ｌ４ 十‘？擞・７（２ｏ ２ｏ年第９期・高中版） ・教材教法・ 为两圆相减的几何意文正身 ２７４３００ 山东省单县第二中学近来看杂志，见到不少对特殊结果的研究．但一些 李峦方 如图１，Ｐ是根轴上任一 点，￡是根轴与两圆心连线的 交点．设Ｃ Ｌ＝ｄ．，Ｃ Ｌ＝ｄ ． Ｌ ・ 结果是早就完成的内容，因为作者对数学各部分的知识 不可能知道太多（没人能做到都知道），又重新研究。既 浪费，又达不到原有的深度．本文就很多文章研究，平时 又被很多老师提到的“两圆相减得到的直线的几何意 义”介绍一下它的真实身份． 一般都知道，如果两圆相交，那么两圆的方程的差 是过交点的直线，即公共弦所在的直线；相切时是过切 点的公切线；相离时就少有人能说清楚几何意义是什么 了． 其实它们有一个共同的身份：两圆的根轴．其几何 意义是：在圆外的部分是到两圆的切线长相等的点的集 合 设两圆的方程为 （ —ｎ） ＋（ 一６） ＝，２ｌ，（ —ｃ） ＋（ｙ—ｄ） ＝ｒ２２． 结论１根轴与两圆心的连线垂直． 因为两圆相减得 （ 一０） ＋（），一６） 一（ 一ｃ） 一（ｙ—ｄ） ＝ｒ２ｌ—ｒ２， ① 化简得２（ｃ—ａ）ｘ＋２（ｄ－ｂ）ｙ＋ａ ＋６２ ｃ２一口２一ｒ２ｌ十ｒ２２＝０． 法向量是（ｃ—ａ，ｄ－ｂ）为两圆心确定的向量，所以结 论成立． 结论２根轴在两圆外的部分任意一点到两圆的切 线长相等． ①式变形为（ 一０） ＋（ 一６） 一ｒ ＝（ —ｃ） ＋（ｙ—ｄ） 一 ， ． 两端分别表示的是动点到圆心距离的平方与半径 的平方的差，即切线长的平方，所以切线长相等． 结论３圆心到根轴的距离一定． 这里我们用几何方法，放弃解析法 因为尸是根轴上任一点， 所以到两圆的切线的长度相 图１ 等，所以ＰＣ 一ｒ２ｌ＝ＰＣ２ 一ｒ２． 即ＰＬ ＋ｄ 一 ：ＰＬ ＋ 一ｒ：，因此ｄ：一ｄ ｒ２Ｉ一ｒ：，又因 为ｄｌ＋ｄ２＝ＣｌＣ２， 从以上两式可得 Ｃｌｃ２２＋ｒ２１一ｒ； ， ＣＩｃ２２＋ｒ２一ｒ ■ 一，ｄ２，－■ 一‘ 以上各结论对于中学教材中的问题已经回答了，下 面是作为老师应该知道，并且很容易就能得到的结论． 结论４ 三个圆中每两个的根轴，这三条直线交于 同一点． 证明设Ｐ是根轴上任一点，如果圆的半径为ｒ，圆 心为０．我们定义ｏｉ＇２一ｒ 为圆的幂．容易知道，当Ｐ在圆 外时，幂就是切线长的平方．因此由结论２得：根轴上的 点到两圆的幂相等． 因为任意两条根轴交点到三个圆幂相等，所以必在 第三条根轴上．证毕． 作为这个结论的推论很容易知道，到三个圆的切线 长相等的点如果有，则是唯一的，即为三个根轴的交点． 此时该点在三个圆的外面．否则，当交点在三个圆的内 部时，则不存在到三个圆的切线长相等的点． 从某种角度上来说。中学老师应该比专业数学工作 者有更广的专业知识面，才能对教材把握得更到位．这 有点像家庭主妇，虽然不用比饭店大厨做的菜好，但一 定要会做更多的菜才能够满足生活的需要． （收稿日期：２０１００６２７）
