1.1.1正弦定理导学案(必修五)

学习目标 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法；

3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．

学习过程 一、新课导学

※ 学习探究

探究1：正弦定理

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角形中，角与边的等式关系. 如图，在RtABC中，设BC=a，AC=b，AB=c， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有

casinC1sinAbc, 从而cc= ， = c= ，又

c角三

在直

角三角形ABC中，

a = sinA那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

在任意的三角形，边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinBbsinA,则，

aba= 同理可得， = 从而= = sinAsinBsinA类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试推导.

正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即____________________________

．

牛刀小试：

（1）在ABC中，一定成立的等式是（ ）． A．asinAbsinB B.acosAbcosB C. asinBbsinA D.acosBbcosA

（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于 ．

探究二：解三角形

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA， ，cksinC； （2）正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如absinA；b ． sinB②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinAsinB；

sinC ．

（4）一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 ．

ab※ 典型例题

例1. 在ABC中，已知A45，B60，a42cm，解三角形．

变式：在ABC中，已知B45，C60，a12cm，解三角形．

例2. 在ABC中，c6,A45,a2,求b和B,C．

变式：在ABC中，b3,B60,c1,求a和A,C．

学习评价 ※ 当堂检测

1．根据下列条件，解△ABC.

(1)已知b=4，c=8， B=30o； (2)已知B=30o，b=

2. 在△ABC中，解三角形

(1)a=3，b=2，A=30 o； (2)a=2， b=

(3)a=5，b=2，B=120 o； (4)a=

3. 在△ABC中，若sinAsinB，则A与B的大小关系为（ ）.

A. AB B. AB C. A≥B D. A、B的大小关系不能确定 4. 已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，则a:b:c= ．

3，b=2，B=45

o

2，c=2 ； (3)已知b=6，c=9，B=45o.

2，A=45

o

；

.

5. 已知ABC中，A60，a3，则

abc= ．(合比性质)

sinAsinBsinC6. 在△ABC中,a=5,b=3,C=120o,则sinA:sinB的值是（ ）

5335A. B. C. D. 3577

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 正弦定理：

abc sinAsinBsinC2．应用正弦定理解三角形：

①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角． ※ 知识拓展

asinAbsinBcsinC=k