陕西省西安八十三中2016-2017学年高二(下)期中数学试卷(理科)

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．复数z=﹣2+i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．n个连续自然数按规律排成表：

根据规律，从2016到2018，箭头的方向依次为（ ） A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓

3．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ） A．﹣1＜a＜2

B．﹣3＜a＜6

2

C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2

4．由直线x=1，x=2，曲线y=x及x轴所围图形的面积为（ ） A．3

B．7

C．

D．

5．已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（ ）

A． B． C．

D．

第1页

6．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x+y能被x+y整除”，在第二步时，正确的证法是（ ）

A．假设n=k（k↔N*），证明n=k+1命题成立 B．假设n=k（k为正奇数），证明n=k+1命题成立 C．假设n=2k+1（k↔N），证明n=k+1命题成立 D．假设n=k（k为正奇数），证明n=k+2命题成立

7．观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（ ） A．﹣g（x） B．f（x） C．﹣f（x） D．g（x） 8．函数f（x）=3x﹣4x3（x↔[0，1]）的最大值是（ ） A．1

B．

C．0

D．﹣1

*

nn

9．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是（ ） A．

B．2

C．3

D．0

10．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则A．3

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案写在答题卡相应位置） 11．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V= ．

12．已知函数f（x）=x+ax+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切，则函数f（x）的表达式为 ． 13．下列是关于复数的类比推理：

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； ②由实数绝对值的性质|x|2=x2类比得到复数z的性质|z|2=z2；

③已知a，b↔R，若a﹣b＞0，则a＞b．类比得已知z1，z2↔C，若z1﹣z2＞0，则z1＞z2； ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．

3

2

的最小值为（ ） C．2

D．

B．

第2页

其中推理结论正确的是 ． 14．

= ．

15．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是 ．

第1行 第2行 第3行 „

三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分．请将答案写在答题卡相应位置） 16．已知复数z=m（m﹣1）+（m+2m﹣3）i；当实数m取什么值时，复数z是： （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 （4）零．

17．已知函数f（x）=x﹣ax﹣3x．

（1）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围． （2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间及极值．

18．已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点． 19．已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e（1）求f（x）的解析式及单调区间； （2）若

，求（a+1）b的最大值．

x﹣1

3

2

2

第1列 1 2 3 „ 第2列 2 4 6 „ 第3列 3 6 9 „ „ „ „ „ „ ﹣f（0）x+x；

2

2016-2017学年陕西省西安八十三中高二（下）期中数学试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有

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一项是符合题目要求的．）

1．复数z=﹣2+i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．

【分析】本题考查复数代数表示的几何意义，由几何意义找出复数z=﹣2+i对应的点的坐标，即可选出正确答案

【解答】解：由复数的几何意义知复数z=﹣2+i对应的复平面中的点的坐标是（﹣2，1），是第二象限中的点 故选B

2．n个连续自然数按规律排成表：

根据规律，从2016到2018，箭头的方向依次为（ ） A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓ 【考点】F1：归纳推理．

【分析】由题意，图中数字所处的位置呈周期性变化，可以观察出位置变化以4为周期，可选定1为开始位置，由周期性即可计算出2016所处的位置，即可选出正确选项 【解答】解：选定1作为起始点，由图看出，位置变化规律是以4为周期，

由于2016=4×504，可知第2016个数和4的位置相同，所以从2016到2018，箭头方向依次是↓→ 故选：A

3．已知函数f（x）=x+ax+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ） A．﹣1＜a＜2

B．﹣3＜a＜6

C．a＜﹣3或a＞6

D．a＜﹣1或a＞2

3

2

【考点】6D：利用导数研究函数的极值．

【分析】题目中条件：“函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决． 【解答】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1， 有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．

第4页

若f（x）有极大值和极小值， 则△=4a2﹣12（a+6）＞0， 从而有a＞6或a＜﹣3， 故选C．

4．由直线x=1，x=2，曲线y=x及x轴所围图形的面积为（ ） A．3

B．7

C．

D．

2

【考点】6G：定积分在求面积中的应用．

【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可． 【解答】解：先根据题意画出图形，

曲线y=x2，直线x=1，x=2及 x轴所围成的曲边梯形的面积为： S=∫1（x）dx 而∫12（x2）dx=（

）|12=﹣=

2

2

∴曲边梯形的面积是 故选C．

5．已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（ ）

第5页

A． B． C．

D．

【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．

【分析】通过观察函数y=xf′（x）的图象即可判断f′（x）的符号以及对应的x的所在区间，从而判断出函数f（x）的单调性及单调区间，所以观察选项中的图象，找出符合条件的即可．

