最新中考数学经典压轴题专题说课材料

专题1：抛物线中的等腰三角形

基本题型：已知AB，抛物线yax2bxca0，点P在抛物线上（或坐标

轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP为等腰三角形，求点P坐标。

分两大类进行讨论：

（1）AB为底时（即PAPB）：点P在AB的垂直平分线上。

利用中点公式求出AB的中点M；

利用两点的斜率公式求出kAB，因为两直线垂直斜率乘积为1，进而求出AB的垂直平分线的斜率k；

利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式；

将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。

（2）AB为腰时，分两类讨论：

①以A为顶角时（即APAB）：点P在以A为圆心以AB为半径的圆上。 ②以B为顶角时（即BPBA）：点P在以B为圆心以AB为半径的圆上。 利用圆的一般方程列出eA(或eB)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物

线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。

专题2：抛物线中的直角三角形

基本题型：已知AB，抛物线yax2bxca0，点P在抛物线上（或坐标轴

上，或抛物线的对称轴上），若ABP为直角三角形，求点P坐标。

分两大类进行讨论：

（1）AB为斜边时（即PAPB）：点P在以AB为直径的圆周上。

利用中点公式求出AB的中点M；

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利用圆的一般方程列出eM的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称 轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 （2）AB为直角边时，分两类讨论：

①以A为直角时（即APAB）： ②以B为直角时（即BPBA）：

利用两点的斜率公式求出kAB，因为两直线垂直斜率乘积为1，进而求出PA （或PB）的斜率k；进而求出PA（或PB）的解析式；

将PA（或PB）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。

所需知识点：

一、 两点之间距离公式： 已知两点Px1,y1,Qx2,y2， 则由勾股定理可得：PQ

二、 圆的方程：

点Px,y在⊙M上，⊙M中的圆心M为a,b，半径为R。

x1x22y1y22。

则PMxa2yb2R，得到方程☆：xa2yb2R2。

∴P在☆的图象上，即☆为⊙M的方程。 三、 中点公式：

xx2y1y2四、 已知两点Px1,y1,Qx2,y2，则线段PQ的中点M为1 ,。

22五、 任意两点的斜率公式：

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已知两点Px1,y1,Qx2,y2，则直线PQ的斜率： kPQy1y2。 x1x2中考压轴题专题3：抛物线中的四边形

基本题型：一、已知AB，抛物线yax2bxca0，点P在抛物线上（或

坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ为平行四边形，求点P坐标。

分两大类进行讨论：

（1）AB为边时 （2）AB为对角线时

二、已知AB，抛物线yax2bxca0，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ为距形，求点P坐标。 在四边形ABPQ为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直 （2）对角线相等

三、已知AB，抛物线yax2bxca0，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ为菱形，求点P坐标。 在四边形ABPQ为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等 （2）对角线互相垂直

四、已知AB，抛物线yax2bxca0，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ为正方形，求点P坐标。 在四边形ABPQ为矩形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等 （2）对角线互相垂直

在四边形ABPQ为菱形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：

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（1）邻边互相垂直 （2）对角线相等

五、已知AB，抛物线yax2bxca0，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ为梯形，求点P坐标。 分三大类进行讨论：

（1）AB为底时 （2）AB为腰时 （3）AB为对角线时 典型例题：典型例题：

例1（08深圳中考题）、如图9，在平面直角坐标系中，二次函数

yax2bxc(a0)的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交

于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，

1tan∠ACO＝．

3（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样

的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆

与x轴相切，求该圆半径的长度． （4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛

物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积. yy

AOB

EAOBxxCD图 9CD图 10Gword可编辑

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，B两点，与y例2（2009年烟台市）如图，抛物线yax2bx3与x轴交于A轴交于C点，且经过点(2，3a)，对称轴是直线x1，顶点是M． （1） 求抛物线对应的函数表达式；

（2） 经过C,M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点

，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求P，使以点P，A出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3） 设直线yx3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与

