y是点。

6.集合的分类

（1）有限集：含有限个元素的集合叫有限集。 （2）无限集：含无限个元素的集合叫无限集。

（3）空集：不含有任何元素的集合叫作空集，记作。

（二）集合的基本关系

1.子集的定义

一般地，对于两个集合A与B，集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作AB（或BA），读作“A包含于B”，或“B包含A”，

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这时我们说集合A是集合B的子集。

注：集合A中有任意一个元素不属于集合B，那么我们就说集合A不包含于集合B，集合B不包含集合A，记作AB（或B，或“B不包含A”。 A)，读作“A不包含于B”2.子集的性质

（1）任何一个集合都是它本身的子集； （2）子集具有传递性；

（3）空集是任何集合的子集。 3.集合之间的基本关系 相等 子集 空集 真子集 文字语言 集合A与集合B中的所有元素都相同 符号语言 AB且BAAB AB或BA A中任意一个元素均为B中的元素 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 A，AA A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 AB或BA 注：元素与集合之间的关系为属于与不属于，集合与集合之间的关系为包含与不包含。

4.图示法

（1）Venn图法

我们常用封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图。用Venn图可以直观、形象地表示出集合之间的关系。

如： A B

表示AB。 （2）数轴法

用数轴或数轴上的部分来表示集合的方法叫作数轴法。 5.子集的个数，非空子集个数，非空真子集个数

若A中含有n个元素，则A的子集个数为2个，A的非空子集个数为2-1个，

nnA的真子集个数2n-1个，A的非空真子集个数为2n-2个。

（三）集合的基本运算

1.交集、并集、全集、补集 文字语言 交集 一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作AB（读作“A交B”） 并集 一般地，由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A与集合B的并集，记作AB（读作“A并B”） 全集 在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示。 补集 若U为全集，集合A是U的子集，则集合A的补集为ðuA

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符号语言 ABxxA且xBABxxA或xB AU,BU ðuAxxU,且xA 2.运算性质 （1）交集的运算性质：

ABBA,AAA,A,ABA,ABB,若AB,则ABA. （2）并集的运算性质：

ABBA,AAA,AA,AAB,BAB,若AB,则ABB. （3）补集的运算性质：

AððUAU,AUA,痧UU,ðUU,痧UUAA,ðUAUB B,UA痧UAUB B. UA第二章 函 数

（一）生活中的变量关系 （二）对函数的进一步认识

1.函数的概念：

给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数fx与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f:AB;或

yfx，xA.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合fxxA叫作函数的值域。

2.函数的三要素：定义域、值域、对应关系。

注意：定义域与值域只能用区间或者集合表示。 3.函数的表示法：

便于研究函数的性质。解析法有局限性，只能表示有限个元素间的函数关系。 函数的表示法主要有：列表法图像法直观地表示函数的局部变化规律，可预测整体趋势。4.分段函数：

在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫作分段函数。 5.映射：

两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f:AB。A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f:xy。

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6.映射与函数的关系

（1）函数是特殊的映射，其特殊性在于：集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射。

（2）映射不一定是函数，从A到B的映射，若A、B不为非空数集，则这个映射不是函数。

（三）函数的单调性：

1.单调函数

（1）单调增函数：在定义域A中，对于任意的x1,x2A，当x1x2时，若有fx1fx2，则称fx在定义域A内为单调递增函数；

（2）单调减函数：在定义域A中，对于任意的x1,x2A，当x1x2时，若有fx1fx2，则称fx在定义域A内为单调递减函数。 2.定义法证明函数单调性：

①取值：设x1,x2为给定区间内任意的两个数，且x1x2； （注意取值的任意性，不可取特殊值）

②作差变形：作差fx1fx2，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值的符号的方向变形；

（尽量化为几个简单因式的乘积或完全平方式的和的形式） ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论； （根据自变量范围，假定大小关系，及符号运算法则判断） ④判断：若x1x2与fx1fx2同号，则给定函数是递增的； 若x1x2与fx1fx2异号，则给定函数是递减的。 3.复合函数单调性的判断法则：

对于yfgx型的复合函数，我们令tgx，则可以把它看成由yft和tgx复合而成的，若它们的单调性相同，则复合后的函数为增函数；若它们的单调性相反，则复合函数为减函数。即“同增异减”。



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