陕西省西安市第八十三中2012届高三数学第二次模拟考试题 理

西安市第八十三中学2012届高三年级第二次模拟考试试卷

理科数学

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.设集合A＝B＝{(x,y)xR,yR}，从A到B的映射f:(x,y)(x2y,2xy)，则在映射f下B中的元素（1，1）对应的A中元素为（ ）

31552.已知p:x2x30，q:x3，则p是q的（ ）

A.（3，1） B.（1，1） C.(,) D.(,)

1122A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3.已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则

A．2； B．2

C．1 2m等于（ ） n1D．

24.设等差数列an的前n项和为Sn,若a111,a3a76,则当Sn取最小值时,n等于（ ）

A．9 B．8

C．7

D．6

5.设b、c表示两条直线，、表示两个平面，下列命题中真命题是（ ） A．若b,c//则b//c, B．若b,b//c,则c//

C．若c//,，则c

D．若c//,c，则

6.定义在R上的函数f(x)满足(x2)f(x)0,又af(log13)，

21bf(()0.3),cf(ln3), 则 ( )

3 A.cba B. bca C. cab D. abc

用心 爱心 专心 1

y2x21的一个焦点重合，则该抛物线的7．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线

54标准方程可能是 ( )

A．x = 4y B．x= – 4y C．y = –12x D．x = –12y 8.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数 yAsin(x)b．则中午12点时最接近的温度为：( )

A．26C B．27C C．28C D．29C

9.过点（0，1）且与曲线yx1在点（3，2）处的切线垂直的直线的方程为( ) x12

2

2

2

A．2xy10 B．2xy10 C．x2y20 D．x2y20

10. 已知R上的不间断函数g(x) 满足：①当x0时，g(x)0恒成立；②对任意的

xR都有g(x)g(x)。又函数f(x) 满足：对任意的xR，都有

f(3x)f(x)成立，当x[0,3]时，f(x)x33x。若关于x的不等式g[f(x)]g(a2a2)对x[3,3]恒成立，则a的取值范围( )

A.a0或a1 B. 0a1 C. 1a1 D. aR

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分,把答案填在答题卡相应的横线上）

11.在△ABC中，B=

，且BABC43,则△ABC的面积是____ 3212.已知函数f（x）=3x+2x+1，若

11f(x)dx2f(a)成立，则a=

2xy0113.已知x3y50，则()xy2的最大值是__________；

2y1

14. 已知直线l1:4x3y60和直线l2:x0，抛物线y4x上一动点P到直线l1和

用心 爱心 专心

2

2

直线l2的距离之和的最小值是 . 15．数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：

112123123412n1,,,,,,,,,,,,,,,有如下运算和结论： 2334445555nnn3①a24;②数列a1,a2a3,a4a5a6,a7a8a9a10,是等比数列；

8

n2n; ③数列a1,a2a3,a4a5a6,a7a8a9a10,的前n项和为Tn4④若存在正整数k，使Sk10,Sk110,则ak

5. 7

其中正确的结论有 .（将你认为正确的结论序号都填上）

三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16.（本小题满分12分）

已知集合Ax2x5，Bxm1x2m1. （1）当m=3时，求集合AB，AB； （2）若BA，求实数m的取值范围。

17.（本小题满分12分）

xxxxxx已知AC＝(cos＋sin，－sin)，BC＝(cos－sin，2cos).

2

2

2

2

2

2

 (1)设f(x)＝AC·BC，求f(x)的最小正周期和单调递减区间；

ππ(2)设有不相等的两个实数x1，x2∈－，，且f(x1)＝f(x2)＝1，求x1＋x2的值. 22

18. （本小题满分12分）

如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，

CBSDAD,且SDAB,AD1, AB2，SD3.

（1）求证：CD平面ADS;

（2）求AD与SB所成角的余弦值; （3）求二面角A—SB—D的余弦值．

用心 爱心 专心

DAS第18题

3

19. （本小题满分12分）

已知单调递增的等比数列an满足：a2a3a428，且a32是a2和a4的等差中项．

(1) 求数列an的通项公式an；

(2) 令bnanlog1an，Snb1b2bn，求使Snn2n150成立的最小的

2正整数n．

20. （本小题满分13分）

13x2y2已知椭圆C： 221 (a＞b＞0)的离心率为，且经过点P(1，)。

2 2 ab(1)求椭圆C的方程；

(2)设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M。问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点?

