相似三角形经典题型

图形的相似及位似

【考点链接】

1.相似图形：形状 的图形。全等图形是特殊的相似图形，相似比为 。 2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的 的比相等。 3.相似三角形的判定：

（1）平行法： 于三角形一边的直线和其它两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。（2）边边边： 相等的两个三角形相似。（3）边角边：两边对应成比例且 的两个三角形相似。（4）角角： 对应相等的两个三角形相似。 4.相似三角形的性质：（1）对应角 ，对应边 ；（2）对应线段（对应边上的高、中线、 C 对应角的平分线）的比等于 ；（3）周长的比等于 ；（4）面积的比等于 ； 5. 射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）

则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=____ ___，BC2=__ __ __. ADB6.位似图形：两个多边形不仅 ，而且对应顶点的连线相交于 ，对应边互相 。这点叫 。 7.在直角坐标系中，如果位似变换是以原点为 ，相似比为k，那么位似图形对应点坐标的比为 。 【典例精析】 例1．（09）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ） A

D． B C C． B．

1. 如图1，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）

ADBCBCDFCDBCCDADA． B． C． D．

A DFCECEADEFBEEFAF例2．（09恩施）如右图1，在△ABC中，C90°，B60°，D是AC上一点，

DEAB于E，且CD2，DE1，则BC的长为（ ） A．2 B．433 D E C．23 D．43

B C 例3（09天津）在△ABC和△DEF中，AB2DE，AC2DF，AD，如果△ABC的周长是16，面

积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（ ）

A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．４，6

10．如图8，在△ABC中，AB6，AC4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为（ ） A.3 B.3或

433443C.3或D.

例4(09内江)如右图2，梯形ABCD中，AD∥BC，两腰BA与CD的延长线相交于P，PF⊥BC，AD2，BC5，EF3，则PF ．

4、如图1，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE︰CE＝2︰3，连结AE、BD，且AE、BD交于点F，则SFEDSBAF：等于 （ ） A、4︰25 B、4︰9 C、 2︰3 D、 2︰5

3．（11嘉兴）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为 .

8、四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．则CP:AC = ( )

A. 1:3 B. 1:4 C. 2:3 D. 3:4 A P EA D DC P R A D O E P F B C B C E AB C B F

教师寄语：通过训练，夯实基础，提升能力，形成技能与技巧。只有如此，才能在相似三角形学习中游刃有余。

勤奋成就学业，细节决定成败，态度决定一切

10. 如图6，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D， AC=6， AB=9， 则AD的长是（ ）

（A）6 （B）5 （C）4 （D）3

7. 如图6，在Rt△ABC中，ACB90°，BC3，AC4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（ ） A．

3269. 如图7，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB2，OD3,则BC的

B．

76 C．

25 D．2

长为（ ）A．

23 B．

32

C．

32 D．

22

11．如图9，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O点，若SAOD∶SOCD＝1∶2，则SAOD∶SBOC＝

（ ）A．

16 B．

13 C．

14 D．

66

18、 如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1//A2B2//A3B3，A2B1//A3B2//A4B3，若A2B1B2，A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为____________．

B B 3

B2 4

B1 1 O A1 A2 A3 A4 A

△ABC例7．（09烟台）如下图2，等边的边长为3，P为BC上一点，且BP1，D为AC上一点，

若APD60°，则CD的长为

例8.（09孝感）如下图3，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三

角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 ． 例9．（09牡丹江）如下图4，Rt△ABC中，ACB90°，直线EF∥BD，交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F，若 S△AEG13则CF ． S四边形EBCG，AD例5某学习小组在讨论“变化的鱼”时，已知右图中的大鱼与小鱼是位似图形，若小鱼上某点P（a、b）对 应大鱼上的点Q,则Q的坐标是（ ）A、（-2a 、-2b） B、（-a 、-2b） C、（-2b、 -2a） D、（-2a 、-b） 11．如图11是一种贝如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△DEF与△ABC对应边的比为1∶2，则线段AC的中点P变换后对应的点的坐标为 . A

A

F E G

60° D C B B D P C

6、如图，已知⊙O的弦CD垂直于直径AB，点E在CD上，且EC = EB .

