2 2
1.已知点P|(x0, y0)为双曲线 二一5=1(b为正常数)上任一点，
8b b
F2为双曲线的右焦点,
过P作右准线的垂线，垂足为 A,连接F?A并延长交y轴于点P2. (1)求线段RP2的中点P的轨迹E的方程;
(2)设轨迹E与X轴交于B, D两点，在E上任取一点 Q(为，％)(%=0),直线QB，QD 分别交于y轴于M，N两点.求证：以
MN为直径的圆过两定点.
2.如图，已知圆G： (x-2) 为椭圆的左顶点. (1) 求圆G的半径r; (2)
X 2
y -r是椭圆 y =1的内接△ ABC的内切圆，其中 A
2
2
2
2
过点M (0，1)作圆G的两条切线交椭圆于 E，F两点，证明：直线 EF与圆G相切.
M
E
3.设点P（Xo,y°）在直线x =m（y 二m,0 ：：： m ：：：1）上，过点P作双曲线x -y =1的两条
切线PA, PB，切点为代B ,定点M丄,0 • B丿
（1）过点A作直线x — y =0的垂线，垂足为 N，试求△ AMN的垂心G所在的曲线方
程;
（2）求证：A、M、B三点共线.
1 2 2
4•作斜率为 1的直线1与椭圆c盒十1交于
A,B
两点（如图所示）'且P（
3屈血）在
直线l的左上方•
（1） 证明：.PAB的内切圆的圆心在一条定直线上
A
（2） 若.APB =60°，求.PAB 的面积•
5.如图，椭圆G :笃•爲=1(a . b . 0)的离心率为，x轴被曲线C2： y = x2 -b截得 a b 2 的线段长等于Ci的长半轴长•( 1)求Ci, C2的方程；(2 )设C2与y轴的焦点为 M,过坐 标原点0的直线I与c2相交于点A,B，直线MA,MB分别与C1相交与D,E . ①证明：
MD _ ME ； ②记.MAB, . MDE的面积分别是 S,，S2.问：是 一 S 17
否存在直线I，使得二 ？请说明理由.
S， 32
2
6.已知抛物线C : y =4x的焦点为F，过点K(-1,0)的直线l与C相交于A、B两点, 点A关于x轴的对称点为D . (1 )证明：点F在直线BD 上;
(2)设FAFB = 8，求 BDK的内切圆M的方程.
9
2 2
7. P(x。，y°)(x。= _a)是双曲线E:笃-爲=1(a ■ 0,b ■ 0)上一点，M,N分别是双曲线
a b
1
E的左、右顶点，直线 PM , PN的斜率之积为-.
(1) 求双曲线的离心率；
(2) 过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于 代B两点，0为坐标原点，C为双
5
曲线上一点，满足 求■的值.
8.已知以原点O为中心，F ( . 5,0)为右焦点的双曲线 (1 )求双曲线C的标准方程及其渐近线方程;
(2)如图，已知过点M (x1, y1)的直线l1 : x-|X 4y1y
=4与过点 N(X2,y2)(其中 X2 = xJ
的直线12: x2x 4y2^4的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别 交于G、H两点，求△ OGH的面积.
i.解：（i）由已知得
\"一 ¥氏-弘）
则直线的方程为： 令孟=0得厂9片 即卑伽）
42
..片+9兀— y _ 2 _ \"o
代入 得:
即P的轨迹E的方程为
（2 ）在：上'
中令「 '得
x =2i
于是直线QB的方程为: 直线QD的方程为：「二八⑺
则以 为直径的圆的方程为:
上,
?
，则不妨设
于是 x = ±
5b 即以MN为直径的圆过两定点 2.解：（1 ）设B
' •',过圆心 G作GD丄AB于D, BC交长轴于H ,
GO. HB _
ry/6+r
由具厂 得
汗药,①
2_
(2+r)J 12 W
(—2)0 + 6)
片I 二］—
—-------
而点B
16
16
16
，②I
由①、②式得」’1
-\"，解得
（2）设过点M （0, 1 ）与圆
'相切的直线方程为:
y-仁kx ，③
，即
+36)1+5 = 0 冏= -9 + ^/4! ,
-9-s/41
解得
将③代入
(16P+l)? + 32Jbr = 0 32k 则异于零的解为
uP+i 厅(坯竝i+1)# Egg +1)
设
32k.
32k2 X1 = _
16^ +1
16^+1
七L + &
则直线FE的斜率为:
1-16^
严弩亠弘+沖）亠1
16 勺 +1
4
16 坦 +1 即 4 3
于是直线
FE的方程为：
?
则圆心（2 , 0）到直线FE的距离 ，故结论成立。
3..解：（1 ）垂线AN的方程为:
二_忙+码
一x+码
由I ^-y = o得垂足
NI
设重心G （x，y），
9x — 3y —— * _m
“厶+丄十呼）
3 m 2
\"一 4 -
9y-3x+ —
所以 ，解得
由 '：i - 1
(3x-3y- —)(3x+3y ) = 2
，可得，
，
（X-—）2-^2 =-
即
-为重心G所在曲线方程。
（2）设「肿凡
由已知得到 '
'，且
设切线PA的方程为:
一 •： 一 ； r - ■.：
?