(3)设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值。 21. （本小题满分14分） 已知函数f(x)lnx12ax(a1)x（aR且a0）. 2（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）记函数yF(x)的图象为曲线C.设点A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线C上的不同两点.

如果在曲线C上存在点M(x0,y0)，使得：①x0x1x2；②曲线C在点M处的切2线平行于直线AB，则称函数F(x)存在“中值相依切线”. 试问：函数f(x)是否存在“中值相依切线”，请说明理由.

西安市第八十三中学2012届高三年级第二次模拟考试试卷

理科数学答案

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 答案

用心 爱心 专心

4

1 C 2 A 3 C 4 D 5 D 6 A 7 D 8 B 9 A 10 A

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分,把答案填在答题卡相应的横线上） 11.6 12．

1, 1 13. 8 3 14．1 15．①③④

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分12分）

已知集合Ax2x5，Bxm1x2m1. （1）当m=3时，求集合AB，AB； （2）若BA，求实数m的取值范围。

解：（1）当m=3时，A=｛x|2x5｝，B=｛x|4x5｝„„„.1分 ∴AB=｛x|4x5｝，„„„„„3分

AB=｛x|2x5｝„„„„„.5分

（2）当B=即m+1>2m-1时 m<2适合条件BA„„„„„7分

m2 当B时 由 m12 得2m3„„„„„„11分

2m15 综上可得：若BA则实数m的取值范围（－，3】„„„„„12分

17.(本小题满分12分)

xxxxxx已知AC＝(cos＋sin，－sin)，BC＝(cos－sin，2cos). 2

2

2

2

2

2

 (1)设f(x)＝AC ·BC，求f(x)的最小正周期和单调递减区间；

ππ(2)设有不相等的两个实数x1，x2∈－，，且f(x1)＝f(x2)＝1，求x1＋x2的值. 22

解：(1)由f(x)＝AC·BC得

用心 爱心 专心

5

xxxxxxf(x)＝(cos＋sin)·(cos－sin)＋(－sin)·2cos

2

2

2

2

2

2

xxπ2x2x＝cos－sin－2sincos＝cosx－sinx＝2cos(x＋)，..................4

22224

分

所以f(x)的最小正周期T＝2π..................6分 π

又由2kπ≤x＋≤π＋2kπ，k∈Z，

4π3π

得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.

44

π3π

故f(x)的单调递减区间是[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) „„„„„..8分

44ππ2

(2)由f(x)＝1得2cos(x＋)＝1，故cos(x＋)＝ „„„10分

442ππ3πππ又x∈－，，于是有x＋∈－，π，得x1＝0，x2＝－， 444222π

所以x1＋x2＝－ „„„.12分

2

18. （本小题满分12分）

如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形， SDAD,且SDAB,AD1, AB2，SD3. （1）求证：CD平面ADS;

（2）求AD与SB所成角的余弦值; （3）求二面角A—SB—D的余弦值．

源:.com] 解：（1）ABCD是矩形，CDAD

又SDAB,AB//CD,则CDSD

ADS第17题

DCBASDD  CD平面ADS --------3分 用心 爱心 专心

zC （2）DA、DC、DS两两互相垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系

6 BD

S(3,0,0),A(0,1,0),B(0,1,2),C(0,0,2),D(0,0,0)

AD(0,1,0),SB(3,1,2) --------5分

cosAD,SBADSB|AD||SB|2 ---------7分 4

AD与SB所成的角的余弦为

2. ---------8分 4

（3）DS(3,0,0),DB(0,1,2)设面SBD的一个法向量为n(x,y,z)

3x0nDS0取n(0,2,1), --------9分 y2z0nDB6∴设面DAB的一个法向量为m(x,y,z)

又AB(0,0,2),SA(3,1,0)

所以所求的二面角的余弦为19. （本小题满分12分）

已知单调递增的等比数列an满足：a2a3a428，且a32是a2和a4的等差中项．

(1) 求数列an的通项公式an；

(2) 令bnanlog1an，Snb1b2bn，求使Snn2215 5 ----------12分

n150成立的最小的正

整数n．

用心 爱心 专心

7

解：(1) 设an的公比为q，由已知，得

a1q28a2a3a428a38a12， 3q22(a2)aaaa2024423a1qa1q20∴ ana1qn12n； --------------5

分

(2) bn2log12n2，

2nnn 设 Tn12222323n2n „„„„„„„„„ ① 则 2Tn∴

--------------10

故 Snn2n150 ∴ (n1)2n12n2n150，

226， ∴ 满足不等式的最小的正整数n为5． -----12分 20. （本小题满分13分）

n122223(n1)2nn2n1 „„„ ②

①－② 得 Tn(2222n)n2n1(n1)2n12

SnTn(n1)2n12

x2y213

已知椭圆C：2+2=1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P(1，)。

a b 2 2

(1)求椭圆C的方程；

(2)设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M。问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点?

