第３７卷第２期 ２０１１年４月 四川建筑科学研究 Ｓｉｃｈｕａｎ Ｂｕｉｌｄｉｎｇ Ｓｃｉｅｎｃｅ ９ 混凝土梁有效翼缘宽度取值研究 熊学玉 ，应亮亮 （１．同济大学建筑工程系，上海２０００９２； ２０００９２） ２．同济大学建筑设计研究院（集团）有限公司，上海摘要：指出了我国《混凝土结构设计规范》中混凝土梁有效翼缘宽度取值的问题。采用能量变分法，推导弹性状态下有效翼 缘宽度的计算公式，考虑不同的支座条件下，跨度、梁肋净距、翼缘相对刚度对取值的影响，并验证了公式的准确性。提出了 在不同状态下，受拉区和受压区的混凝土梁有效翼缘宽度取值的建议。 关键词：混凝土梁；有效翼缘；能量变分法 中图分类号：ＴＵ３７５．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８—１９３３（２０１１）０２—００９—０４ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｆｌａｎｇｅ ｗｉｄｔｈ ｏｆ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｂｅａｍｓ ＸＩＯＮＧ Ｘｕｅｙｕ ．ＹＩＮＧ Ｌｉａｎｇｌｉａｎｇ￣ （１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｂｕｉｌｄｉｎｇ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｔｏｎｇｊｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２０００９２，Ｃｈｉｎａ； ２．Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒａｌ Ｄｅｓｉｇｎ＆Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｉｎｓｉｔｔｕｔｅ ｏｆＴｏｎ￣ｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｇｒｏｕｐ）Ｃｏ．，Ｌｔｄ．，Ｓｈａｎｇｈｍ ２０００９２，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ Ｃｈｉｎａ’Ｓ“ｃｏｄｅ ｆｏｒ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ’’ａｂｏｕｔ ＲＣ ｂｅａｍｓ’ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｆｌｎａｇｅ ｗｉｄｔｈ ａｒｅ ｐｏｉｎｔｅｄ ｏｕｔ．Ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａｅ ｏｆ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｆｌａｎｇｅ ｗｉｄｔｈ ｆｏｒ ｂｅａｍｓ ｕｎｄｅｒ ｅｌａｓｔｉｃ ｓｔａｔｅ ａｒｅ ｄｅｄｕｃｅｄ ｗｉｔｈ ｅｎｅｒｇｙ－ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ，ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｓｕｐｐｏｒｔｉｎｇ ｃｏｎｄｉｉｔｏｎ， ｂｅａｍ ｌｅｎｇｔｈ，ｄｉｓｔａｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｂｅａｍｓ ａｎｄ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｆｌａｎｇｅ ｒｉｇｉｄｉｔｙ ａｒｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ．