2017-2018学年江苏省常州市九年级(上)期中数学试卷

2017-2018学年江苏省常州市九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）

1．（2分）（2017秋•常州期中）下列轴对称图形中，对称轴最少的图形的是（ ）

A． B． C． D．

2．（2分）（2017秋•常州期中）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（ ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根

D．没有实数根

3．（2分）（2017秋•常州期中）下列语句中，正确的是（ ） A．长度相等的两条弧是等弧

B．相等的圆周角所对的弧相等

C．相等的弧所对的圆心角相等 D．平分弦的直径垂直于弦

4．（2分）（2017秋•常州期中）正三角形的中心是该三角形的（ ） A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．以上说法都正确

5．（2分）（2017秋•常州期中）已知⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A．相切

B．相交

C．相离

D．无法确定

6．（2分）（2017秋•常州期中）一个长方形的面积为210cm2，宽比长少7cm．设它的宽为xcm，则可得方程（ ） A．2（x+7）+2x=210

B．x+（x+7）=210 C．x（x﹣7）=210 D．x（x+7）=210

7．（2分）（2017秋•常州期中）已知正方形的周长为8，那么该正方形的外接圆的半径长为（ ） A．2

B．

C．4

D．

8．（2分）（2017秋•常州期中）有两个一元二次方程：①ax2+bx+c=0，②cx2+bx+a=0，其中a+c=0（ ）

A．如果方程①有两个不相等的实数根，那么方程②也有两个不相等的实数根 B．如果方程①和方程②有一个相同的实数根，那么这个根必是x=1

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C．如果4是方程①的一个根，那么是方程②的一个根 D．如果方程①有两根符号相异，那么方程②的两根符号也相异

二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）

9．（2分）（2017秋•常州期中）将一元二次方程（2﹣x）（x+1）=3化成一般形式，且使得二次项系数为正数，则化成一般形式后的一元二次方程是 ． 10．（2分）（2017秋•常州期中）已知⊙O的半径长为10cm，OP=16cm，那么点P在⊙O ．（填“上”、“内部”或“外部”）

11．（2分）（2017秋•常州期中）一个数的平方等于这个数的三倍这个数是 ． 12．（2分）（2017秋•常州期中）若扇形的半径为3cm，该扇形的弧长为则此扇形的面积是 cm2．（结果保留π）

13．（2分）（2017秋•常州期中）已知关于x的方程x2+3x+a=0的一个根为﹣4，则另一个根为 ．

14．（2分）（2017秋•常州期中）如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，且∠ADC=40°，则∠BAC的度数为 ．

，

15．（2分）（2017秋•常州期中）如图，⊙O的半径长为6，∠ACB=60°，则AB的长为 ．

16．（2分）（2017秋•常州期中）某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒36元，则该药品平均每次降价的百分率是 ．

17．（2分）（2017秋•常州期中）△ABC中，AB=AC=10，BC=12，则△ABC的内

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切圆的半径长为 ．

18．（2分）（2017秋•常州期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为 ．

三、解答题（共7小题，满分分）

19．（16分）（2017秋•常州期中）解下列方程： （1）2（x﹣3）2=5 （2）2x2﹣4x+1=0 （3）2x2﹣3x﹣3=0 （4）（x﹣3）2﹣x+3=0．

20．（6分）（2017秋•常州期中）如图，已知△ABC是锐角三角形． （1）利用直尺与圆规画出△ABC的外接圆⊙O．（保留作图痕迹）

（2）利用直尺与圆规画出（1）中经过点B的⊙O的切线l．（保留作图痕迹）

21．（7分）（2017秋•常州期中）已知关于x的方程x2+8x+12﹣a=0有两个不相等的实数根．

（1）求a的取值范围；

（2）当a取满足条件的最小整数时，求出方程的解．

22．（8分）（2017秋•常州期中）如图，△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=4．点P、Q分别从点A、B同时出发，点P沿

A→C的方向以每秒1个单位长的速度向点C运动，点Q沿B→C的方向以每秒2

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个单位长的速度向点C运动．当其中一个点先到达点C时，点P、Q停止运动．当四边形ABQP的面积是△ABC面积的一半时，求点P运动的时间．

23．（8分）（2017秋•常州期中）如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE． （1）求证：OD⊥DE．

（2）若∠BAC=30°，AB=8，求阴影部分的面积．

24．（9分）（2017秋•泸县期中）某工厂设计了一款工艺品，每件成本40元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是80元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于65元．如果降价后销售这款工艺品每天能盈利3000元，那么此时销售单价为多少元？