【解答】解：由图象看出，﹣1＜x＜0，和x＞1时xf′（x）＞0；x≤﹣1，和0≤x≤1时xf′（x）≤0；

∴﹣1＜x≤1时，f′（x）≤0；x＞1，或x≤﹣1时，f′（x）≥0； ∴f（x）在（﹣1，1]上单调递减，在（﹣∞，﹣1]，（1，+∞）上单调递增； ∴f（x）的大致图象应是B． 故选B．

6．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x+y能被x+y整除”，在第二步时，正确的证法是（ ）

A．假设n=k（k↔N），证明n=k+1命题成立 B．假设n=k（k为正奇数），证明n=k+1命题成立 C．假设n=2k+1（k↔N*），证明n=k+1命题成立 D．假设n=k（k为正奇数），证明n=k+2命题成立 【考点】RG：数学归纳法．

*

n

n

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【分析】根据数学归纳法证明数学命题的步骤，在第二步，假设 n=k时，命题成立，在此基础上推证n=k+2时，命题也成立．

【解答】解：由于相邻的两个奇数相差2，根据数学归纳法证明数学命题的步骤，在第二步时，假设n=k（k为正奇数）时，

x+y能被x+y整除，证明n=k+2时，x+y 也能被x+y整除， 故选D．

7．观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（ ） A．﹣g（x） B．f（x） C．﹣f（x） D．g（x） 【考点】F1：归纳推理．

【分析】由已知中（x）'=2x，（x）'=4x，（cosx）'=﹣sinx，„分析其规律，我们可以归纳推断出，偶函数的导函数为奇函数，再结合函数奇偶性的性质，即可得到答案． 【解答】解：由（x2）'=2x中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； （x）'=4x中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； （cosx）'=﹣sinx中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； „

我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数． 若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x）， 则函数f（x）为偶函数，

又∵g（x）为f（x）的导函数，则g（x）奇函数 故g（﹣x）+g（x）=0，即g（﹣x）=﹣g（x）， 故选A．

8．函数f（x）=3x﹣4x（x↔[0，1]）的最大值是（ ） A．1

B．

C．0

D．﹣1

3

4

3

2

4

3

n

n

n

n

【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】先求导数，根据函数的单调性研究出函数的极值点，连续函数f（x）在区间（0，1）内只有一个极值，那么极大值就是最大值，从而求出所求．

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【解答】解：f'（x）=3﹣12x=3（1﹣2x）（1+2x） 令f'（x）=0，解得：x=或

（舍去）

2

当x↔（0，）时，f'（x）＞0，当x↔（，1）时，f'（x）＜0， ∴当x=时f（x）（x↔[0，1]）的最大值是f（）=1 故选A．

9．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是（ ） A．

B．2

C．3

D．0

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】设与曲线y=ln（2x﹣1）相切且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程为：2x﹣y+m=0，设切点为（x0，y0），利用导数的几何意义可求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出．

【解答】解：y=ln（2x﹣1）的导函数为y′=

，

设与曲线y=ln（2x﹣1）相切且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程为：2x﹣y+m=0， 设切点为（x0，y0） ∴

=2，解得x0=1，

∴y0=ln（2x0﹣1）=ln1=0， ∴切点为（1，0）

∴切点（1，0）到直线2x﹣y+3=0的距离为

=

．

．

即曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是故选：A．

10．已知二次函数f（x）=ax+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则A．3

B．

的最小值为（ ） C．2

D．

2

【考点】63：导数的运算．

【分析】先求导，由f′（0）＞0可得b＞0，因为对于任意实数x都有f（x）≥0，所以结

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合二次函数的图象可得a＞0且b﹣4ac≤0，又因为不等式即可求解．

【解答】解：∵f'（x）=2ax+b， ∴f'（0）=b＞0；

∵对于任意实数x都有f（x）≥0， ∴a＞0且b2﹣4ac≤0， ∴b2≤4ac， ∴c＞0； ∴

当a=c时取等号． 故选C．

，

2

，利用均值

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案写在答题卡相应位置） 11．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V=

R（S1+S2+S3+S4） ．

【考点】F3：类比推理；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．

【解答】解：设四面体的内切球的球心为O， 则球心O到四个面的距离都是R， 所以四面体的体积等于以O为顶点， 分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 故答案为： R（S1+S2+S3+S4）．

12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切，则函数f（x）的表达式为 f（x）=x3+x2﹣8x+6 ．

