一、选择题
1、设、是关于的一元二次方程的两个实数根，且，，则（ ）
A． B． C． D．
2、下列命题：①若相等的实数根；③若
，则； ②若，则一元二次方程
有两个不相等的实数根；④若
有两个不
，
，则一元二次方程
则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（ ）
Ａ．只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ． 只有②③④
3、若一次函数的图象过第一、三、四象限，则函数（ ）
A．有最大值 B．有最大值－
2
C．有最小值 D．有最小值－
4、已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（ ）
A ． 3个 B． 2个 C． 1个 D． 0个 5、关于的一元二次方程（ ）
的两个实数根分别是，且，则的值是
A．1 B．12 C．13 D．25
二、填空题
6、设
、
是方程
的两根，则代数式
= 。
7、已知关于一元二次方程有一根是，则 。
三、计算题
8、已知：关于另一个根及
的方程
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是
，求
值．
9、解方程：
四、综合题
10、已知关于
的一元二次方程
的两个整数根恰好比方程
的两个根都大1，求
的值.
11、如图：抛物线与轴交于A、B两点，点A的坐标是（1，0），与轴交于点C．
（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；
（2）过点C作CP⊥对称轴于点P，连接BC交对称轴于点D，连接AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求抛物线的解析式。
12、已知关于x的二次函数y=x-（2m-1）x+m+3m+4.
（1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数.
2
2
（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且+=5，与y轴的交点为C，它的顶点为
M，求直线CM的解析式.
13、如图，已知点，直线交轴于点，交轴于点
（1）求对称轴平行于轴，且过三点的抛物线解析式；
（2）若直线平分∠ABC，求直线的解析式；
（3）若直线产9？
（>0）交（1）中抛物线于两点，问：为何值时，以为边的正方形的面积为
14、如图，抛物线以
为一边向右侧作正方形
交轴于点
，连结
、，交轴于点于点
．
，连结，是线段上一动点，
，交
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）求证：；
（3）连结，记的面积为，的面积为，若
，试探究的最小值．
15、如图，抛物线y＝－x＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)求△ABD的面积；
(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．
2
五、简答题
16、已知第三边
的两边的长是．
，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，
(1)为何值时，是以为斜边的直角三角形；
(2)为何值时，是等腰三角形，并求的周长
17、已知关于的一元二次方程：．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为式；
（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，．
18、已知抛物线y = ax－x + c经过点Q（－2， 两点，如图．
2
），且它的顶点P的横坐标为－1．设抛物线与x轴相交于A、B（1）求抛物线的解析式； （2）求A、B两点的坐标；
（3）设PB于y轴交于C点，求△ABC的面积．
19、如图，已知抛物线的顶点为A（1，4）、抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点. 点P是x轴上的一个动点. （1）求此抛物线的解析式.
（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．
20、已知二次函数为直线
.
的部分图象如图7所示，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴
（1）若，求的值；
（2）若实数，比较与的大小，并说明理由.
参
一、选择题
1、C 2、B 3、B 4、考点：
二次函数图象与系数的关系。 分析：
首先根据二次函数图象开口方向可得a＞0，根据图象与y轴交点可得c＜0，再根据二次函数的对称轴x=﹣，结
合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1，结合对称轴公式可判断出①的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b＞0，根据a、b、c的正负即可判断出②的正误；利用b﹣2a=0时，求出a﹣2b+4c＜0，再利用当x=4时，y＞0，则16a+4b+c＞0，由①知，b=﹣2a，得出8a+c＞0． 解答：
解：根据图象可得：a＞0，c＞0，
对称轴：x=﹣＞0，
①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）， ∴对称轴是x=1，
∴﹣=1，
∴b+2a=0， 故①错误； ②∵a＞0， ∴b＜0，
∴abc＜0，故②正确； ③a﹣2b+4c＜0； ∵b+2a=0，
∴a﹣2b+4c=a+2b﹣4b+4c=﹣4b+4c， ∵a﹣b+c=0， ∴4a﹣4b+4c=0， ∴﹣4b+4c=﹣4a， ∵a＞0，
∴a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a＜0， 故此选项正确；
④根据图示知，当x=4时，y＞0， ∴16a+4b+c＞0， 由①知，b=﹣2a， ∴8a+c＞0； 故④正确；
故正确为：①②③三个． 故选：A． 点评：
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
5、C
二、填空题
6、1 7、4
三、计算题
8、解：（1），
，
无论取何值，，所以，即，
方程有两个不相等的实数根．（2）设的另一个根为，
则，，解得：，，
的另一个根为，的值为1． 15．
9、解：由题意得：
由方程（2）得：代人（1）式得
解得，或．
代人得或
四、综合题
10、设方程的两个根为，其中为整数，且≤，
则方程的两根为，由题意得
， ………………………………5分
两式相加，得，即 ，
所以， 或 ………………………………10分
解得 或
又因为
所以；或者，
故，或29. ………………………………………………20分
11、解：（1）对称轴是
∵点A（1，0）且点A、B关于x=2对称， ∴点B（3，0）；
（2）点A（1，0），B（3，0）， ∴AB=2，
∵CP⊥对称轴于P， ∴CP∥AB， ∵对称轴是x=2， ∴AB∥CP且AB=CP，
，
∴四边形ABPC是平行四边形， 设点C（0，x）（x＜0），
在Rt△AOC中，AC= ，
∴BP=，
在Rt△BOC中，BC= ，
∵ ，
∴BD= ，
∵∠BPD=∠PCB 且∠PBD=∠CBP， ∴△BPD∽△BCP， ∴BP=BD•BC，
2
即=
∴，
∵点C在y轴的负半轴上，
∴点C（0，
2
），
∴y=ax-4ax- 3， ∵过点（1，0），
∴a-4a- 3=0，
解得：a=．
∴解析式是：
2
2
12、解：（1）令y=0，得：x-（2m-1）x+m+3m+4=0 △=（2m-1）-4（m+3m+4）=-16m-15
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即-16m-15＞0
2
2
∴m＜-
此时，y的图象与x轴有两个交点
当△=0时，方程有两个相等的实数根，即-16m-15=0
∴m=-
此时，y的图象与x轴只有一个交点
当△＜0时，方程没有实数根，即-16m-15＜0
∴m＞-
此时，y的图象与x轴没有交点
∴当m＜-时，y的图象与x轴有两个交点；
当m=-时，y的图象与x轴只有一个交点；
当m＞-时，y的图象与x轴没有交点.