25．（10分）（2017秋•常州期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点O，点A（0，6），经过点A、O、B三点的⊙P与直线l相交于点C（7，7），且CA=CB．

（1）求点B的坐标；

（2）如图2，将△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°得到△A′O′B．判断直线A′O′与⊙P的位置关系，并说明理由．

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2017-2018学年江苏省常州市九年级（上）期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）

1．（2分）（2017秋•常州期中）下列轴对称图形中，对称轴最少的图形的是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出各选项图形的对称轴条数，然后判断即可．

【解答】解：A、有三条对称轴， B、有三条对称轴， C、有一条对称轴， D、有四条对称轴，

综上所述，对称轴条数最少的是C选项图形． 故选：C．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2．（2分）（2017秋•常州期中）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（ ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根

D．没有实数根

【分析】把a=1，b=﹣2，c=﹣1代入△=b2﹣4ac进行计算，再根据计算结果判断方程根的情况．

【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=﹣1，

∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0， 所以原方程有两个不相等的实数． 故选：B．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的

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判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

3．（2分）（2017秋•常州期中）下列语句中，正确的是（ ） A．长度相等的两条弧是等弧

B．相等的圆周角所对的弧相等

C．相等的弧所对的圆心角相等 D．平分弦的直径垂直于弦

【分析】根据等弧的定义对A进行判断；根据圆周角定理对B、C进行判断；根据垂径定理对D进行判断．

【解答】解：A、长度相等的两条弧不一定为等弧，所以A选项错误； B、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以B选项错误； C、相等的弧所对的圆心角相等，所以C选项正确； D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以D选项错误． 故选：C．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．

4．（2分）（2017秋•常州期中）正三角形的中心是该三角形的（ ） A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．以上说法都正确

【分析】正三角形的中心是该三角形的三条高的交点，也是三条角平分线的交点，也是三边垂直平分线的交点延长即可判断．

【解答】解：正三角形的中心是该三角形的三条高的交点，也是三条角平分线的交点，也是三边垂直平分线的交点， 故选：D．

【点评】本题考查等边三角形的性质，解题的关键是记住正三角形的中心是该三角形的三条高的交点，也是三条角平分线的交点，也是三边垂直平分线的交点

5．（2分）（2017秋•常州期中）已知⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是

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3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A．相切

B．相交

C．相离

D．无法确定

【分析】直接根据直线与圆的位置关系可得出结论．

【解答】解：∵⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，6＞3， ∴直线l与⊙O相交． 故选：B．

【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＜r时直线l和⊙O相交是解答此题的关键．

6．（2分）（2017秋•常州期中）一个长方形的面积为210cm2，宽比长少7cm．设它的宽为xcm，则可得方程（ ） A．2（x+7）+2x=210

B．x+（x+7）=210 C．x（x﹣7）=210 D．x（x+7）=210

【分析】先表示出长方形的长是（x+7）cm，再根据长方形的面积公式即可列方程．

【解答】解：根据长方形的宽为xcm，可得长为（x+7）cm， 根据题意得：x（x+7）=210． 故选：D．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据长与宽的关系得出等式是解题关键．

7．（2分）（2017秋•常州期中）已知正方形的周长为8，那么该正方形的外接圆的半径长为（ ） A．2

B．

C．4

D．

【分析】根据正方形的性质求出边长，根据正弦的定义计算即可． 【解答】解：∵正方形的周长为8， ∴边长AB=2， ∵四边形是正方形， ∴∠AOB=90°， ∴OA=AB×sin45°=

，

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故选：B．

【点评】本题考查的是正多边形与圆，解题的关键是正确的作出直角三角形并利用特殊的直角三角形求解．

8．（2分）（2017秋•常州期中）有两个一元二次方程：①ax2+bx+c=0，②cx2+bx+a=0，其中a+c=0（ ）

A．如果方程①有两个不相等的实数根，那么方程②也有两个不相等的实数根 B．如果方程①和方程②有一个相同的实数根，那么这个根必是x=1 C．如果4是方程①的一个根，那么是方程②的一个根 D．如果方程①有两根符号相异，那么方程②的两根符号也相异

【分析】根据判别式的意义可对A进行判断；把两方程相减得的（a﹣c）x2=a﹣c，解得x=±1，则可对B进行判断；根据方程根的定义对C进行判断；根据根与系数的关系可对D进行判断． 【解答】解：