B，D重合），B，E三点的圆交直线BC于点F，，经过A试判断△AEF的形状，并说明理由；

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（4） 当E是直线yx3上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请

直接写出结论）．

例3.（2009•临沂）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，

-2）三点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，

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A O 1 B x y 3 C M （第26题图）

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请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标． 思路点拨

1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程． 4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．

满分解答 （1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解

析式为ya(x1)(x4)，代入点C的 坐标（0，－2），解得

1a．所以抛物线的解析式为

2115y(x1)(x4)x2x2．

2221（2）设点P的坐标为(x,(x1)(x4))．

21①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，PM(x1)(x4)，

2AM4x．

1(x1)(x4)AMAO2，那么22．解得x5不合题意． 如果

PMCO4x1(x1)(x4)AMAO11，那么2．解得x2． 如果

PMCO24x2此时点P的坐标为（2，1）．

PM②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，

1(x1)(x4)， AMx4．2word可编辑

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1(x1)(x4)2解方程2，得x5．此时点P的坐标为(5,2)．

x41(x1)(x4)1解方程2，得x2不合题意．

x42PM③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，

1(x1)(x4)， AM4x．21(x1)(x4)2解方程2，得x3．此时点P的坐标为(3,14)．

4x1(x1)(x4)1解方程2，得x0．此时点P与点O重合，不合题意．

4x2综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或(3,14)或(5,2)．

图2 图3 图4 （3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为y1x2． 215设点D的横坐标为m(1m4)，那么点D的坐标为(m,m2m2)，

221点E的坐标为(m,m2)．所以

21151DE(m2m2)(m2)m22m．

2222word可编辑

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因此SDAC112(m2m)4m24m(m2)24． 22当m2时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．

图5

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图6

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例4.如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），

与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC的函数表达式；

（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两

点，且点P在第三象限．

①当线段PQ3AB时，求tan∠CED的值；

4②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．

思路点拨1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后

续的解题．

2．第（3）题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半

轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系． 3．根据C、D的坐标，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，这样

写点E的坐标就简单了． 满分解答（1）设抛物线的函数表达式为y(x1)2n，代入点C(0，－3)，得

n4．所以抛物线的函数表达式为y(x1)24x22x3．

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（2）由yx22x3(x1)(x3)，知A(－1，0)，B(3，0)．设直线BC的函

数表达式为ykxb，代入点B(3，0)和点C(0，－3)，得3kb0,b3.

解得k1，b3．所以直线BC的函数表达式为yx3．

（3）①因为AB＝4，所以PQ3AB3．因为P、Q关于直线x＝1对称，

417，点F所以点P的横坐标为1．于是得到点P的坐标为,2245757．所以的坐标为，． EC2FCFCOCOF30,44421． 进而得到OEOCEC351，点E的坐标为0,222直线BC:yx3与抛物线的对称轴x＝1的交点D的坐标为（1，－2）． 过点D作DH⊥y轴，垂足为H．

在Rt△EDH中，DH＝1，EHOHOE213，所以tan∠CEDDH2．

22EH3②P，P2(16,5)． 1(12,2)22

图2 图3 图4

考点伸展第（3）题②求点P的坐标的步骤是：如图3，图4，先分两种情况求

出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标，再求出CE的中点F

的坐标，把点F的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x的较小的一个值就是点P的横坐标．

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例5.（2010•河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），

B（0，-4），C（2，0）三点． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB

的面积为S、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个 位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-2），

②如图2，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO

为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）．

故满足题意的Q点的坐标有四个，分别是（-4，4），（4，-4），

例6.（2013•眉山）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在

y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M． （1）求这条抛物线的解析式；

（2）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、

E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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．∴抛物线的解析式为：y=x2+2x-3．