(3)设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值。

x2y213

解：(1)∵椭圆2+2=1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P(1，)，

a b 2 2

∴19

+a4b2

a2-b2 1

= a 2

23a-4b=0a=4

9，即 1，解得 2，

b=32+2=1a4b 2=122

∴椭圆C的方程为x2y2

4+3

=1。„„„„ 5分

22

0 0

(2)易求得F(1，0)。设M(x0，y0)，则2

2

x2

4

+y 2

3

=1，

圆M的方程为(x-x0)+(y-y0)=(1-x0)+y0，

2

2

令x=0，化简得y-2y0y+2x0-1=0，⊿=4y0-4(2x0-1)＞0„„①。

用心 爱心 专心

8

2

将y0=3(1-

2

0

x2

4

)代入①，得3x0+8x0-16＜0，解出 -4＜x0＜

2

4

..........10分 3

(3)设D(0，y1)，E(0，y2)，其中y1＜y2。由(2)，得

DE= y2- y1=4y02-4(2x0-1) =-3x02-8x0+16 =当x0=--3(x0+42)+ ， 3 3

483

时，DE的最大值为........................ 13分 3 2

21. （本小题满分14分）

已知函数f(x)lnx12ax(a1)x（aR且a0）. 2（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）记函数yF(x)的图象为曲线C.设点A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线C上的不同两

点.如果在曲线C上存在点M(x0,y0)，使得：①x0x1x2；②曲线C在点M处2的切线平行于直线AB，则称函数F(x)存在“中值相依切线”. 试问：函数f(x)是否存在“中值相依切线”，请说明理由.

解：(Ⅰ)显然函数f(x)的定义域是(0,). „„„„1分

1a(x1)(x)1a. „„„„2分 由已知得，f'(x)axa1xx ⑴当a0时, 令f'(x)0,解得0x1; 令f'(x)0,解得x1.

所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减. „„3分

111时，即a1时, 令f'(x)0,解得0x或x1; aa1 令f'(x)0,解得x1.

a11 所以，函数f(x)在(0,)和(1,)上单调递增,在(,1)上单调递减; „„4分

aa1 ②当1时，即a1时, 显然，函数f(x)在(0,)上单调递增； „„„5分

a ⑵当a0时， ①当9

用心 爱心 专心

③当111时，即1a0时, 令f'(x)0,解得0x1或x; 令aa111f'(x)0,解得1x.所以，函数f(x)在(0,1)和(,)上单调递增,在(1,)aaa上单调递减. „

综上所述，⑴当a0时,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减； ⑵当a1时,函数f(x)在(0,)和(1,)上单调递增,在( ⑶当a1时,函数f(x)在(0,)上单调递增； ⑷当1a0时,函数f(x)在(0,1)和(减. „7分

(Ⅱ)假设函数f(x)存在“中值相依切线”.

设A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线yf(x)上的不同两点，且0x1x2， 则y1lnx11a1,1)上单调递减； a11,)上单调递增,在(1,)上单调递aa121ax1(a1)x1，y2lnx2ax22(a1)x2. 22 kAB1(lnx2lnx1)a(x22x12)(a1)(x2x1)yy221

x2x1x2x1 分

lnx2lnx11a(x1x2)(a1) „„„„8

x2x12曲线在点M(x0,y0)处的切线斜率

kf(x0)f(x1x2xx2)a12(a1)， „„„„9分 2x1x22 依题意得：

lnx2lnx11xx2a(x1x2)(a1)a12(a1).

x2x12x1x22lnx2lnx12，

x2x1x1x2用心 爱心 专心

10

化简可得：

即lnx22(x2x1)=

x1x2x12(x21)x1. „„„„11分

x21x1 设

2(t1)4x22t (t1)，上式化为：lnt, t1t1x142. „„„„12分 t1 即lnt414(t1)2 令g(t)lnt,g'(t). 22t1t(t1)t(t1) 因为t1,显然g'(t)0，所以g(t)在(1,)上递增, 显然有g(t)2恒成立. 所以在(1,)内不存在t,使得lnt42成立. t1 综上所述，假设不成立.所以，函数f(x)不存在“中值相依切线”. „„„„„14分

用心 爱心 专心 11