A、方程①有两个不相等的实数根，则△=b2﹣4ac＞0，所以方程②也有两个不相等的实数根，所以A选项的结论正确；

B、因为方程①和方程②有一个相同的根，则（a﹣c）x2=a﹣c，解得x=±1，所以B选项的结论错误；

C、因为4是方程①的一个根，则16a+4b+c=0，即②的一个根，所以C选项的结论正确；

D、方程①有两根符号相异，则＜0，所以＜0，所以方程②的两根符号也相异，所以D选项的结论正确． 故选：B．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2

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c+b+a=0，所以是方程

﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．

二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）

9．（2分）（2017秋•常州期中）将一元二次方程（2﹣x）（x+1）=3化成一般形式，且使得二次项系数为正数，则化成一般形式后的一元二次方程是 x2﹣x+1=0 ．

【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）的一般形式，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，可得答案．

【解答】解：将一元二次方程（2﹣x）（x+1）=3化成一般形式，且使得二次项系数为正数，则化成一般形式后的一元二次方程是x2﹣x+1=0， 故答案为：x2﹣x+1=0．

【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

10．（2分）（2017秋•常州期中）已知⊙O的半径长为10cm，OP=16cm，那么点P在⊙O 外部 ．（填“上”、“内部”或“外部”）

【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【解答】解：∵OP=16＞10， ∴点P在⊙O外部． 故答案为：外部

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．

11．（2分）（2017秋•常州期中）一个数的平方等于这个数的三倍这个数是 0或3 ．

【分析】设这个数是x，根据一个数的平方等于这个数的3倍，列一元二次方程

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求解即可．

【解答】解：设这个数是x，根据题意，得 x2=3x，即x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0 解得x=0或x=3． 即这个数是0或3， 故答案为0或3．

【点评】此题主要考查了列一元二次方程的解决实际问题，正确找出题目中的相等关系是解题关键．

12．（2分）（2017秋•常州期中）若扇形的半径为3cm，该扇形的弧长为则此扇形的面积是 π cm2．（结果保留π） 【分析】利用扇形面积公式直接计算．

【解答】解：∵扇形的半径为3cm，该扇形的弧长为∴扇形的面积=故答案为：π．

【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形面积公式：S=lr是解题的关键．

13．（2分）（2017秋•常州期中）已知关于x的方程x2+3x+a=0的一个根为﹣4，则另一个根为 1 ．

【分析】设方程的另一个根为x1，根据根与系数的关系结合方程的一个根为﹣4，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设方程的另一个根为x1， 根据题意得：x1+（﹣4）=﹣3， 解得：x1=1． 故答案为：1．

【点评】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，根据根与系数的关系结合方程的一个根为﹣4，找出关于x1的一元一次方程是解题的关键．

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，

，

3×

=π（cm2），

14．（2分）（2017秋•常州期中）如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，且∠ADC=40°，则∠BAC的度数为 50° ．

【分析】依据圆周角定理可得到∠ACB=90°，∠B=∠D=40°，最后，在依据三角形内角和定理求解即可．

【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． 又∵∠B=∠D=40°， ∴∠BAC=50°． 故答案为：50°．

【点评】本题主要考查的是圆周角定理的应用，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

15．（2分）（2017秋•常州期中）如图，⊙O的半径长为6，∠ACB=60°，则AB的长为 6 ．

【分析】连接OA，OB，过O点作OE⊥AB于E，利用圆周角定理和垂径定理解答即可．

【解答】解：连接OA，OB，过O点作OE⊥AB于E，

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∵∠ACB=60°， ∴∠AOB=120°， ∴∠AOE=60°， ∵OE⊥AB，OA=6， ∴OE=3，AE=3∴AB=6

，

，

【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理和垂径定理解答．

16．（2分）（2017秋•常州期中）某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒36元，则该药品平均每次降价的百分率是 15% ．

【分析】设该药品平均每次降价的百分率是x，则第一次降价后的价格是×（1﹣x），第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的为×（1﹣x）（1﹣x）=36，解方程即可求解．

