函数的基本性质(考点加经典例题分析)

函数的基本性质

函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性

一、单调性

1、定义：对于函数yf(x)，对于定义域内的自变量的任意两个值x1,x2，当

x1x2时，都有

f(x1)f(x2)(或f(x1)f(x2))，那么就说函数yf(x)在这个区间上是增（或减）函数。

2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。） 3．二次函数的单调性：对函数f(x)ax2bxc(a0)，

b的左侧单调减小，右侧单调增加； 2ab当a0时函数f(x)在对称轴x的左侧单调增加，右侧单调减小；

2a当a0时函数f(x)在对称轴x例1：讨论函数f(x)x22ax3在(-2,2)内的单调性。

4．证明方法和步骤：

1、设元：设x1,x2是给定区间上任意两个值，且x1x2； 2、作差：f(x1)f(x2)； 3、变形：（如因式分解、配方等）；

4、定号：即f(x1)f(x2)0或f(x1)f(x2)0； 5、根据定义下结论。 例2、判断函数f(x)

x2在(,0)上的单调性并加以证明. x1

1

5．复合函数的单调性：复合函数yf(g(x))在区间(a,b)具有单调性的规律见下表：

yf(u) ug(x) yf(g(x)) 增 ↗ 增 ↗ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。 例3：函数yx22x3的单调减区间是 （ ）

A.(,3] B.[1,) C.(,1] D.[1,) 6．函数的单调性的应用：

判断函数yf(x)的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。 例4：求函数y

2在区间[2,6]上的最大值和最小值. x1二、奇偶性

1．定义：

如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫偶函数；

（等价于：f(x)f(x)f(x)f(x)0）

如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫奇函数。

（等价于：f(x)f(x)f(x)f(x)0）

注意：当f(x)0时，也可用

f(x)1来判断。 f(x)2．奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。 若函数f(x)为奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)0； 3．判断一个函数的奇偶性的步骤

⑴先求定义域，看是否关于原点对称; ⑵再判断f(x)f(x)或f(x)f(x) 是否恒成立。

2

4．奇偶函数图象的性质

奇函数的图象关于原点对称。反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数。 偶函数的图象关于y轴对称。反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数。 5．常用结论：(1)奇偶性满足下列性质：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。 (2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。

1x2例4：判断函数f(x) 的奇偶性。

x22分析：解此题的步骤（1）求函数的定义域；（2）化简函数表达式；（3）判断函数的奇偶性

针对性练习：

1、判断下列各函数是否具有奇偶性

⑴、f(x)x32x ⑵、f(x)2x43x2

x3x22⑶、f(x) ⑷、f(x)x x1,2

x1⑸、f(x)x22x ⑹、f(x)x211x2

x2(x0)2、判断函数f(x)2的奇偶性。

(x0)x解:f(0)02f(x)

当x0,即x0时,有f(x)(x)2x2f(x)当x0,即x0时,有f(x)(x)(x)f(x)22

总有f(x)f(x),故f(x)为奇函数.3、已知f(x)xaxbx8且f(2)10，那么f(2) （利用奇偶性求函数值）

4、已知偶函数f(x)在,0上为减函数，比较f(5)，f(1)，f(3)的大小。（利用奇偶性比较大小）

53时,f(x)1x,当1x0时，求f(x)的解析式？（利用奇偶性求解5、已知f(x)为偶函数当0x1析式）

3

6、若f(x)(k2)x2(k3)x3是偶函数，讨论函数f(x)的单调区间？（利用奇偶性讨论函数的单调性）

7、已知函数f(x)ax3bx2cx(a0)是偶函数，判断g(x)ax3bx2cx的奇偶性。（利用奇偶性判断函数的奇偶性）

8、定义在R上的偶函数f(x)在(,0)是单调递减，若f(2a2a1)f(3a22a1)，则a的取值范围是如何？（利用奇偶性求参数的值） 9、（2004.上海理）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]的图象如右图,则不等式xfx0的解是 . （利用图像解题）

10、已知函数f(x)a

时, f(x)

1.，若fx为奇函数，则a________。（利用定题） 2x1函数的周期性与对称性

◆函数的轴对称

定理1：函数错误！不能通过编辑域代码创建对象。满足错误！不能通过编辑域代码创建对象。，则函数错误！不能通过编辑域代码创建对象。的图象关于直线错误！不能通过编辑域代码创建对象。对称.

