空间向量及其运算

最新考纲 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 考情考向分析 本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容.一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.

1.空间向量的有关概念

名称 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 共线向量 共面向量

2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理

空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理

共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量. (3)空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫作空间的一个基底.

概念 模为0的向量 长度(模)为1的向量 方向相同且模相等的向量 方向相反且模相等的向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 平行于同一个平面的向量 表示 0 a＝b a的相反向量为－a a∥b 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角

→→

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫作向量a，bπ

的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，

2记作a⊥b. ②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

数量积 共线 垂直 模 夹角

概念方法微思考

1.共线向量与共面向量相同吗？

提示 不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量. 2.零向量能作为基向量吗？

提示 不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量.

3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？

提示 无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果.

向量表示 a·b a＝λb(b≠0，λ∈R) a·b＝0 (a≠0，b≠0) |a| 〈a，b〉 (a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝坐标表示 a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 22a21＋a2＋a3 a1b1＋a2b2＋a3b322222a21＋a2＋a3·b1＋b2＋b3

题组一 思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a，b共面.( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c).( × ) (3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.( × )

(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( × )

→→→→

(5)若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0.( √ ) (6)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角.( × ) 题组二 教材改编

→→2.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若AB＝a，AD＝b，→→

AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是( )

11

A.－a＋b＋c

2211

C.－a－b＋c

22答案 A

→→→→1→→

解析 BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)

2111

＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.

222

3.正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________. 答案

2

11

B.a＋b＋c 2211

D.a－b＋c 22

→→→→→

解析 |EF|2＝EF2＝(EC＋CD＋DF)2

→→→→→→→→→＝EC2＋CD2＋DF2＋2(EC·CD＋EC·DF＋CD·DF) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2，

→

∴|EF|＝2，∴EF的长为2.

题组三 易错自纠

4.在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3，2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是( ) A.垂直 C.异面 答案 B

→→

解析 由题意得，AB＝(－3，－3,3)，CD＝(1,1，－1)，

→→→→

∴AB＝－3CD，∴AB与CD共线，又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD. 5.已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，则|b|＝________. 答案 26 解析 ∵a⊥b，

∴a·b＝2×(－4)＋3×2＋1·x＝0， ∴x＝2，

∴|b|＝－42＋22＋22＝26.

→3→1→→

6.O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP＝OA＋OB＋tOC，若P，A，B，C

48四点共面，则实数t＝______. 1

答案

8

311

解析 ∵P，A，B，C四点共面，∴＋＋t＝1，∴t＝.

488

B.平行

D.相交但不垂直

题型一 空间向量的线性运算

→→

例1 如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设AA1＝a，AB＝b，→

AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

→(1)AP；

→→(2)MP＋NC1.

解 (1)因为P是C1D1的中点， →→————→ →所以AP＝AA1＋A1D1＋D1P →1————→ ＝a＋AD＋D1C1

21→1

＝a＋c＋AB＝a＋c＋b.

22(2)因为M是AA1的中点， →→→1→→

所以MP＝MA＋AP＝A1A＋AP

211

a＋c＋b ＝－a＋2211

＝a＋b＋c. 22

→→→1→→又NC1＝NC＋CC1＝BC＋AA1

21→→1

＝AD＋AA1＝c＋a， 22

111→→

a＋b＋c＋a＋c 所以MP＋NC1＝222313

＝a＋b＋c. 222

思维升华 用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形.

(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.

(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.

→→→

跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点.用AB，AD，AA1表→→

示OC1，则OC1＝________________.

1→1→→答案 AB＋AD＋AA1

22

→1→1→→解析 ∵OC＝AC＝(AB＋AD)，

22

→→→1→→→∴OC1＝OC＋CC1＝(AB＋AD)＋AA1

21→1→→＝AB＋AD＋AA1. 22

→→→

(2)如图，在三棱锥O —ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，→→

用a，b，c表示NM，则NM等于( )

1

A.(－a＋b＋c) 2

1

B.(a＋b－c) 2

1

C.(a－b＋c) 2

1

D.(－a－b＋c) 2答案 B

1→→→→→→

解析 NM＝NA＋AM＝(OA－ON)＋AB

21→1→1→→1→1→→

＝OA－OC＋(OB－OA)＝OA＋OB－OC

222221

＝(a＋b－c). 2

题型二 共线定理、共面定理的应用

例2 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.

(1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)求证：BD∥平面EFGH. 证明 (1)连接BG， →→→则EG＝EB＋BG

→1→→＝EB＋(BC＋BD)

2→→→＝EB＋BF＋EH →→＝EF＋EH，

由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面. →→→

(2)因为EH＝AH－AE 1→1→＝AD－AB 221→→1→＝(AD－AB)＝BD， 22所以EH∥BD.

又EH平面EFGH，BD⊈平面EFGH， 所以BD∥平面EFGH.