（2）存在．

△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形： ①以点A为直角顶点．

如解答图，过点A作直线AD的垂线，与抛物线交于点P，与y轴交于点F．

∵OA=OD=1，则△AOD为等腰直角三角形，

∵PA⊥AD，则△OAF为等腰直角三角形，∴OF=1，F（0，-1）． 设直线PA的解析式为y=kx+b，将点A（1，0），F（0，-1）的坐标代入得：

解得k=1，b=-1，

∴y=x-1．将y=x-1代入抛物线解析式y=x2+2x-3得，x2+2x-3=x-1， 整理得：x2+x-2=0， 解得x=-2或x=1，

当x=-2时，y=x-1=-3， ∴P（-2，-3）；

②以点P为直角顶点．

此时∠PAE=45°，因此点P只能在x轴上或过点A与y轴平行的直线上．

过点A与y轴平行的直线，只有点A一个交点，故此种情形不存在； 因此点P只能在x轴上，而抛物线与x轴交点只有点A、点B，故点P与点B重合． ∴P（-3，0）；

③以点E为直角顶点．此时∠EAP=45°，由②可知，此时点P只能

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与点B重合，点E位于直线AD与对称轴的交点上，即P（-3，0）； 综上所述，存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形．点P的坐标为（-2，-3）或（-3，0）．

例7.（2010•宜宾）将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平

面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（-3，0）． （1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；

（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）如图，∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（0，6），

∴c=6．（1分）

∵抛物线的图象又经过点（-3，0）和（6，0），

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例8（2012•从化市一模）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线

y=ax2+bx-3a经过A（-1，0）、B（0，3）两点，与x轴交于另一点C，顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式及点C、D的坐标；

（2）经过点B、D两点的直线与x轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；

（3）如图（2）P（2，3）是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛

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物线上一动点，求△APQ的最大面积和此时Q点的坐标．

（1）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4 ∴D（1，4）

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例9.（四川省遂宁市）如图，二次函数的图象经过点D(0，

73)，且顶点C的9横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6． （1）求该二次函数的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA＋PD最小，求出点P的坐标； （3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q

的坐标；如果不存在，请说明理由． （1）设二次函数的解析式为：y=a（x-h）2+k

y D O A C B x

（2）∵点A、B关于直线x=4对称

∴PA=PB

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∴PA+PD=PB+PD≥DB

∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值 ∴DB与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x轴交于点M

∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∵∠PBM=∠DBO ∴△BPM∽△BDO

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例10．（四川省内江市）如图所示，已知点A(－1，0)，B(0，3)，C(0，t)，

且t＞0，tan∠BAC＝3，抛物线经过A、B、C三点，点P(2，m)是抛

物线与直线l：y＝k(x＋1)的一个交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）对于动点Q(1，n)，求PQ＋QB的最小值；

（3）若动点M在直线l上方的抛物线上运动，求△AMP的边AP上的高h的最

大值．

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（3）过点P作PN⊥x轴于点N，过点M作MK⊥x轴于点K，

设点M的坐标为（x，-x2+2x+3），

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例11.（广东省深圳市）已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这

个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）． （1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．

（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点

（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．

①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标． ．．．．

②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP

的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由． （1）

A O D y P B C x

O 图3

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（注：只回答有最大面积，而没有说明理由的，不给分；点P的坐标，或最大面积计算错误的，扣（1分）；其他解法只要合理，酌情给分．）

例12.（2008年四川省宜宾市）已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别

相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D. （1） 求该抛物线的解析式；

（2） 若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积； （3） △AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说

明理由.

2b4acb,（注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为）2a4a

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c3满分解答：1. 解：（ 1）由已知得：解得c=3,b=2

1bc0∴抛物线的线的解析式为yx22x3 y(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4） 所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0) 设对称轴与x轴的交点为F

所以四边形ABDE的面积=SABOS梯形BOFDSDFE DBGAEOFx=

111AOBO(BODF)OFEFDF 222111=13(34)124 =9 222（3）相似. 如图，BD=BG2DG212122 BE=BO2OE2323232 DE=DF2EF2224225 所以BD2BE220, DE220即： BD2BE2DE2,所以BDE是直角三角形

