2020--2021学年中考数学 几何专项突破 圆综合(含答案)

2021中考数学 几何专项突破 圆综合

一、选择题 1. 2019·葫芦岛 如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为( )

A．70°

2. 已知半径为

B．55° C．45° D．35°

10的⊙O和直线l上一点A，且OA＝10，则直线l与⊙O的位置

关系是( ) A．相切

3. 如图，圆

B．相交 C．相离 D．相切或相交

O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°.过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是( ) A. 25° B. 40° C. 50° D. 65°

4. 2019·天水模拟

一个圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆锥侧面展开图形的圆

心角是( ) A．60°

5. 2020·武汉模拟

B．90° C．120° D．180°

在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为10，则

P(－10，1)与⊙O的位置关系为( ) A．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内

6. 已知正六边形的半径为

B．点P在⊙O外 D．无法确定

r，则它的边长、边心距、面积分别为( )

r

B．r，2，23r2

23

A.3r，r，3r2

3

C.3r，r，3r2

7. 如图，⊙O的半径为

3r332

D．r，2，2r

8 cm，把劣弧AB沿AB折叠，使劣弧AB经过圆心O，

再把劣弧CD沿CD折叠，使劣弧CD经过AB的中点E，则折痕CD的长为( )

A．8 cm

8. 2020·武汉模拟

B．83 cm C．27 cm D．47 cm

小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学

的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为160 mm，直角顶点A到轮胎与地面接触点B的距离AB为320 mm，请帮小名同学计算轮胎的直径为( )

A．350 mm C．800 mm

9. 如图，将两张完全相同的正六边形纸片(边长为

B．700 mm

D．400 mm

2a)重合在一起，下面一张纸片

保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a个单位长度，则空白部分与阴影部分的面积之比是( )

A．5∶2

10. 如图，△

B．3∶2 C．3∶1 D．2∶1

ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°.曲线CDEF…叫做“等腰直

︵︵︵

角三角形的渐开线”，其中CD，DE，EF，…的圆心依次按A，B，C，…循环．如

果AC＝1，那么曲线CDEF和线段CF围成图的面积为( )

图

（12＋72）A.π

4

（9＋52）B.π

4

D.

（9＋52）π＋2

4

（12＋72）π＋2C.

4

二、填空题

11. 若一个圆锥的底面圆半径为3 cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是________cm.

12. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的全面积是________．

13. 如图，在⊙O

中，BD为⊙O的直径，弦AD的长为3，AB的长为4，AC平

分∠DAB，则弦CD的长为________．

14. 如图，把一个圆锥沿母线

OA剪开，展开后得到扇形OAC.已知圆锥的高h为

︵

12 cm，OA＝13 cm，则扇形OAC中AC的长是________ cm.(结果保留π)

15. 如图，AB，CD

是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是⊙O的

直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为________．

16. 如图，AB，AC

分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，而BC恰

好是⊙O内接正n边形的一边，则n等于________．

三、解答题

17. 已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过D点的直线交AC于E点，交AB于F点，且△AEF为等边三角形． (1)求证：△DFB是等腰三角形； (2)若DA＝7AF，求证CF⊥AB.

18. 如图，AB，AC

分别是☉O的直径和弦，OD⊥AC于点D.过点A作☉O的切

线与OD的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F. (1)求证:PC是☉O的切线;

(2)若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长.

19. 2020·凉山州模拟 如图，⊙O的直径AB＝10 cm，弦BC＝6 cm，∠ACB的平

分线交⊙O于点D，交AB于点E，P是AB延长线上一点，且PC＝PE. (1)求证：PC是⊙O的切线； (2)求AC，AD的长．

20. 如图，已知等腰直角三角形

ABC，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，且

AC＝BC＝16分米，以点B为圆心，BD长为半径画弧，交BC于点F，以点C为圆心，CD长为半径画弧，与AC，BC分别交于点E，G.求阴影部分的面积．

21. 如图

1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于

点A的动点．

（1）当tanA1时，求AP的长；

2（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）在（2）的条件下，当tanA4时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时