Ａｎｄ ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａｅ ａｒｅ ｖｅｒｉｉｆｅｄ．Ｔｈｅ ｅｆ－ ｆｅｃｔｉｖｅ ｆｌｎａｇｅ ｗｉｄｔｈ ｏｆ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｂｅａｍｓ ｕｎｄｅｒ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｌｉｍｉｔｅｄ ｓｔａｔｅ ｉｓ ｒｅｃｏｍｍｅｎｄｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｂｅａｍ；ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｆｌａｎｇｅ；ｅｎｅｒｇｙ—ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ １ 问题引出 剪强度考虑的。这项规定基本上是基于试验得 出 ，该项控制指标一般用于承载能力极限状态 １．１我国规范的规定 下。各国规范关于此项的取值规定相差不大，介于 ＧＢ５００１０—２００２｛混凝土结构设计规范》¨ （以 ｂ ｂ＋１０ 与ｂ ｂ＋１６ｈ；之间 。 下简称为我国《规范》）在７．２．３条中，对Ｔ形、Ｉ形、 １．２规范中存在的问题 倒Ｌ形截面受弯构件位于受压区的有效翼缘宽度ｂ 我国《规范》中对于混凝土梁有效翼缘宽度的 取值，分别从计算跨度ｆ０、梁肋净距ｓ 翼缘高度 取值规定存在以下问题： 这３方面考虑，并从中按最小值取用。对我国《规 （１）未明确正常使用极限状态及弹性状态下有 范》中有效翼缘宽度取值的规定： 效翼缘宽度的取值，特别是弹性状态时受拉区有效 （１）第１条规定（ｚ。／３），是从结构的弯曲强度考 翼缘宽度。 虑的，它与跨径大小、支承条件以及荷载型式等因素 我国《规范》仅在“承载能力极限状态计算”这 一有关。较多国家规范采用梁跨度的某一确定分值作 章中规定了受压区翼缘宽度的取值。文献［３４］ 为有效翼缘宽度的取值，但取值并不统一，从ｂ＋ 对规范的理解是：在受弯极限承载力状态下，规范对 １／１６￣０ ｌ／２不等 。 有效翼缘宽度有具体规定，但在弹性状态下无规定。 （２）第２条规定（ｂ＋ｓ ），是出于几何形状的自 文献［５］中对Ｔ形梁翼缘宽度取值的规定与我国 然划分，几乎列进了世界各国的规范中。当梁两侧 《规范》基本一致，并指出可用于两种极限状态。 的梁肋间距不等时，一般情况下，可取其平均值。 （２）有效翼缘宽度取值计算时，未区分连续梁 （３）第３条规定（ｂ＋１２ ；），主要是从翼缘的抗 和简支混凝土梁有效翼缘的差异。 （３）考虑梁肋净距的影响时，虽然我国《规范》 中第２条考虑了梁肋净距对有效翼缘宽度取值的限 收稿日期：２００９－０７－２８ 作者简介：熊学玉（１９６２一），男，安徽合肥人，教授，博士生导师，研 制，但仅将其作为有效翼缘宽度取值的上限，不能更 究方向：预应力混凝土结构设计及结构加固。 准确地反映梁肋净距对有效翼缘宽度的影响程度。 Ｅ—ｍａｉｌ：ｙ１１９２７＠１２６．ｃｏｒｎ 文献［６－７］依据卡曼原理，推导了弹性状态下的 １０ 四川建筑科学研究 第３７卷 有效翼缘宽度计算公式。但卡曼原理推导时，假定 连续梁的翼缘为无限宽，因而不能反应梁的纵肋间 ｂ１，ｈｆ， 上，ｚＴ——如图１所示。 