【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得×（1﹣x）（1﹣x）=36，

整理得×（1﹣x）2=36，

解得x=0.15或1.75（不合题意，舍去）； 即该药品平均每次降价的百分率是15%． 故答案为：15%．

【点评】本题需注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．

17．（2分）（2017秋•常州期中）△ABC中，AB=AC=10，BC=12，则△ABC的内切圆的半径长为 3 ．

【分析】设△ABC的内切圆为⊙O，切点分别为E，D，F，AD为BC边上的高，根据勾股定理得到AD=

=8，根据三角形的面积公式即可得到结论．

【解答】解：设△ABC的内切圆为⊙O，切点分别为E，D，F，AD为BC边上的高，

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∵AB=AC=10，BC=12， ∴AD=

=8，

则AD×BC=r（AB+AC+BC） ×8×12=r（10+10+12）， 解得：r=3． 故答案为：3．

【点评】此题主要考查等腰三角形内切圆半径求法，正确利用勾股定理以及等腰三角形的性质是解题关键．

18．（2分）（2017秋•常州期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为 π ．

【分析】取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB=OP=AB=2

BC=4

，则OC=AB=2

，

，再根据等腰三角形的性质得OM⊥PC，则∠CMO=90°，于是根据

圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=2，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长．

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【解答】解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，

∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4， ∴AB=

BC=4

，

，OP=AB=2

，

∴OC=AB=2

∵M为PC的中点， ∴OM⊥PC， ∴∠CMO=90°，

∴点M在以OC为直径的圆上，

点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=2

，

∴M点的路径为以EF为直径的半圆， ∴点M运动的路径长=•2π•故答案为

π．

=

π．

【点评】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆．

三、解答题（共7小题，满分分）

19．（16分）（2017秋•常州期中）解下列方程： （1）2（x﹣3）2=5 （2）2x2﹣4x+1=0 （3）2x2﹣3x﹣3=0 （4）（x﹣3）2﹣x+3=0．

【分析】（1）两条直接开方法解方程即可；

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（2）（3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可； 【解答】解：（1）（x﹣3）2=， ∴x﹣3=±∴x1=3+

， ，x2=3﹣

．

（2）∵a=2，b=﹣4，c=1， ∴△=16﹣8=8＞0， ∴x=x1=

=，x2=

（3）∵a=2，b=﹣3，c=﹣3， ∴△=9+24=33＞0， ∴x=x1=

，x2=

（4）（x﹣3）（x﹣3﹣1）=0， ∴x﹣3=0或x﹣4=0， ∴x1=3，x2=4．

【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用适当的方法解一元二次方程，属于中考常考题型．

20．（6分）（2017秋•常州期中）如图，已知△ABC是锐角三角形． （1）利用直尺与圆规画出△ABC的外接圆⊙O．（保留作图痕迹）

（2）利用直尺与圆规画出（1）中经过点B的⊙O的切线l．（保留作图痕迹）

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【分析】（1）△ABC任意两边的垂直平分的交点，即为△ABC外接圆的圆心． （2）过点B作垂直于BO的直线l，即为⊙O的切线． 【解答】解：（1）如图⊙O即为所求． （2）如图直线l，即为⊙O的切线．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图、切线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

21．（7分）（2017秋•常州期中）已知关于x的方程x2+8x+12﹣a=0有两个不相等的实数根．

（1）求a的取值范围；

（2）当a取满足条件的最小整数时，求出方程的解．

【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根根，则根的判别式△＞0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围；

（2）得到a的最小整数，利用因式分解法解一元二次方程即可．

【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+8x+12﹣a=0有两个不相等的实数根， ∴△=82﹣4（12﹣a）=4a+16＞0， ∴a＞﹣4；

（2）a满足条件的最小值为a=﹣3， 此时方程为x2+8x+15=0， 解得x1=﹣3，x2=﹣5．

【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根是解答此题的关键．

22．（8分）（2017秋•常州期中）如图，△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=4．点P、

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Q分别从点A、B同时出发，点P沿

A→C的方向以每秒1个单位长的速度向点C运动，点Q沿B→C的方向以每秒2个单位长的速度向点C运动．当其中一个点先到达点C时，点P、Q停止运动．当四边形ABQP的面积是△ABC面积的一半时，求点P运动的时间．

【分析】设点P运动的时间为t秒，则PC=4﹣t，CQ=6﹣2t，根据三角形的面积公式结合△PCQ的面积是△ABC面积的一半，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，再根据6﹣2t≥0即可确定t值，此题得解． 【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则PC=4﹣t，CQ=6﹣2t， 根据题意得：×（4﹣t）×（6﹣2t）=××4×6， 整理得：t2﹣7t+6=0， 解得：t1=1，t2=6． ∵6﹣2t≥0， ∴t≤3， ∴t=1．

