2016年山东省潍坊市中考数学试卷及答案解析

2016年山东省潍坊市中考数学试卷及答案解析

2016年山东省潍坊市中考数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分 1．计算：20•23=（ ）

﹣

A．﹣B． C．0 D．8

2．下列科学计算器的按键中，其上面标注的符号是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

3．如图，几何体是由底面圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的，其俯视图是（ ）

A．

B．

C．

D．

4．近日，记者从潍坊市统计局获悉，2016年第一季度潍坊全市实现生产总值1256.77亿元，将1256.77亿用科学记数法可表示为（精确到百亿位）（ ）

A．1.2×1011B．1.3×1011C．1.26×1011D．0.13×1012

第2页（共41页）

5．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+

的结果是（ ）

A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b

6．关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（ ） A．15° B．30° C．45° D．60°

7．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆 中点P随之下落的路线，其中正确的是（ ）A．

B．

C．

D．

8．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）

2A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）﹣2（a+2）

+1

第3页（共41页）

第4页（共41页）

12．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（ ）

A．x≥11 B．11≤x＜23 C．11＜x≤23 D．x≤23

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分 13．计算：（+

2n

m

4﹣n

）= ．

n﹣1

14．若3xy与xy是同类项，则m+n= ．

15．超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表： 测试项目 测试成绩（分数）

创新能力

70

综合知识

80

语言表达

92

将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 分．

第5页（共41页）

16．已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过（3，﹣1），则当1＜y＜3时，自变量x的取值范围是 ．

17．已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是 ．

18．在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn1，使得

﹣

点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是 ．

三、解答题：本大题共7小题，共66分 19．关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是，求另一个根及m的值．

第6页（共41页）

20．今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表． 评估成绩n（分） 90≤n≤100 80≤n＜90 70≤n＜80 n＜70 （1）求m的值；

（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示） （3）从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率．

21．正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣BE，弧上取一点E，连接DE、过点D作DF∥BE

第7页（共41页）

评定等级

A B C D

频数 2 15 6

根据以上信息解答下列问题：

交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：

（1）四边形EBFD是矩形； （2）DG=BE．

22．如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）

23．旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车

第8页（共41页）

的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元． （1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费） （2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？

24．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．

（1）如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：MN=AC；

（2）如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3时，求旋转角的大小并指明旋转方向．

25．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），

第9页（共41页）

AC∥x轴，点P时直线AC下方抛物线上的动点．

（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴AC分别交于点E、F，平行的直线l与直线AB、

当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

第10页（共41页）

2016年山东省潍坊市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分 1．计算：20•23=（ ）

﹣

A．﹣B． C．0 D．8

【考点】负整数指数幂；零指数幂．

【分析】直接利用负整数指数幂的性质结合零指数幂的性质分析得出答案． 【解答】解：2•2=1×=．

0

﹣3

故选：B．

2．下列科学计算器的按键中，其上面标注的符号是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误；

第11页（共41页）

B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确． 故选：D．

3．如图，几何体是由底面圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的，其俯视图是（ ）

A．

B．

C．

D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】根据俯视图的概念和看得到的边都应用实线表现在三视图中、看不到，又实际存在的，又没有被其他边挡住的边用虚线表现在三视图中解答即可．

【解答】解：图中几何体的俯视图是C选项中的图形． 故选：C．

第12页（共41页）

4．近日，记者从潍坊市统计局获悉，2016年第一季度潍坊全市实现生产总值1256.77亿元，将1256.77亿用科学记数法可表示为（精确到百亿位）（ ）

A．1.2×1011B．1.3×1011C．1.26×1011D．0.13×1012 【考点】科学记数法与有效数字．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将1256.77亿用科学记数法可表示为1.3×1011． 故选B．

5．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+

的结果是（ ）

A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b

【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．

第13页（共41页）

【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．

【解答】解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0， 则|a|+=﹣2a+b． 故选：A．

6．关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（ ） A．15° B．30° C．45° D．60°

【考点】根的判别式；特殊角的三角函数值． 【分析】由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式可得出sinα=，再由α为锐角，即可得出结论．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根， ∴△=

﹣4sinα=2﹣4sinα=0，

解得：sinα=， ∵α为锐角， ∴α=30°．

第14页（共41页）

=﹣a﹣（a﹣b）

故选B．

7．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆 中点P随之下落的路线，其中正确的是（ ）A．

B．

C．

D．

【考点】轨迹；直角三角形斜边上的中线． 【分析】先连接OP，易知OP是Rt△AOB斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OP=AB，由于木杆不管如何滑动，长度都不变，那么OP就是一个定值，那么P点就在以O为圆心的圆弧上． 【解答】解：如右图，