思维升华 证明三点共线和空间四点共面的方法比较

三点(P，A，B)共线 →→PA＝λPB且同过点P →→→对空间任一点O，OP＝OA＋tAB →→对空间任一点O，OP＝xOA＋(1－→x)OB

跟踪训练2 如图所示，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满→→→→

足AM＝kAC1，BN＝kBC(0≤k≤1).

空间四点(M，P，A，B)共面 →→→MP＝xMA＋yMB →→→→对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB →→→对空间任一点O，OP＝xOM＋yOA＋(1－x→－y)OB

→→→

(1)向量MN是否与向量AB，AA1共面？ (2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？

→→→→

解 (1)∵AM＝kAC1，BN＝kBC， →→→→∴MN＝MA＋AB＋BN →→→＝kC1A＋AB＋kBC →→→＝k(C1A＋BC)＋AB →→→＝k(C1A＋B1C1)＋AB →→→→＝kB1A＋AB＝AB－kAB1 →→→＝AB－k(AA1＋AB) →→

＝(1－k)AB－kAA1，

→→→

∴由共面向量定理知向量MN与向量AB，AA1共面. (2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合， MN在平面ABB1A1内，

当0又由(1)知MN与AB，AA1共面， ∴MN∥平面ABB1A1.

综上，当k＝0时，MN在平面ABB1A1内； 当0例3 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点.

(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；

(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值. →→→

(1)证明 设AB＝p，AC＝q，AD＝r.

由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三个向量两两夹角均为60°. →→→1→→1→MN＝AN－AM＝(AC＋AD)－AB

221

＝(q＋r－p)， 2

1→→1

∴MN·AB＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)

221

＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. 2→→

∴MN⊥AB，即MN⊥AB. 同理可证MN⊥CD.

→→

(2)解 设向量AN与MC的夹角为θ. →1→→1

∵AN＝(AC＋AD)＝(q＋r)，

221→→→

MC＝AC－AM＝q－p，

2→→1q－1p ∴AN·MC＝(q＋r)·221121q－q·p＋r·q－r·p＝22 2

11212 a－acos 60°＋a2cos 60°－a2cos 60°＝222

12a2a2a2a2＝a－4＋2－4＝. 223→→

又∵|AN|＝|MC|＝a，

2

33a2→→→→

∴AN·MC＝|AN||MC|cos θ＝a×a×cos θ＝.

2222

∴cos θ＝.

3

22→→

∴向量AN与MC的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.

33思维升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置.

(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求平面与平面的夹角. (3)可以通过|a|＝a2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.

跟踪训练3 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.

→

(1)求AC1的长；

→→

(2)求BD1与AC夹角的余弦值.

→→→

解 (1)记AB＝a，AD＝b，AA1＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， 1∴a·b＝b·c＝c·a＝.

2

111→

|AC1|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×2＋2＋2＝6， →

∴|AC1|＝6，即AC1的长为6. →→

(2)BD1＝b＋c－a，AC＝a＋b， →→

∴|BD1|＝2，|AC|＝3， →→BD1·AC＝(b＋c－a)·(a＋b) ＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，

→→

BD1·AC6→→

∴cos〈BD1，AC〉＝＝.

6→→

|BD1||AC|6→→

即BD1与AC夹角的余弦值为.

6

1

1.已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于( )

2A.(0,3，－6) C.(0,6，－6) 答案 B

1

解析 由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20).

22.在下列命题中：

①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；

②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面； ③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；

④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.

其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 A

B.(0,6，－20) D.(6,6，－6)

解析 a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.

3.已知向量a＝(2m＋1,3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值等于( ) 3A. 2C.0 答案 B

解析 当m＝0时，a＝(1,3，－1)，b＝(2,0,0)， a与b不平行，∴m≠0，∵a∥b， ∴

2m＋13m－1

＝＝，解得m＝－2. 2m－m

B.－2 3

D.或－2 2

4.在空间直角坐标系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，则P点坐标为( ) A.(3,0,0) C.(0,0,3) 答案 C

解析 设P(0,0，z)，

则有1－02＋－2－02＋1－z2 ＝2－02＋2－02＋2－z2， 解得z＝3.

5.已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为( ) 5π2πππA. B. C. D. 6336答案 D

解析 ∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1,1,2)， 33a·b∴cos〈a，b〉＝＝＝，

|a||b|2×62

π

又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为，故选D.

6

B.(0,3,0) D.(0,0，－3)

6.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )

A.3 B.2 C.1 D.3－2 答案 D

→→→→解析 ∵BD＝BF＋FE＋ED，

→→→→→→→→→→∴|BD|2＝|BF|2＋|FE|2＋|ED|2＋2BF·FE＋2FE·ED＋2BF·ED＝1＋1＋1－2＝3－2， →

故|BD|＝3－2.

7.已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝________. 答案 －9

解析 由题意知c＝xa＋yb， 即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)， 2x－y＝7，

∴x＋2y＝6，－3x＋3y＝λ，

解得λ＝－9.