（评分时，考生未作结论不扣分）
（2）由根与系数的关系得x1+x2=2m-1，x1x2=m+3m+4
2
+=（x1+x2）-2x1x2=（2m-1）-2（m+3m+4）=2m-10m-7
2222
∵+=5，∴2m-10m-7=5，∴m-5m-6=0
22
解得：m1=6，m2=-1
∵m＜-2
，∴m=-1
∴y=x+3x+2
令x=0，得y=2，∴二次函数y的图象与y轴的交点C坐标为（0，2）
又y=x+3x+2=（x+
2
）-
2
，∴顶点M的坐标为（-，-）
设过C（0，2）与M（-，-）的直线解析式为y=kx+b
则2=b k=
-=k+b，b=2
∴所求的解析式为y=x+2
13、解：（1）直线交轴于点，交轴于点。
由此，得点坐标为，点坐标为。
由于抛物线过，，
故可设抛物线解析式为。
∵抛物线过点，∴，∴
∴抛物线解析式为，即。
（2）过点作，交直线于点
∵平分，∴
∴，∴点坐标为
设的解析式为，∴
解这个方程组，得
∴直线的解析式为。
（3）设两点的横坐标分别为
由题意知，是方程，即的两根，
则
∵
∴
，
∴时，以EF为边的正方形的面积为9。
14、（1）令，得，
令，得，
，
（２）如图，，是正方形
，
（３）
，
，
∽
， 设， 则，
，
＝
∴当
时，有最小值7
15、考点： 二次函数综合题。 专题：
代数几何综合题。 分析：
(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式． (2)根据(1)的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出△ABD的面积． (3)首先根据旋转条件求出G点的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可． 解答：
解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3， ∴点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)．
把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x2＋bx＋c中，
得，
解得，
∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3； (2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)， ∴△ABD中AB边的高为4， 令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3， 所以AB＝3－(－1)＝4，
∴△ABD的面积＝×4×4＝8；
(3)△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，由(2)可知OA＝1，
∴点A对应点G的坐标为(3，2)，
当x＝3时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2，所以点G不在该抛物线上． 点评：
这道函数题综合了图形的旋转、面积的求法等知识，考查的知识点不多，难度适中．
五、简答题
16、解：由题意得：．
(1)，
，
整理得： (不合题意，舍去)
当时．是以为斜边的直角三角形；
(2)若；则，
，结果，；
注； 此问用根的判别式做也可以．
若,则，
解得：，
当时，；当时，；
若，同样时．：当时，；
∴当或时．是等腰三角形，其周长为14或16
注：不论或都说明是方程的一个根，也可以把代入方程解得值．
17、（1）证明：是关于的一元二次方程，
．
当时，，即．方程有两个不相等的实数根．……..3分
（2）解：由求根公式，得．
或． ，．
，，． ．
即为所
求． （3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象．
由图象可得，当时，．
7分
……… ………9分
18、（1）由题意得 解得 ，．
∴ 抛物线的解析式为．
（2）令 y = 0，即 ，整理得 x + 2x－3 = 0．
2
变形为 （x + 3）（x－1）= 0， 解得 x1 =－3，x2 = 1． ∴ A（－3，0），B（1，0）．
（3）将 x =－l代入 中，得 y = 2，即P（－1，2）．
设直线PB的解析式为 y = kx + b，于是 2 =－k + b，且 0 = k + b．解得 k =－1，b = 1． 即直线PB的解析式为 y =－x + 1． 令 x = 0，则 y = 1， 即 OC = 1． 又 ∵ AB = 1－（－3）= 4，
∴ S△ABC =×AB×OC =×4×1 = 2，即△ABC的面积为2．
19、解：（1）∵抛物线顶点坐标为（1,4） ∴设y=a(x-1)+4 由于抛物线过点B(0，3) ∴3=a(0-1)+4 解得a=-1
∴解析式为y=-(x-1)+4 即y=-x+2x+3
2
2
2
2
（2）作点B关于x轴的对称点E（0，-3），连接AE交x轴于点P.
设AE解析式y=kx+b，则∴yAE=7x-3
解得
当y=0时，x=
∴点P坐标为(，0)
20、解：（1）方法一：由抛物线对称性可知，其与x轴的另一个交点为（-1,0）， ……1分 ∴
. …………………………… 2分
当= 1时，解得 . ……………… 3分
方法二： 依题意得，，
当= 1时， ， ………………………… 1分
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3, 0），
∴，
∴
………………………………… 2分 ∴
……………………………… 3分
（2）当时，. ……………… 4分
理由如下：
当时，. ……………5分
当分
∵
时，. ……………6
，
∴当时，函数取最大值. ………………7分
∴当时， …………… 8分
∴
即