距以及翼缘相对刚度变化对有效翼缘宽度的影响。 本文拟在已有研究的基础上 Ｊ，采用能量变分法推 丰筹 导出主要由梁肋净距、梁的跨度以及翼缘相对刚度 这３个主要参数来控制有效翼缘宽度的计算公式， 并将区分连续梁和简支梁有效翼缘宽度取值的不 Ｆｉｇ．１ Ｄｉｍｅｎｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｂｅａｍｓ 同。 ２计算公式推导 ２．１能量变分法推导 能量变分法最早由Ｅ．Ｒｅｉｓｓｎｅｒ提出 ，Ｒｅｉｓｓｎｅｒ 利用最小势能的变分等于零的概念推导了计算剪力 滞的公式。同济大学张士铎教授认为 ：Ｒｅｉｓｓｎｅｒ 的推导过程中假定纵向位移按两次抛物线变化，带 有一定的主观性，实测证明，按三次方程式变化更符 合实际情况。福州大学的郭金琼教授等口叫根据国 内外梁翼缘剪力滞问题研究资料，也认为纵向位移 按三次抛物线变化的假定是符合实际情况的。通过 对Ｅ．Ｒｅｉｓｓｎｅｒ所用的二次型分布的纵向位移进行修 正，得到梁的纵向位移ｕ（ｘ，Ｙ）沿宽度方向的函数表 达式如下： （ ）＝ ［ ＋（１＿ ） （ ）］ （１） 则翼缘内正应力分布函数 （ ，Ｙ）： ，），） ＝ 上 ＋（１一吾） （圳 （２） 进一步求得了剪力滞的基本微分方程 删如 下： ）一ｋ２ ）＝ （３） Ｅｌｔ１）Ｉ＋Ｍ ｘ ＋÷ＥＩ ｅＵ ％ ＝０ （４ 其中，／７，和ｋ为Ｒｅｉｓｓｎｅｒ系数，其计算式为： ， 责 ４ 式中‘，Ｌ分别为翼缘、腹板部分的惯性矩（相对 于Ｔ形截面的中性轴），截面惯性矩，＝，ｆ＋，ｗ，其计 算式为： ，ｆ＝２ｈｆ６１２ ＋吉６ ；，Ｗ＝ ６ 。＋ 昧 式中 （ ）——梁的竖向挠度； ｕ（ ）——翼缘板最大纵向位移差； Ｍ（ｘ），口（ ）——截面弯矩、剪力； Ｅ， 弹性模量、剪切模量； ｂ，＾——梁肋宽度、梁高； 式（３）是一个常系数非齐次的微分方程，其通 解形式为 （ ）＝面７ｎ（ｃ－ｅｈ＋ｃ２ｅ－ｋＸ＋ ’） （５） 均布荷载ｑ作用下，梁上的剪力分布函数Ｑ（ ） ：ｑ（１—２ｘ）／２，可解得特解Ｕ ： ’７ ｎ＝一 ｑ ￣（ ）一７６ ｎｑ，ｌ －２ｘ ．（６） 』．２２．２简支梁有效翼缘宽度 若为简支梁，则梁两端的边界条件为： Ｕ （ ）Ｉ ：。＝０，且满足Ｕ （ ）ｌ ＝０ 代入式（４），可解得： ）＝ ７ｎ ｑ［一 １ ｅｋｘ＋ ＋ ］ ，７ｎｑ（、ｌ＋－ｅ ￣ 一 ６胁＋１） 由式（４）可得： ＝一［ ＋ ３了ｔ， （ ）］ 代入式（２）可得： ，），）＝ 卜 （ ）＋ （１＿矗一 ）（ ＋２）］ 以跨中截面处（ ：ｌ／２）有效翼缘宽度计算为 例，翼缘上的最大正应力 在梁肋与翼板交界处 最大，即Ｙ＝ｂ 处，故： ＝ ［一 ７ｎ ｑ ３Ｉ ￣４（ 字）］ 参见文献［５］中有效翼缘宽度６瑚定义： ｂ ｂ ４－２ｂ （７） （ ）ｄｙ 其中 ６ ： ——一 （８） 跨中截面 ＝ｌ／２．可得： （９） 简支梁的跨中截面有效翼缘宽度，可按式（７） 熊学玉，等：混凝土梁有效翼缘宽度取值研究 计算得到。 ２．３连续梁有效翼缘宽度 其中， 为ｌ／ｓ 和 的函数， 为Ｉｆ／ｌ的函数。从而 可知：６ｅ／／ｓ 是梁跨宽比 刚度比Ｉｆ／Ｉ的函数。 随Ｚ／ｓ ， 若为连续梁，则梁两端的边界条件为： （ ） 以简支梁跨中截面有效翼缘为例，６ Ｉ ＝０，且满足Ｕ（ ）Ｉ ： ＝０，参照简支梁有效翼 Ｉｆ／［变化关系如图２，３所示。可知：６／ｓ 与ｌ／ｓ 或 缘宽度的计算过程，由式（８）可得： 连续梁跨中截面处： Ｍ（ ）８（ｋ１） ， １一 ｑｌ ７ｎ、ｌｋ ｋｌ＋１一 （１０） 连续梁支座截面处： ６ｅ＝［１一—Ｍ（—ｘ）—８（—ｋ／）—２———２ｌ＿（１—－—ｅｋｌ—）——一Ｉｆ］６ ｑｌ ７ｎ ｌｋ（１＋ｅ ）＋２（１一ｅ“） ， （１１） 连续梁的跨中和支座截面的有效翼缘宽度，可 按式（７）计算得到。 ３公式说明 以式（１０）为例可看出，分母项中Ｍ（ ）／ｑｌ 为 荷载项，考虑的是不同荷载大小、不同截面位置处梁 的弯矩、剪力的差异性对有效翼缘宽度的影响。 由材料力学知识可知，Ｇ ， 为泊松 比，那么，ｋｌ 寺√ ，易知，ｋｚ主要反映地是 混凝土梁的跨宽比（梁的跨度和梁肋净距之比），以 及材料的泊松比对冀缘有效宽度的影响；其中，ｎ＝ 和／，／，反映地是翼缘的相对刚度对有效 翼缘宽度的影响。 式（１０）中 （ ）需取正 值，那么可保证ｂ。≤ｂ ＝ｓ ／２，由于ｂ，＿ｂ＋２６。，则 可保证满足我国混凝土规范中７．２．３条第二条规定 ｂｆ＜￣ｂ＋ｓ 的要求。 对于均布荷载作用下的跨度相差不大的连续 梁，跨中截面弯矩可近似取为Ｍ（ ）＝ｑｌ ／２４；混凝 土材料泊松比一般可取０．２，且令 ｋｚ）＝ 二旦 ，又知ｓ ＝２ｂ ，则连续梁ｂ 的计算公 ｌｋｅ ２＋１一ｅ“ 式可进一步简化为： ：０．５一——— －＿—一 Ｓｎ （寺）。Ｉｆ（ｋｚ）Ｉ＋争 ，ｆ／琊接近于线性关系，梁的有效翼缘宽度随梁的跨 度增加而增加，增长速率随跨度增大而减小；在梁肋 净距一定时，梁的有效翼缘宽度随翼缘的相对刚度 增大而减小；当梁的跨度较大时，翼缘相对刚度 ｒ／ｊ 对翼缘有效宽度的影响减小。 图２ ｂｏ／ｓ 随 的变化关系曲线 Ｆｉｇ．２ ｂｅ／ｓⅡ— ｓｎ Ｃ１１１ｆＶｅＳ ——Ｉ｛ｓ ．３５ —９一Ｉ｝ｓ ．７ —Ｅ 一Ｉ｝ｓ ＝１．０ ——×一ｌ／ｓ ＝１．５ —＿．｜＿＿Ｉ／ｓｎ一３．０ ｌｆｌｌ 图３ ｂｅ／ｓ 随，ｆ／，的变化关系曲线 Ｆｉｇ．３ ｂ ／ｓ —Ｉ，ｆ／Ｉ ｃｌｌＩ。ｖｅｓ ４公式验证 由于翼缘板剪切变形引起的剪力滞后效应，正 应力在腹板与翼缘交界处达最大值 ～，考虑到应 力分布的连续性，则腹板截面按初等梁理论计算得 到的边缘最大正应力值也为ｏｒ ，正应力分布如图 １中示意。采用有效翼缘ｂ；，按初等梁弯曲理论计 算所得Ｔ形梁的最大正应力，即为 …，故采用有效 翼缘宽度进行截面设计，偏于安全 Ｊ。 可采用下面的思路对公式进行验证： （１）采用文中推导得到的计算公式，按ｂ ｂ＋ ２６ 得到梁的有效翼缘宽度，按初等梁理论计算Ｔ 形梁的上边缘最大应力 。 （２）采用有限元软件Ｓａｐ２０００，用梁单元模拟 １２ 四川建筑科学研究 第３７卷 梁；壳单元模拟翼缘板，分析得到考虑剪力滞后效应 后的正应力分布。查看腹板与梁肋交界处节点的正 应力，从而得到最大正应力 （３）由上文分析知， 。 相等，由此验 ． 与 性状态下的公式计算取值。 ５．２有效翼缘宽度取值建议 综上所述，考虑到工程应用的方便性，对钢筋混 凝土梁有效翼缘宽度，提出如下取值建议。 ５．２．１ 跨中截面位于受压区的有效翼缘 钢筋混凝土梁在两种极限状态下，可根据梁的 证文中翼缘宽度计算公式的正确性。 以均布荷载ｑ＝１ ｋＮ／ｍ作用下，简支梁跨中截 面有效翼缘宽度计算公式的验证为例，验证结果见 类型按计算公式（９）或（１０）计算ｂ ，则可得Ｔ形截 表１。 表１有效翼缘公式结果验证 Ｔａｂｌｅ １ Ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｆｌａｎｇｅ ｗｉｄｔｈ 由表１中的验证结果可知，文中能量变分法推 导得到的计算公式，可较准确地计算弹性状态下的 有效翼缘宽度。 ５取值建议 ５．