连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，所以OP=AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为

第15页（共41页）

圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线． 故选D．

8．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）

2A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）﹣2（a+2）

+1

【考点】因式分解的意义．

【分析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果．

【解答】解：∵a2﹣1=（a+1）（a﹣1）， a2+a=a（a+1），

a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），

（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，∴结果中不含有因式a+1的是选项C； 故选：C．

第16页（共41页）

9．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是（ ）

A．10 B．8C．4D．2

【考点】切线的性质；坐标与图形性质． OM，AM，【分析】如图连接BM、作MH⊥BC于H，先证明四边形OAMH是矩形，根据垂径 定理求出HB，在RT△AOM中求出OM即可．【解答】解：如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H．

∵⊙M与x轴相切于点A（8，0）， ∴AM⊥OA，OA=8，

∴∠OAM=∠MH0=∠HOA=90°，

第17页（共41页）

∴四边形OAMH是矩形， ∴AM=OH， ∵MH⊥BC， ∴HC=HB=6， ∴OH=AM=10， 在RT△AOM中，OM=故选D．

10．若关于x的方程

+

=3的解为正数，则

m的取值范围是（ ）

A．m＜B．m＜且m≠C．m＞﹣D．m＞﹣且m≠﹣

【考点】分式方程的解．

【分析】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案．

【解答】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9， 整理得：2x=﹣2m+9， 解得：x=

，

+

=3的解为正数，

∵关于x的方程∴﹣2m+9＞0， 级的：m＜，

第18页（共41页）

==2．

当x=3时，x=解得：m=，

=3，

故m的取值范围是：m＜且m≠． 故选：B．

11．BC=2，如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．

﹣

B．

﹣

C．

﹣D．

﹣

【考点】扇形面积的计算；含30度角的直角三角形．

CD，【分析】连接连接OD、根据S=S

阴

△ABC

﹣S

△ACD

﹣（S

扇形OCD

﹣S

△OCD

）计算即可解决问题．

【解答】解：如图连接OD、CD． ∵AC是直径， ∴∠ADC=90°， ∵∠A=30°，

∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，

第19页（共41页）

∵OC=OD，

∴△OCD是等边三角形， ∵BC是切线．

∴∠ACB=90°，∵BC=2， ∴AB=4，AC=6， ∴S=S

阴

△ABC

﹣S

△ACD

﹣（S

扇形OCD

﹣S

△OCD

） ﹣×32）

=×6×2﹣×3×=

﹣π． 故选A．

﹣（

12．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（ ）

A．x≥11 B．11≤x＜23 C．11＜x≤23 D．x≤23 【考点】一元一次不等式组的应用．

第20页（共41页）

【分析】根据运算程序，前两次运算结果小于等于95，第三次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可． 【解答】解：由题意得，解不等式①得，x≤47， 解不等式②得，x≤23， 解不等式③得，x＞11，

所以，x的取值范围是11＜x≤23． 故选C．

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分 13．计算：（+【分析】先把

）= 12 ．

【考点】二次根式的混合运算．

化简，再本括号内合并，然后进

行二次根式的乘法运算． 【解答】解：原式=•（+3） =×4 =12． 故答案为12．

14． 若3x2nym与x4nyn1是同类项，则m+n= ．

﹣

﹣

，

第21页（共41页）

【考点】同类项．

【分析】直接利用同类项的定义得出关于m，n的等式，进而求出答案．

【解答】解：∵3x2nym与x4nyn1是同类项，

﹣

﹣

∴解得：

，

则m+n=+=． 故答案为：．

15．超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表： 测试项目 测试成绩（分数）

创新能力

70

综合知识

80

语言表达

92

将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 77.4 分． 【考点】加权平均数．

第22页（共41页）

【分析】根据该应聘者的总成绩=创新能力×所占的比值+综合知识×所占的比值+语言表达×所占的比值即可求得．

【解答】解：根据题意，该应聘者的总成绩是：70×+80×+92×=77.4（分）， 故答案为：77.4．

16．已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过（3，﹣1），则当1＜y＜3时，自变量x的取值范围是 ﹣3＜x＜﹣1 ．