8.已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，则c＝________. 答案 (3，－2,2)

x41解析 因为a∥b，所以＝＝，

－2y－1

解得x＝2，y＝－4，此时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)， 又因为b⊥c，所以b·c＝0，

即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2).

→1→→2→→9.已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，VP＝VC，VM＝VB，VN＝

332→

VD.则VA与平面PMN的位置关系是________. 3

答案 平行

→→

解析 如图，设VA＝a，VB＝b，

→→

VC＝c，则VD＝a＋c－b， →21

由题意知PM＝b－c，

33→2→1→221PN＝VD－VC＝a－b＋c.

33333

→3→3→→→→

因此VA＝PM＋PN，∴VA，PM，PN共面.

22又VA⊈平面PMN，∴VA∥平面PMN. 10.已知ABCD－A1B1C1D1为正方体， →→→→

①(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3A1B12； →→→②A1C·(A1B1－A1A)＝0；

→→

③向量AD1与向量A1B的夹角是60°；

→→→④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|AB·AA1·AD|. 其中正确的序号是________. 答案 ①②

→————→ ————→ ————→ ————→ ————→ ————→

解析 ①中，(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝A1A2＋A1D12＋A1B12＝3A1B12，故①正→→→

确；②中，A1B1－A1A＝AB1，因为AB1⊥A1C，故②正确；③中，两异面直线A1B与AD1所→→→→→

成的角为60°，但AD1与A1B的夹角为120°，故③不正确；④中，|AB·AA1·AD|＝0，故④不正确.

→1→→→11.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM＝(OA＋OB＋OC).

3→→→

(1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内. →→→→

解 (1)由题意知OA＋OB＋OC＝3OM， →→→→→→∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)， →→→→→即MA＝BM＋CM＝－MB－MC， →→→

∴MA，MB，MC共面.

→→→

(2)由(1)知MA，MB，MC共面且过同一点M， ∴M，A，B，C四点共面. ∴点M在平面ABC内.

12.已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2). (1)求|2a＋b|；

→

(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得OE⊥b？(O为原点) 解 (1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a＋b|＝02＋－52＋52＝52. →→

(2)令AE＝tAB(t∈R)， →→→→→所以OE＝OA＋AE＝OA＋tAB ＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2) ＝(－3＋t，－1－t,4－2t)， →→若OE⊥b，则OE·b＝0，

9所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.

5

6142→

－，－，. 因此存在点E，使得OE⊥b，此时E点的坐标为555

13.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点→→→→→→

G在线段MN上，且MG＝2GN，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x＋y＋z＝________.

5答案

6

→→→

解析 连接ON，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，

→→→则MN＝ON－OM 1→→1→＝(OB＋OC)－OA 22

111＝b＋c－a， 222

→→→1→2→OG＝OM＋MG＝OA＋MN

2312111111

b＋c－a＝a＋b＋c. ＝a＋23222633

111→→→→

又OG＝xOA＋yOB＋zOC，所以x＝，y＝，z＝，

6331115

因此x＋y＋z＝＋＋＝.

6336

→→→→→→

14.A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，M为BC中点，则△AMD是( ) A.钝角三角形 C.直角三角形 答案 C

→1→→解析 ∵M为BC中点，∴AM＝(AB＋AC)，

2→→1→→→∴AM·AD＝(AB＋AC)·AD

21→→1→→＝AB·AD＋AC·AD＝0. 22

∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形.

→→15.已知O(0,0,0)，A(1,2,1)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当QA·QB取最小值时，点Q的坐标是________. 答案 (1,1,2)

→→→→

解析 由题意，设OQ＝λOP，则OQ＝(λ，λ，2λ)，即Q(λ，λ，2λ)，则QA＝(1－λ，2－λ，1→→→

－2λ)，QB＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA·QB＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(1－2λ)(2－2λ)＝6λ2－12λ＋6＝6(λ－1)2，当λ＝1时取最小值，此时Q点坐标为(1,1,2).

16.如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为棱AB，BB′的中点. (1)求证：CE⊥A′D；

(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.

B.锐角三角形 D.不确定

→→→

(1)证明 设CA＝a，CB＝b，CC′＝c， 根据题意得|a|＝|b|＝|c|， 且a·b＝b·c＝c·a＝0，

111→→

∴CE＝b＋c，A′D＝－c＋b－a，

22211→→

∴CE·A′D＝－c2＋b2＝0，

22→→

∴CE⊥A′D，即CE⊥A′D.

5→→→

(2)解 ∵AC′＝－a＋c，|AC′|＝2|a|，|CE|＝|a|，

2→→b＋1c＝1c2＝1|a|2， AC′·CE＝(－a＋c)·222

12

→→|a|

2AC′·CE10→→

∴cos〈AC′，CE〉＝＝＝，

10→→5|AC′||CE|2×|a|2

2即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为

10. 10