专题03 “三法”解决平面向量数量积问题(第二篇)(原卷版)

最新高考数学压轴题命题区间探究与突破专题

第二篇 三角与平面向量

专题03 “三法”解决平面向量数量积问题

一．方法综述

平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．由于命题方式灵活多样，试题内容活泼、新颖，因此，在高考试卷中备受青睐，是一个稳定的高频考点．解决这类问题有三种基本方法：投影法、基底法和坐标法．“三法”的准确定位应是并举！即不应人为地、凭主观划分它们的优劣，而应具体问题具体分析．

本专题举例说明解答解决平面向量数量积问题的方法、技巧.

二．解题策略

类型一 投影定义法

【例1】【2020·山东寿光现代中学月考】如图，在平面四边形ABCD中，

ABBC,ADCD,BAD120,ABAD1,

若点E为边CD上的动点，则AEBE的最小值为 （ ）

A．

21 16B．

3 2C．

25 16D．3

【指点迷津】

1、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：

向量a,b数量积公式为ababcos，可变形为ababcos或abbacos，进而与向量投影找到联系

（1）数量积的投影定义：向量a,b的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，

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即abbab（记ab为a在b上的投影）

（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：

ababb

即数量积除以被投影向量的模长

2、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题 （1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）

（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 【举一反三】

【2020·海南文昌一中期末】在ABC中，AB2AC2，P,Q为线段BC上的点，且BPPQQC.若APAQA．150

5，则BAC（ ） 9B．120

C．60

D．30

类型二 基底法

【例2】【2020·赣州三中月考】在直角ABC中，M，N是斜边BC上的两个三等分点，已知ABC的面积为2，则AMAN的最小值为（ ）. A．15 3B．215 5C．

16 15D．

16 9【指点迷津】

1.遇到几何图形中计算某两个向量a,b数量积的问题，如果无法寻找到计算数量积的要素（a,b模长，夹角），那么可考虑用合适的两个向量（称为基底）将a,b两个向量表示出来，进而进行运算.这也是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法.

2.如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有，那就是它们了.所以在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长已知.常见的可以边所成向量作基底的图形有：等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等. 【举一反三】

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【2020·江苏金陵中学开学考试】在等腰ABC中，已知底边BC2，点D为边AC的中点，点E为边AB上一点且满足EB2AE，若BDAC1，则ECAB_____． 2类型三 坐标法

在四边形ABCD中，AD∥BC，AB23 ，AD5 ，【例3】【2020广西大学附属中学月考】A30 ，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则BDAE__________. 【指点迷津】

常见的可考虑建系的图形：

（1）具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形 （2）带有直角的图形：直角梯形，直角三角形 （3）具备特殊角度的图形（30,45,60,120等） 【举一反三】

【2020河北邯郸一中期末】如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，点P是MD的中点，若

AB2，AD1，且BAD60，则APCP_________

DPMAB

C三．强化训练

1. 【2019·广东顺德一中月考】如图，在ABC中，ADAB，BC3BD，AD1，则ACAD（ ）

A．3

B．3

C．3 D．-3

2．【2020·天津市和平区二中月考】在ABC中，A60，AB3，AC2. 若BD2DC，

AEACAB(R)，且ADAE4，则的值为______________.

3．【2020·江苏徐州一中月考】如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE

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交于点O.若ABAC6AOEC，则

AB的值是_____. AC

4．【2020·海南东方一中期末】设ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且满足

OAOBOBOCOCOA，则|OBOA||OBOC|(R)的最小值为________.

5．【2020·江苏亳州一中月考】）在ABC所在的平面上有一点P，满足PAPBPCAB，则

PAPB=____

PBPC6．AB3，【2020陕西宝鸡一中期中】在ABC中，若点O为ABC的重心，则AOACAC2，BC4，的值为________.

7．【2020黑龙江大庆一中期末】如图，在等腰直角三角形ABC中，BAC90，AB2，以AB为直径在ABC外作半圆O，P是半圆弧AB上的动点，点Q在斜边BC上，若ABAQ2，则AQCP的取值范围是________.

8．【2020甘肃武威一中期中】如图所示，在△ABC中，AB=AC=2，ADDC，DE2EB，AE的延长线交BC边于点F，若AFBC4，则AEAC____. 5

9.【2020云南德宏一中期末】等腰ABC中，ACB2，CA1，点D、E分别是边AB、BC的中3第4页，共5页

点，点P是ABC（包括边界）内一点，则AE______；AEDP的最大值为______.

10．【2020湖北宜昌一中期末】在边长为8正方形ABCD中，点M为BC的中点，N是AD上一点，且

DN3NA，若对于常数m，在正方形ABCD的边上恰有6个不同的点P，使得PMPNm，则实数

m的取值范围为______.

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