【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】根据反比例函数过点（3，﹣1）结合反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，根据k值可得出反比例函数在每个象限内的函数图象都单增，分别代入y=1、y=3求出x值，即可得出结论．

【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过（3，﹣1）， ∴k=3×（﹣1）=﹣3， ∴反比例函数的解析式为y=∵反比例函数y=

第23页（共41页）

．

中k=﹣3，

∴该反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限内均单增． 当y=1时，x=当y=3时，x=﹣1．

故答案为：﹣3＜x＜﹣1．

17．已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是 2 ．

【考点】轴对称-最短路线问题．

【分析】过M作MN′⊥OB于N′，交OC于P，即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值，解直角三角形即可得到结论．

【解答】解：过M作MN′⊥OB于N′，交OC于P，

则MN′的长度等于PM+PN的最小值， 即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值，

第24页（共41页）

=﹣3； =﹣1．

∴1＜y＜3时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜

∵∠ON′M=90°，OM=4， ∴MN′=OM•sin60°=2，

∴点P到点M与到边OA的距离之和的最小值为2．

18．在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn1，使得

﹣

点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是 （2n1，2n

﹣

﹣1） ．

【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．

第25页（共41页）

【分析】先求出B1、B2、B3的坐标，探究规律后即可解决问题．

【解答】解：∵y=x﹣1与x轴交于点A1， ∴A1点坐标（1，0）， ∵四边形A1B1C1O是正方形， ∴B1坐标（1，1）， ∵C1A2∥x轴， ∴A2坐标（2，1），

∵四边形A2B2C2C1是正方形， ∴B2坐标（2，3）， ∵C2A3∥x轴， ∴A3坐标（4，3），

∵四边形A3B3C3C2是正方形， ∴B3（4，7），

∵B1（20，21﹣1），B2（21，22﹣1），1），…，

∴Bn

坐标（2n﹣1

，2n﹣1）．

故答案为（2n﹣

1，2n﹣1）．

第26页（共41页）

B3（22，23﹣

三、解答题：本大题共7小题，共66分 19．关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是，求另一个根及m的值． 【考点】根与系数的关系．

【分析】由于x=是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后由根与系数的关系来求方程的另一根．

【解答】解：设方程的另一根为t． 依题意得：3×（）2+m﹣8=0， 解得m=10． 又t=﹣， 所以t=﹣4．

综上所述，另一个根是﹣4，m的值为10．

20．今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估

第27页（共41页）

成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表． 评估成绩n（分） 90≤n≤100 80≤n＜90 70≤n＜80 n＜70 （1）求m的值；

（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示） （3）从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率．

【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图．

【分析】（1）由C等级频数为15，占60%，即可求得m的值；

第28页（共41页）

评定等级

A B C D

频数 2 15 6

根据以上信息解答下列问题：

（2）首先求得B等级的频数，继而求得B等级所在扇形的圆心角的大小；

（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中至少有一家是A等级的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：（1）∵C等级频数为15，占60%，∴m=15÷60%=25；

（2）∵B等级频数为：25﹣2﹣15﹣6=2， ∴B等级所在扇形的圆心角的大小为：×360°=28.8°=28°48′；

（3）评估成绩不少于80分的连锁店中，有两家等级为A，有两家等级为B，画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，其中至少有一家是A等级的有10种情况，

∴其中至少有一家是A等级的概率为： =．

第29页（共41页）

21．正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣BE，弧上取一点E，连接DE、过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：

（1）四边形EBFD是矩形； （2）DG=BE．

【考点】正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理．

【分析】（1）直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出

∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，∠EDF=90°，进而得出答案；

（2）直接利用正方形的性质的度数是90°，进而得出BE=DF，则BE=DG．

【解答】证明：（1）∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，又∵DF∥BE，

∴∠EDF+∠BED=180°， ∴∠EDF=90°，

第30页（共41页）

∴四边形EBFD是矩形；

（2））∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴的度数是90°， ∴∠AFD=45°， 又∵∠GDF=90°， ∴∠DGF=∠DFC=45°， ∴DG=DF，

又∵在矩形EBFD中，BE=DF， ∴BE=DG．

22．如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

第31页（共41页）

【分析】延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，根据直角三角形的性质和勾股定CF的长，理求出DF、根据正切的定义求出EF，得到BE的长，根据正切的定答即可． 【解答】解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F， ∵∠BCD=150°，

