利用正余弦定理解决有关距离问题

1.（13江苏T18）

如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径. 一种是从沿A直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C. 现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min. 在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C. 假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路

AC长为1260m，经测量，cosA(1) 求索道AB的长；

123，cosC. 135(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3) 为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围

内？

LSC27

【测量目标】利用正余弦定理解决有关距离问题和函数的最值问题. 【难易程度】中等 【试题解析】

（1）在△ABC中，因为cosA（步骤1） 从

而

12354，cosC，所以sinA，sinC. 135135sB（步骤2） 由正弦定理

π(sA51.

A+ABACAC12604, 得ABsinC1040(m)

635sinCsinBsinB65所以索道AB的长为1040m.（步骤3）

（2）假设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得

d2(10050t)2(130t)22130t(10050t) 由于0剟t5）

（3）由正弦定理

12 200(37t270t50).（步骤4）

131040，即0剟t1308，故当t35(min)时，甲、乙两游客距离最短. （步骤37BCACAC12605，得BCsinA500(m)（步骤6）

63sinAsinBsinB1365乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710m才能到达C. （步骤7） 设乙步行的速度为vm/min，由题意得3剟（步骤8）

所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在

50071012503，解得剟vv5043625， 141250625[,]（单位：m/min）范围内. （步骤9） 43142．（10陕西T17）

如图，A，B是海面上位于东西方向相聚5（3+3）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？

ZJJ50

【测量目标】利用正余弦定理解决有关距离问题. 【难易程度】容易

【试题解析】 由题意知AB=（海里， 53+3）60°45°（45°∠DBA=90°=30°，∠ DAB=90°=45°，∴∠ADB=180°+30°）=105°，在△ADB

中，有正弦定理得

DBAB

sinDABsinADBABsinDAB5(33)sin455(33)sin45DB

sinADBsin105sin45cos60cos45sin60=

53(13)103（海里）（步骤1） 又

(13)2DBCDBAABC30(9060)60,BC203海里，

在△DBC中，由余弦定理得

CD2BD2BC22BDBCcosDBC

= 300120021032031900 230CD30（海里）1（小时）.（步骤2） ，则需要的时间t30答：救援船到达D点需要1小时.

3．（10福建T19）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由. 【测量目标】利用正余弦定理解决有关距离问题. 【难易程度】中等 【试题解析】（1）如图设小艇的速度为v，时间为t相遇，则由余弦定理得

OC2AC2OA22ACOAcosOAC，即：

1vt2400900t21200tcos60900t2600t400900(t)2300,

31当t时，取得最小值，此时v303. 3

JC81

（2）如图，由（1）得OC103,AC10,故OCAC,且对于线段AC上任一点P，有OC厖OPAC,而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在

AC（包含C）的任意位置相遇，设

BOD(090),则在Rt△BOD中，BD103tan，OB103， cos由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t10103tan103和t，

30vcos所以

10103tan103153，解得v,又v剠30,故sin(+30)30vcossin(+30)3， 2从而30„<90,由于30时，tan取得最小值，且最小值为210103tan取得最小值，且最小值为.

3303，于是 3当30时，tOAOBAB20，此时，在△OAB中，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，

航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.

JC81a

4．(09福建T18)

如图，某市在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动 赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数

yAsinx(A0,0)，x[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3，23)；赛道的后

一部分为折线段MNP，为保证参赛

运动员的安全，限定MNP120 （1）求A，的值和M，P两点间的距离；

（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？



hy

【测量目标】三角函数的图象、周期性、最值，求函数解析式，两点之间的距离，正弦定理，基本不等式． 【难易程度】较难

【试题解析】解法一（1）依题意，有A23，又TT3，（步骤1） 4ππ．y23sinx．（步骤2）

662π3．M(4,3)．当x4时，y23sin（步骤3） 32π，又P(8,3)，MP42325．（步骤4） （2）在△MNP中，MNP120，MP5， 设∠PMN=，则060（步骤5） 由正弦定理得

MPNPMN，

sin120sinsin(60)NP103103（步骤6） sin，MNsin(60)．

3310310310313sinsin(60)(sincos) 33322故NPMN103（步骤7） sin(60)．

3060，当30时，折线段赛道MNP最长．

亦即，将∠PMN设计为30时，折线段道MNP最长．（步骤8）



hy65

解法二：（1）同解法一．

（2）在△MNP中，MNP120，MP=5，

cosMNPMP， 由余弦定理得MNNP2MNNP即MNNPMNNP25， 故(MNNP)25MNNP„(222222MNNP2)．（步骤5） 2从而

3103(MNNP)2„25，即MNNP„．（步骤6） 43当且仅当MNNP时，折线段道MNP最长．（步骤7）

注：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：①N(的垂直平分线上等．

5.（09辽宁T17）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测

得B点和D点的仰角均为60，AC0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距

123943123943，），）；②N(；③点N在线段MP2626离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，21.414， 62.44）

【测量目标】利用正余弦定理解决有关距离问题. 【难易程度】中等

【试题解析】在△ABC中，DAC30,ADC60DAC30.（步骤1）所以

CDAC0.1 又BCD180606060，（步骤2）故CB是△CAD底边AD

的中垂线，所以BDBA,（步骤3）在△ABC中，

ABAC即

sinBCAsinABCACsin60326326（步骤4）因此，ABBD0.33km.故B，D的距

sin152020离约为0.33km. （步骤5）