3与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．

图1 图2 图3

2021中考数学 几何专项突破 圆综合-答案

一、选择题 1. 【答案】B

2. 【答案】D

[解析] 若OA⊥l，则圆心O到直线l的距离就是OA的长，等于半

径，所以直线l与⊙O相切；

若OA与直线l不垂直，根据垂线段最短，可知圆心O到直线l的距离小于10，即小于半径，所以直线l与⊙O相交．

3. 【答案】B

【解析】∵∠A＝25°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝65°.如解图，连接

OC.∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠BCO＝65°.∵CD是⊙的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∴∠BCD＝90°－∠BCO＝25°，∴∠D＝∠ABC－∠BCD＝65°－25°＝40°.

解图

4. 【答案】D

5. 【答案】B

6. 【答案】D

7. 【答案】D

[解析] 如图，作CD关于AB对称的弦

C′D′，连接OE并延长，交CD于点F，交C′D′于点F′.由题意可得OF′⊥C′D′，3

且OF′＝×8＝6(cm)，所以C′F′＝OC′2－OF′2＝ 2

4＝2C′F′＝4

7 cm.

7 cm，所以CD＝C′D′

8. 【答案】C

9. 【答案】C

3

[解析] 正六边形的面积＝6×4×(2a)2＝6 3a2，阴影部分的面积

＝a·2 3a＝2 3a2，

∴空白部分与阴影部分的面积之比是＝6 3a2∶2 3a2＝3∶1.

10. 【答案】C

[解析] 曲线CDEF和线段CF围成的图是由三个圆心不同，半径

不同的扇形以及△ABC组成的，所以根据面积公式可得

135π×1＋135π×（2＋1）2＋90π×（2＋2）21（12＋7 2）π＋2

＋×1×1＝

36024

二、填空题

11. 【答案】

.

360r360×3

9 【解析】由n＝l得120＝l，解得l＝9.

12. 【答案】24π

13. 【答案】

5

2 2 [解析] ∵BD为⊙O的直径，

∴∠DAB＝∠DCB＝90°. ∵AD＝3，AB＝4，∴BD＝5.

又∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC＝45°， ∴∠DBC＝∠DAC＝45°，∠CDB＝∠BAC＝45°， 5

从而CD＝CB，∴CD＝2

14. 【答案】10π

2.

[解析] 由勾股定理，得圆锥的底面圆半径为132－122＝5(cm)，

∴扇形的弧长＝圆锥的底面圆周长＝2π×5＝10π(cm)．

15. 【答案】7

2 [解析] 如图，连接OB，OC，BC，则BC的长即为PA＋PC

的最小值．过点C作CH⊥AB于点H，则四边形EFCH为矩形， 11

∴CH＝EF，EH＝CF.根据垂径定理，得BE＝2AB＝4，CF＝2CD＝3， ∴OE＝OB2－BE2＝52－42＝3，OF＝OC2－CF2＝52－32＝4， ∴CH＝EF＝OE＋OF＝3＋4＝7，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝4＋3＝7.

在Rt△BCH中，由勾股定理，得BC＝7 2，则PA＋PC的最小值为7 2.

16. 【答案】12

[解析] 连接OA，OB，OC，如图．

∵AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边， ∴∠AOB＝90°，∠AOC＝120°， ∴∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝30°，∴n＝十二边形的一边．

三、解答题

17. 【答案】

360°

＝12，即BC恰好是⊙O内接正30°

(1)证明：∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°，

∵△AEF是等边三角形， ∴∠EAF＝∠EFA＝60°， ∴∠ABC＝30°，

∴∠FDB＝∠EFA－∠B＝60°－30°＝30°，(2分) ∴∠ABC＝∠FDB， ∴FB＝FD，

∴△BDF是等腰三角形．(3分) (2)解：设AF＝a，则AD＝7a，

解图

如解图，连接OC，则△AOC是等边三角形， 由(1)得，BF＝2－a＝DF，

∴DE＝DF－EF＝2－a－a＝2－2a，CE＝AC－AE＝1－a，

在Rt△ADC中，DC＝（7a）2－1＝7a2－1， 1－aCE3

在Rt△DCE中，tan30°＝＝＝，

2DC7a－13解得a＝－2(舍去)或a＝1

2，(5分) ∴AF＝1

2，

在△CAF和△BAC中， CABA

AF＝AC＝2，且∠CAF＝∠BAC＝60°，

∴△CAF∽△BAC， ∴∠CFA＝∠ACB＝90°， 即CF⊥AB.(6分)