（1）求证：△CEB∽△CBD ； （2）若CE = 3，CB=5 ，求DE的长.

教师寄语：通过训练，夯实基础，提升能力，形成技能与技巧。只有如此，才能在相似三角形学习中游刃有余。

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22已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．

C （1）求证：BC＝CD； （2）求证：∠ADE＝∠ABD； （3）设AD＝2，AE＝1，求⊙O直径的长．

AEDOB25．（10钦州）

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，AE切⊙O于点A，交BC的延长线于点E，连接AC． （1）若∠B＝30°，AB＝2，求CD的长； （2）求证：AE＝EB·EC．

DA2

ECMOB23．(10孝感)如图1，⊙O是边长为6的等边△ABC的外接圆，点D在⌒BC上运动(不与点B、C重合)，过点D

作DE∥BC交AC的延长线于点E，连接AD、CD．

A A

(1)在图1中，当AD＝210时，求AE的长． (2)如图2，当点D为BC的中点时：

①DE与⊙O的位置关系是 ；

②求△ACD的内切圆半径r．

23．(10荆门)如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点 (1)求证：AC·CD＝PC·BC；

(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；

(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．

教师寄语：通过训练，夯实基础，提升能力，形成技能与技巧。只有如此，才能在相似三角形学习中游刃有余。

APDOBC⌒O

B

D

图1

C E

B O

C D

图2

E 第23题图

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25、如图17，正方形ABCD的边长为4cm,点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连接AP，过P点做PQ⊥AP 交DC于Q点，设BP 的长为xcm ，CQ的长为ycm，

（1）求y与x 之间的函数关系式并写出x 的取值范围；

（2）求点P在BC边上运动的过程中y 的最大值. A

点B、C不重合），过动点P作PD∥BA交AC于点D． （1）若△ABC与△DAP相似，则APD是多少度？ （2）试问：当PC等于多少时，△APD的面积最大？ 最大面积是多少？

（3）若以线段AC为直径的圆和以线段BP为直径 的圆相外切，求线段BP的长．

BPDQC23（本题15分）如图，在Rt△ABC中，BAC90°，C60°，BC24，点P是BC边上的动点（点P与

1、如图，抛物线yax28ax12a(a0)与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB为直角,且恰使△OCA∽△OBC. y(1)求线段OC的长.

(2)求该抛物线的函数关系式．

(3)在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在， 求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由.

COABx图922．（12分）如图，直线y=-3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点． （1）求抛物线的函数关系式；

（2）E为抛物线的顶点，在线段DE上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

教师寄语：通过训练，夯实基础，提升能力，形成技能与技巧。只有如此，才能在相似三角形学习中游刃有余。

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23．（14分）已知抛物线yax2、B（6，–6）和原点. bxc经过点A（5，0）

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）过点C(2,6)作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E. 直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED（如图），是否存在点P，使得OCD与CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2．如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，2)三点． （1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

2 解：（1）该抛物线过点C(0，2)，可设该抛物线的解析式为yaxbx2．

将A(4，0)，B(1，0)代入，

1a，16a4b20，1252得解得此抛物线的解析式为yxx2．

22ab20.b5.2（2）存在．

如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为当1m4时，AM4m，PM又COAPMA90°，

①当

AMPMAOOC2112m212m252m2，

52m2．

时，△APM∽△ACO，

5，P(2，m2．解得m12，m24（舍去）1)．

2即4m212m2教师寄语：通过训练，夯实基础，提升能力，形成技能与技巧。只有如此，才能在相似三角形学习中游刃有余。

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②当

AMPMOCOA12时，△APM∽△CAO，即2(4m)12m252m2．

解得m14，m25（均不合题意，舍去）当1m4时，P(2，1)． 类似地可求出当m4时，P(5，2)．当m1时，P(3，14)． 综上所述，符合条件的点P为(2，1)或(5，2)或(3，14)．

5．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm），求S与t的函数关系式；

（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

2

教师寄语：通过训练，夯实基础，提升能力，形成技能与技巧。只有如此，才能在相似三角形学习中游刃有余。