推论1：函数错误！不能通过编辑域代码创建对象。满足错误！不能通过编辑域代码创建对象。，则函数错误！不能通过编辑域代码创建对象。的图象关于直线错误！不能通过编辑域代码创建对象。对称.

推论2：函数错误！不能通过编辑域代码创建对象。满足错误！不能通过编辑域代码创建对象。，则函数错误！不能通过编辑域代码创建对象。的图象关于直线错误！不能通过编辑域代码创建对象。（y轴）对称.

◆函数的周期性

定理2：函数错误！不能通过编辑域代码创建对象。对于定义域中的任意错误！不能通过编辑域代码创建对象。,都有错误！不能通过编辑域代码创建对象。，则错误！不能通过编辑域代码创建对象。是以错误！不能通过编辑域代码创建对象。为周期的周期函数；

推论1：函数错误！不能通过编辑域代码创建对象。对于定义域中的任意错误！不能通过编辑域代码创建对象。,都有错误！不能通过编辑域代码创建对象。，则错误！不能通过编辑域代码创建对象。是以（a－b）为周期的周期函数；

推论2：下列条件都是以2T为周期的周期函数： 1、错误！不能通过编辑域代码创建对象。；2、错误！不能通过编辑域代码创建对象。 ；3、错误！不能通过编辑域代码创建对象。；4、错误！不能通过编辑域代码创建对象。；

5、错误！不能通过编辑域代码创建对象。；6、错误！不能通过编辑域代码创建对象。．

◆函数的点对称

定理3：函数错误！不能通过编辑域代码创建对象。满足错误！不能通过编辑域代码创建对象。，则函数错误！不能通过编辑域代码创建对象。的图象关于点错误！不能通过编辑域代码创建对象。对称.

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推论1：函数错误！不能通过编辑域代码创建对象。满足错误！不能通过编辑域代码创建对象。，则函数错误！不能通过编辑域代码创建对象。的图象关于点错误！不能通过编辑域代码创建对象。对称.

推论2：函数错误！不能通过编辑域代码创建对象。满足错误！不能通过编辑域代码创建对象。，则函数错误！不能通过编辑域代码创建对象。的图象关于原点错误！不能通过编辑域代码创建对象。对称. （总结：同号看周期，异号看对称）

针对性练习：

1、设函数错误！不能通过编辑域代码创建对象。的定义域为R，且满足错误！不能通过编辑域代码创建对象。，则错误！不能通过编辑域代码创建对象。图象关于________对称。

2、设函数错误！不能通过编辑域代码创建对象。的定义域为R，且满足错误！不能通过编辑域代码创建对象。，则错误！不能通过编辑域代码创建对象。图象关于________对称。

3、设函数错误！不能通过编辑域代码创建对象。的定义域为R，且满足错误！不能通过编辑域代码创建对象。，则错误！不能通过编辑域代码创建对象。图象关于______对称,错误！不能通过编辑域代码创建对象。图象关于__________对称。

f(x)，且当x[0,2)时，错误！4、已知函数f(x)是(,)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2）不能通过编辑域代码创建对象。，则f(2008)f(2009)的值为（ ） A．2 B．1 C．1 D．2

5、已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则 ( ) A.f(25)f(11)f(80) B.f(80)f(11)f(25) C.f(11)f(80)f(25) D.f(25)f(80)f(11)

6、设错误！不能通过编辑域代码创建对象。是定义在错误！不能通过编辑域代码创建对象。上以6为周期的函数，错误！不能通过编辑域代码创建对象。在错误！不能通过编辑域代码创建对象。内单调递减，且错误！不能通过编辑域代码创建对象。的图像关于直线错误！不能通过编辑域代码创建对象。对称，则下面正确的结论是 （ ）

A.错误！不能通过编辑域代码创建对象。 B.错误！不能通过编辑域代码创建对象。 C.错误！不能通过编辑域代码创建对象。 D.错误！不能通过编辑域代码创建对象。

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