18. 【答案】

解:(1)证明:连接OC，

∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，

∴PA=PC. 在△OAP和△OCP中，

∴△OAP≌△OCP(SSS)，∴∠OCP=∠OAP. ∵PA是☉O的切线，∴∠OAP=90°. ∴∠OCP=90°，即OC⊥PC， ∴PC是☉O的切线. (2)∵OB=OC，∠OBC=60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠COB=60°， ∵AB=10，∴OC=5， 由(1)知∠OCF=90°，

∴CF=OCtan∠COB=5

19. 【答案】

.

解：(1)证明：连接OC，如图所示． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°. ∵PC＝PE， ∴∠PCE＝∠PEC.

∵∠PEC＝∠EAC＋∠ACE＝∠EAC＋45°， 而∠EAC＝90°－∠ABC，∠ABC＝∠OCB，

∴∠PCE＝90°－∠OCB＋45°＝90°－(∠OCE＋45°)＋45°， ∴∠OCE＋∠PCE＝90°， 即∠PCO＝90°， ∴OC⊥PC， ∴PC为⊙O的切线．

(2)连接BD，如图所示．

在Rt△ACB中，AB＝10 cm，BC＝6 cm， ∴AC＝AB2－BC2＝102－62＝8(cm)． ∵∠ACD＝∠BCD＝45°， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°， ∴△ADB为等腰直角三角形， 2

∴AD＝2AB＝5 2(cm)．

20. 【答案】

解：连接CD.∵△ABC是等腰直角三角形，D是斜边AB的中点， ∴CD⊥AB.

由已知，得AB＝16 2，∠DBF＝45°， 1

∴BF＝BD＝2AB＝CD＝8 2，

16×15π×（8 2）2116×15π×（8 2）2

∴阴影部分的面积是2－－[2×2－]＝

360360(分米2)．

答：阴影部分的面积是平方分米．

21. 【答案】

（1）如图4，过点O作OH⊥AP，那么AP＝2AH．

在Rt△OAH中，OA＝3，tanA1，设OH＝m，AH＝2m，那么m2＋(2m)2＝32．

2解得m35．所以AP2AH4m125．

55（2）如图5，联结OQ、OP，那么△QPO、△OAP是等腰三角形． 又因为底角∠P公用，所以△QPO∽△OAP． 因此QPOP，即y3．

POPA3x由此得到y9．定义域是0＜x≤6．

x图4 图5

（3）如图6，联结OP，作OP的垂直平分线交AP于Q，垂足为D，那么QP、QO是⊙Q的半径．

在Rt△QPD中，PD1PO3，tanPtanA4，因此QP5．

223

2如图7，设⊙M的半径为r．

由⊙M与⊙O内切，rO3，可得圆心距OM＝3－r． 由⊙M与⊙Q外切，rQQP5，可得圆心距QM5r．

22在Rt△QOM中，QO5，OM＝3－r，QM5r，由勾股定理，得

22559(r)2(3r)2()2．解得r． 2211

图6 图7 图8

如图8，在第（3）题情景下，如果⊙M与⊙O、⊙Q都内切，那么⊙M的半径是多少？

同样的，设⊙M的半径为r．

由⊙M与⊙O内切，rO3，可得圆心距OM＝r－3． 由⊙M与⊙Q内切，rQQP5，可得圆心距QMr5．

22

在Rt△QOM中，由勾股定理，得(r5)2(r3)2(5)2．解得r＝9．

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