得•工.“上「
「 | 从而’.一:「|
「，
解得
7\\
p
因此PA的方程为：■ ■ ■'-V
'
.1 ■： I
又」工在PA、PB上，所以
即点&环血0也宀）都在直线必尸沁_1上，
—F °）
又—也在直线 •
Vf.y ：= wwr -1
上，
所以三点A、M、B共线。
| . 1 _n _n
4.（i）设直线j：厂亍十，曲
-] £ zi 1
将厂『+\"代入3FT
+=1
中，化简整理得
2
f
丄』_片-忑丄儿-&
_①_血）也_迈+6 _叔&-3近） ~ （无-3运）亿-3姻
上式中,
分子古r ~血X®（亍心+用-血也-3切
=扌旺珀 +(m - 2 J?)(x +x?)-6 ^(m - &) = —— ---- +(用-2屈(-3粉-6'f2(m - &) 2 2 一 _______________________________
+m
=3m -\\2-3m -¥6^2in-6^2in^i2 = Q ,
从而,
又匕在直线1的左上方，因此，——的角平分线是平行于丿轴的直线,
所以的内切圆的圆心在直线：\"「上.
⑵若…’时，结合（1）的结论可知'' ■.
:_
F 1
厂
直线…的方程为：二|「-］二I ,代入二［.厂 中，消去'得
X\"
1*+9硕-3曲\"18(13-釘花。.
12(13-3^)
它的两根分别是'和；」, 哼邑.所以劇施莎|心歼牟也
14
同理可求得
拓G@T) .所以
7
^ = ||^1 1^1 ^60^
7 7 2
_ 1 矗(症+1) 朋(朋-1)历 2 117馆 49 '
-----
5.
* （ I）由题意知•审手h孚*从而g血.又访\"、Wffla = 2k 故即G的方理分别为弓*y・i.厂HJ*
< U > c i >由題意知.血线f的斜率存在.设为机 则蛙线F的方程为> = Jtx. 由m
J* = JF - 1
宀&
设』（斗・X人丘（工—X人则斗.鸟是上述方程的两个实报’于雄
斗=*,斗屯=-I.
又点M的坐标为（0.-1）,所以
阳寺
1 山+】口小丘‘再形十上（斗★码）*1
=
故山丄MB.即W1.WE .
则点Q的坐标妆為.誤）.
又直线ME的斜率为同理可得点£的坐标为（严兽*舟芋八
<1
4 + <| 4 + K|
y去⑷卜Ml■
因此
晋燃翔
*解御上：=4*或上:=+*
由题意矩.右\"（\"；*卡* +‘7）=
又由点儿E的坐标可知，k-
6.解：(1 )设 A (xi, yi), B ( X2 , y2), D ( xi, -y 1) , l 的方程为 x=my-1 ( m 工0) 将x=my-1 代入y2=4x并整理得y2-4my+4=0 从而 y1 +y 2=4m ， y1y2=4 ①直线BD的方程为
4
即
% +乃 丁一旳亍（疋一可）
令y=0 ，得
所以点F （1 , 0）在直线BD上; （2 ）由①
知,
X1+X2= ( my 1-1 ) + (my 2-1 ) =4m 2-2，X1X2= (my 1-1 ) ( my 2-1 ) =1
列）
?'虫
(x1-1 ) (X2-1 ) +y 1y2=x 1x2- (x1+x 2) +1+4=8-4m
2
3
故 8-4m 2= ■，解得 m=
又由①知：■- ■' 厂厂」…鼻占
1
I -
故直线BD的斜率「
’
…
因而直线BD的方程为 —-宀 一 —I :—一 因为KF为/BKD的平分线，故可设圆心 M （t, 0） （-1 v t v 1）, M （t, 0 ）至^ I及BD的 距离分别为
4± 3
3|g+]| 3卩-1|
5
3卩_+1| _ 引 f_l| . 1
,由 庁
却 得 卩或t=9 (舍去)
°
斗+ 1|_2
f = -------------------------------------=—
故圆M的半径 - 3
（耳- £尸 +y2 二-
所以圆M的方程为
。
4-4=i（^>o^>o）
7.解：（1）已知双曲线E:盘 白
,
尸（心Jo）在双曲线上，M , N分别为双曲线E的左右顶点, 所以 M (-a , 0), N (a , 0),
壬二申7二R尊-筠二1
直线PM , PN斜率之积为
召j-a 暗
一& 5 a
a
（2）设过右焦点且斜率为 1的直线L: y=x-c，交双曲线E于A, B两点,
则不妨设
又一匚，点C在双曲线E上：
（右1 +丙）1亍（砂1十儿）n护（可-刃1 ） + 2加］也-10妙+ （也-5y2 ）
=，
又联立直线L和双曲线E方程消去y得:
由韦达定理得:
5c2 +a
4~
?
yxy2 =會一己（為+也）+¥二尤J
7 1
代入①式得： 8.
a1 --- 加2 +a2 = a2 =＞冕二 0
或入 =-4。
解：（1 ）设C的标准方程为
（a，b>0），
则由题意
因此a=2，
C的标准方程为
y = ±-x 2 C的渐近线方程为
即 x-2y=0 和 x+2y=0。
(2)如图，由题意点 E (XE, yE)在直线 li: xix+4y iy=4 和 12： x2x+4y 2y=4 上, 因此有 xiXE+4y iy E=4 , X2XE+4y 2yE=4 , 故点M , N均在直线XEx+4y Ey=4上， 因此直线MN的方程为XEx+4y Ey=4
设G, H分别是直线 MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点,
fxjx^4yjy = 4 x-2y = 0
由方程组
\\sx+4ysy = 4 x + 2y= 0,
矗顾M ---- — ---------
12
亠亠、
2
心 + 2ys 心-2ys 可 + 故
~A~
~ y =1
因为点E在双曲线•
•
oE>dfi>
J2
2 = 3
所以—
'■■■-■■■;
。上，有*
2ys xs - 2yF 氐一4必
— 4 v3 =4
- r _