AOBO2, 所以AOB:DBE. BDBE2所以AOBDBE90,且

例13.(2008年辽宁省十二市)如图16，在平面直角坐标系中，直线y3x3 与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yax223xc(a0)经过3A，B，C三点．

（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；

（2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形，若存在，直接写出P

点坐标；若不存在，请说明理由；

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（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小，若存在，

求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

y A C O F B x

图16

解：（1）Q直线y3x3与x轴交于点A，与y轴交于点C．

3) ··················································································· 1分 A(1，0)，C(0，Q点A，C都在抛物线上，

2330aca 33 3cc33223xx3 ··················································· 3分 33抛物线的解析式为y43顶点F1，······················································································· 4分 3 ·

（2）存在 ····································································································· 5分 ···································································································· 7分 P，3) ·1(0···································································································· 9分 P2(2，3) ·（3）存在 ··································································································· 10分 理由：解法一：

延长BC到点B，使BCBC，连接BF交直线AC于点M，则点M就是所求

的点．

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··········································································· 11分 过点B作BHAB于点H．

3223xx3上，B(3，0) 333， 3H A C B O M F B x

QB点在抛物线yy 在Rt△BOC中，tanOBCOBC30，BC23，

o在Rt△BBH中，BH1BB23， 2图9 BH3BH6，OH3，B(3，23) ············································· 12分

设直线BF的解析式为ykxb

3233kbk3336yx43 解得 ································ 13分

62kbb33323y3x3x31037， M 333 解得77xyy103，627

3103在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M，77．14分

3例14.(2008年四川省巴中市) 已知：如图14，抛物线yx23与x轴交于

433点A，点B，与直线yxb相交于点B，点C，直线yxb与y44轴交于点E．

（1）写出直线BC的解析式．

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（2）求△ABC的面积．

（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B

重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？

3解：（1）在yx23中，令y0

43x230

4x12，x22

C E N y 0) A(2，0)，B(2，·············································· 1分 3又Q点B在yxb上

4A M D O P B x

330b b22

33······································································· 2分 BC的解析式为yx ·

42

32yx3x114（2）由，得9

33y1yx442word可编辑

x22 ················································ 4分 y02资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除

9C1，，B(2，0)

4AB4，CD

9 ························································································ 5分 4199··················································································· 6分S△ABC4·

242

（3）过点N作NPMB于点P

QEOMB

NP∥EO

························································································ 7分 △BNP∽△BEO ·

BNNP ··································································································· 8分BEEO

333由直线yx可得：E0，

422

在△BEO中，BO2，EO352tNP6，则BE，NPt ·········· 9分

5322522

16Sgtg(4t)25

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312·············································································· 10分St2t(0t4)·

55

312······················································································ 11分S(t2)2 ·

55 Q此抛物线开口向下，当t2时，S最大12 5

当点M运动2秒时，△MNB的面积达到最大，最大为

12． 例15（2010•5内江）如图，抛物线y=mx2-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，

与y轴交于C点．

（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标；

（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；

（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，

请说明理由

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满分解答：（1）∴A、B两点的坐标为（-1，0）、（3，0）．（4分）

存在使△BCM为直角三角形的抛物

线； 《3题图》

过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为Rt△，CN=OD=1，DN=OC=3m， ∴MN=DM-DN=m．

∴CM2=CN2+MN2=1+m2；

在Rt△OBC中，BC2=OB2+OC2=9+9m2，

在Rt△BDM中，BM2=BD2+DM2=4+16m2；

①如果△BCM是Rt△，且∠BMC=90°，那么CM2+BM2=BC2， 即1+m2+4+16m2=9+9m2，

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②如果△BCM是Rt△，且∠BCM=90°，那么BC2+CM2=BM2， 即9+9m2+1+m2=4+16m2， 解得m=±1， ∵m＞0， ∴m=1；

∴存在抛物线y=x2-2x-3，使得△BCM是Rt△；

③如果△BCM是Rt△，且∠CBM=90°，那么BC2+BM2=CM2，

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