答：点P运动的时间为1秒．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及三角形的面积，根据三角形的面积公式结合△PCQ的面积是△ABC面积的一半，列出关于t的一元二次方程是解题的关键．

23．（8分）（2017秋•常州期中）如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE． （1）求证：OD⊥DE．

（2）若∠BAC=30°，AB=8，求阴影部分的面积．

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【分析】（1）连接DB，根据圆周角定理、直角三角形的性质证明； （2）根据扇形面积公式计算即可． 【解答】（1）证明：连接DB． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠CDB=90°， ∵点E是BC的中点， ∴DE=CE=BC， ∴∠EDC=∠C， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO， ∵∠ABC=90°， ∴∠A+∠C=90°， ∴∠ADO+∠EDC=90°， ∴∠ODE=90°， ∴OD⊥DE；

（2）∵AB=8，∠BAC=30°， ∴AD=4

，

﹣×4×2

阴影部分的面积==

π﹣4

．

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【点评】本题考查的是扇形面积的计算、圆周角定理的应用，掌握扇形面积公式是解题的关键．

24．（9分）（2017秋•泸县期中）某工厂设计了一款工艺品，每件成本40元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是80元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于65元．如果降价后销售这款工艺品每天能盈利3000元，那么此时销售单价为多少元？

【分析】设此时销售单价为（80﹣x）元/件，则每天的销售量为（50+5x）件，根据单件利润×销售量=每天利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据80﹣x≥65即可确定x的值，此题得解．

【解答】解：设此时销售单价为（80﹣x）元/件，则每天的销售量为（50+5x）件，

根据题意得：（80﹣x﹣40）（50+5x）=3000， 整理得：x2﹣30x+200=0， 解得：x1=10，x2=20， ∵80﹣x≥65， ∴x≤15， ∴x=10，

∴80﹣x=80﹣10=70．

答：此时销售单价为70元/件．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据单件利润×销售量=每天利润，列出关于x的一元二次方程是解题的关键．

25．（10分）（2017秋•常州期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l经

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过点O，点A（0，6），经过点A、O、B三点的⊙P与直线l相交于点C（7，7），且CA=CB．

（1）求点B的坐标；

（2）如图2，将△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°得到△A′O′B．判断直线A′O′与⊙P的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）过点C作CE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，证明Rt△ACF≌Rt△BCE，根据全等三角形的性质得到BE=AF=1，求出OB，得到答案； （2）取OB的中点R，连接RP并延长交A′O′的延长线于点Q，证明四边形RBO′Q是矩形，求出PQ=5，根据切线的判定定理解答．

【解答】（1）过点C作CE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F， ∴∠CFO=∠CEO=∠AOB=90°， ∴四边形FOEC是矩形， ∴∠FCE=90°， ∴∠ACE+∠ACF=90°

由点C（7，7）得：CF=CE=7，

∴∠AOC=∠BOC=45°，OF=CE=7，OE=CF=7， ∴∠CBA=∠COA=45°，∠CAB=∠COB=45°， ∴∠CAB=∠CBA， ∴AC=BC， ∵点A（0，6）， ∴OA=6，

∴AF=OF﹣OA=7﹣6=1， ∵∠AOB=90°，

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∴AB为⊙P的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACE+∠BCE=90°， ∴∠ACF=∠BCE，

在Rt△ACF和Rt△BCE中，

，

∴Rt△ACF≌Rt△BCE， ∴BE=AF=1，

∴OB=OE+EB=7+1=8， ∴点B（8，0）；

（2）直线A′O′与⊙P相切．

如图2，由AB是⊙P的直径可知：AB的中点即为圆心P， 取OB的中点R，连接RP并延长交A′O′的延长线于点Q， ∴PR∥OA，PR=OA=3， ∵∠AOB=90°， ∴∠QRB=90°，

∵△A′O′B′由△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°得到， ∴∠OBO′=90°，BO′=BO=8， ∵∠AO′B=90°，

∴∠BO′Q=90°，即RP⊥A′O′， ∴四边形RBO′Q是矩形， ∴∠O′QR=90°，RQ=BO′=8， ∴PQ=RQ﹣PR=8﹣3=5， ∵⊙P的直径AB=10，

∴圆心P到直线A′O′的距离等于半径长5， ∴直线A′O′与⊙P相切．

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【点评】本题考查的是一次函数的知识、圆的切线的判定、旋转变换的性质以及矩形的判定和性质，掌握圆周角定理、切线的判定定理是解题的关键．

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