∴∠DCF=30°，又CD=4， ∴DF=2，CF=∴EF=

=2，

=2，

由题意得∠E=30°， ∴BE=BC+CF+EF=6+4，

∴AB=BE×tanE=（6+4）×=（2+4）米，答：电线杆的高度为（2+4）米．

23．旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发

第32页（共41页）

现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元． （1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费） （2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入﹣管理费，根据不等关系：净收入为正，列出不等式求解即可；

（2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值． 【解答】解：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x≤100， 由50x﹣1100＞0， 解得x＞22， 又∵x是5的倍数，

∴每辆车的日租金至少应为25元； （2）设每辆车的净收入为y元，

第33页（共41页）

当0＜x≤100时，y1=50x﹣1100， ∵y1随x的增大而增大，

∴当x=100时，y1的最大值为50×100﹣1100=3900； 当x＞100时， y2=（50﹣

）x﹣1100

=﹣x2+70x﹣1100 =﹣（x﹣175）2+5025，

当x=175时，y2的最大值为5025， 5025＞3900，

故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．

24．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．

（1）如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：MN=AC；

（2）如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3时，求旋转角的大小并指明旋转方向．

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【考点】旋转的性质；菱形的性质．

【分析】（1）连接BD，证明△ABD为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到AE=EB，根据相似三角形的性质解答即可；

（2）分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，根据旋转变换的性质解答即可． 【解答】（1）证明：如图1，连接BD，交AC于O，

在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AD=AB， ∴△ABD为等边三角形， ∵DE⊥AB， ∴AE=EB， ∵AB∥DC， ∴==， 同理， =， ∴MN=AC；

（2）解：∵AB∥DC，∠BAD=60°， ∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°，

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∴∠EDF=60°， 当∠EDF顺时针旋转时，

由旋转的性质可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°，

DE=DF=，∠DEG=∠DFP=90°， 在△DEG和△DFP中，

，

∴△DEG≌△DFP， ∴DG=DP，

∴△DGP为等边三角形， ∴△DGP的面积=DG2=3， 解得，DG=2， 则cos∠EDG==， ∴∠EDG=60°，

∴当顺时针旋转60°时，△DGP的面积等于3，

同理可得，当逆时针旋转60°时，△DGP的面积也等于3，

综上所述，将△EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积等于3．

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25．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P时直线AC下方抛物线上的动点．

（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴AC分别交于点E、F，平行的直线l与直线AB、

当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

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【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；

（2）设点P（m， m2+2m+1），表示出PE=﹣m2﹣3m，再用S

四边形AECP

=S

△AEC

+S

△APC

=AC×PE，

建立函数关系式，求出极值即可；

（3）先判断出PF=CF，再得到∠PCF=∠EAF，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况计算即可．

【解答】解：（1）∵点A（0，1）．B（﹣9，10）在抛物线上， ∴∴

，

，

∴抛物线的解析式为y=x2+2x+1， （2）∵AC∥x轴，A（0，1） ∴x2+2x+1=1， ∴x1=6，x2=0，

∴点C的坐标（﹣6，1）， ∵点A（0，1）．B（﹣9，10）， ∴直线AB的解析式为y=﹣x+1， 设点P（m， m2+2m+1） ∴E（m，﹣m+1）

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∴PE=﹣m+1﹣（m2+2m+1）=﹣m2﹣3m， ∵AC⊥EP，AC=6， ∴S=S

四边形AECP

△AEC

+S

△APC

=AC×EF+AC×PF =AC×（EF+PF） =AC×PE

=×6×（﹣m2﹣3m） =﹣m2﹣9m =﹣（m+）2+， ∵﹣6＜m＜0

∴当m=﹣时，四边形AECP的面积的最大值是，

此时点P（﹣，﹣）．

（3）∵y=x2+2x+1=（x+3）2﹣2， ∴P（﹣3，﹣2），

∴PF=yF﹣yP=3，CF=xF﹣xC=3， ∴PF=CF， ∴∠PCF=45°

同理可得：∠EAF=45°， ∴∠PCF=∠EAF，

∴在直线AC上存在满足条件的Q，

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设Q（t，1）且AB=9，AC=6，CP=3 ∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当△CPQ∽△ABC时， ∴∴

， ，

∴t=﹣4， ∴Q（﹣4，1）

②当△CQP∽△ABC时， ∴∴∴t=3， ∴Q（3，1）．

， ，

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2016年7月11日

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