１ 关于材料弹塑性的考虑 普通混凝土梁一般情况下都是带裂缝工作状 态，而且实际上混凝土为弹塑性材料，当考虑材料的 弹塑性时，钢筋混凝土梁受拉区开裂后，混凝土截面 ＋５ 受压区的压应力总和ＩＪ ０ （），）ｄ 会随钢筋的拉应 力增加而增大（需满足力的平衡条件），而受压区高 度将随裂缝扩展而减小，故此时截面的塑性应力重 分布将不断加大，翼缘截面内的应力将逐步趋于混 凝土受压强度 ，分布将更均匀。Ｒ．Ｐａｒｋ指出¨¨， 当钢筋混凝土梁达到抗弯强度时，纵向压应力沿其 翼缘的分布将比弹性理论所表明的情况更均匀。由 式（８）可知，当翼缘内应力分布越均匀，则有效翼缘 宽度越大。 由上可知：钢筋混凝土梁受力进人弹塑性阶段 后，位于受压区的有效翼缘宽度将不断增大。极限 状态下，受压区有效翼缘宽度将大于弹性状态下的 计算结果。 考虑翼缘板的共同作用，能增大梁的截面刚度， 对减小梁的挠度、减小裂缝宽度以及减小梁的截面 配筋等，都是有利的。即有效翼缘取值偏小时，对混 凝土梁截面正常使用极限状态和承载能力极限状态 下的设计计算，都将偏于安全。 因此，正常使用和承载能力极限状态下，对位于 受压区的混凝土翼缘的有效宽度，可偏安全地按弹 面有效翼缘宽度ｂ ｂ＋２６。，倒Ｌ形截面可近似取Ｔ 形截面有效翼缘宽度的一半；但在弹塑性状态下，建 议对位于受压区的有效翼缘宽度取值时，不应大于 我国《规范》中７．２．３条的第三条规定的计算限值。 ５．２．２ 支座截面位于受拉区的有效翼缘 承载能力极限状态下，由于受拉区混凝土翼缘 部分截面已经开裂，可不考虑拉区混凝土翼缘板的 作用，取有效翼缘宽度为梁肋宽度ｂ。 而正常使用极限状态下，当梁受拉区的混凝土 翼缘未开裂时，可根据式（１１）计算ｂ。，则可得Ｔ形 截面有效翼缘宽度ｂ ＝ｂ＋２６ ，倒Ｌ形截面可近似 取Ｔ形截面有效翼缘宽度的一半。计算时，梁跨度 可取支座截面两侧梁跨度的平均值；当梁受拉区的 混凝土翼缘开裂时，可偏于安全地取受拉区混凝土 翼缘的计算宽度为．６。 参考文献： ［Ｉ］ＧＢＳ００１０—２００２混凝土结构设计规范［ｓ］．北京：中国建筑工 业出版社，２ｏｏ２． ［２］ 程翔云．桥梁理论与计算［Ｍ］．北京：人民交通出版社。１９９ｏ． ［３］ 黄坤耀，楼文娟，孙炳楠，等．预应力梁板体系的空问分析及有 效翼缘宽度［Ｊ］．建筑结构，２００１，３１（２）：４０－４１． ［４］郑晓芬，赵勇．预应力混凝土粱有效翼缘宽度取值探讨［Ｊ］． 结构工程师，２ｏｏ５，２１（２）：５－６． ［５］ＪＴＧ １３６２－２００４公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规 范［ｓ］．北京：人民交通出版社，２００４． ［６］郭乐工．Ｔ粱结构翼缘有效宽度力学分析及讨论［Ｊ］．郑州工 学院学报，１９８８，９（４）：２９－４１． ［７］王逵．预应力混凝土框架设计中有关问题的研究［Ｄ］．南 京：东南大学土木工程学院，２００４． ［８］ＲｅｉｓｓｎｖｒＥ．Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆＳｈｅａｒ Ｌａｇｉｎ Ｂｏｘ Ｂｅａｍ ｂｙｔｈｅＰｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ Ｍｉｎｉｍｕｍ Ｐｏｔｅｎｔｉａｌ Ｅｎｅｒｇｙ．Ｑｕａｒｔｅｒｌｙ ｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ． Ｏｃｔ．１９４６． ［９］张士铎．美国研究箱形薄壁桥梁的情况［Ｊ］．中外公路，１９８１ （１）：１５一ｌ８． ［１０］郭金琼，房贞政．罗孝登．箱形梁桥剪滞效应分析［Ｊ］．土木工 程学报，１９８３（１）：２－５． ［１１］帕克，波利．钢筋混凝土结构（上册）［Ｍ］．秦文钺。等译． 重庆：重庆大学出版社。１９８６．