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【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6C：函数在某点取得极值的条件． 【分析】求出f′（x），由函数在x=﹣2处取得极值得到f′（﹣2）=0，又∵函数与直线在点 （1，0 ）处相切，∴f′（1）=﹣3，联立两个关于a、b的二元一次方程，求出a和b，又由函数过点（1，0），代入求出c的值，则函数f（x）的表达式可求． 【解答】解：∵f′（x）=3x+2ax+b， ∴f′（﹣2）=3×（﹣2）+2a×（﹣2）+b=0， 化简得：12﹣4a+b=0 ① 又f′（1）=3+2a+b=﹣3 ② 联立①②得：a=1，b=﹣8 又f（x）过点（1，0） ∴1+a×1+b×1+c=0，∴c=6． ∴f（x）=x+x﹣8x+6． 故答案为：f（x）=x+x﹣8x+6．

13．下列是关于复数的类比推理：

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； ②由实数绝对值的性质|x|=x类比得到复数z的性质|z|=z；

③已知a，b↔R，若a﹣b＞0，则a＞b．类比得已知z1，z2↔C，若z1﹣z2＞0，则z1＞z2； ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义． 其中推理结论正确的是 ①④ ． 【考点】F3：类比推理．

【分析】复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则，由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，但是向量的模长和复数的模长不是通过列举法得到，还有两个复数不能比较大小．

【解答】解：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则，①正确 由实数绝对值的性质|x|=x类比得到复数z的性质|z|=z， 这两个长度的求法不是通过类比得到的．故②不正确，

对于③：已知z1，z2↔C，若z1﹣z2＞0，则z1＞z2；因两个复数不能比较大小，故③错； 由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．故④正确． 故答案为：①④

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

3

2

3

2

2

2

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14．

=

．

【考点】67：定积分．

【分析】利用定积分的运算法则，找出被积函数的原函数，同时注意取绝对值符号简化计算． 【

解

答

】

解

=8﹣+9﹣12﹣+8 =

：

故答案为：

15．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是 n+n ．

第1行 第2行 第3行 „ 第1列 1 2 3 „ 第2列 2 4 6 „ 第3列 3 6 9 „ „ „ „ „ „ 2

【考点】83：等差数列；84：等差数列的通项公式．

【分析】由表格可以看出第n行第一列的数为n，观察得第n行的公差为n，这样可以写出各行的通项公式，本题要的是第n行第n+1列的数字，写出通项求出即可． 【解答】解：由表格可以看出第n行第一列的数为n， 观察得第n行的公差为n，

∴第n0行的通项公式为an=n0+（n﹣1）n0， ∵为第n+1列， ∴可得答案为n2+n． 故答案为：n2+n

三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分．请将答案写在答题卡相应位置）

第11页

16．已知复数z=m（m﹣1）+（m+2m﹣3）i；当实数m取什么值时，复数z是： （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 （4）零．

【考点】A2：复数的基本概念．

【分析】对于复数z=a+bi （a，b↔R），（1）当且仅当虚部为0时是实数；（2）虚部不为0时是虚数；（3）当且仅当a=0，b≠0时，复数z是纯虚数；（4）当且仅当a=b=0时，复数z=0．

【解答】解：（1）当且仅当m2+2m﹣3=0， 解得：m=3或m=﹣1，

即m=3或m=﹣1时复数是实数； （2）当且仅当m+2m﹣3≠0， 解得：m≠3且m≠﹣1，

即m≠3且m≠﹣1时复数是虚数； （3）当且仅当解得m=0，

即m=0时，复数z=﹣3i为纯虚数； （4）当且仅当解得m=1，

即m=1时，复数z=0．

17．已知函数f（x）=x﹣ax﹣3x．

（1）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围． （2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间及极值．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．

【分析】（1）对函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x进行求导，转化成f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，求出参数a的取值范围．

3

2

2

2

，

，

第12页

（2）先求导，再根据f′（3）=0，求得a=5，再根据导数求出函数极值即可． 【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣2ax﹣3， ∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，

∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0， 即3x﹣2ax﹣3≥0在[1，+∞）上恒成立． 则必有≤1且f′（1）=﹣2a≥0， ∴a≤0；

实数a的取值范围是（﹣∞，0]． （2）∵f（x）=x﹣ax+3x． ∴f′（x）=3x﹣2ax+3． 由题意有f′（3）=0，解得a=5， 故f（x）=x3﹣5x2+3x，

∴f′（x）=3x﹣10x+3=（3x﹣1）（x﹣3） 令 f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜， 令f′（x）＜0，解得：＜x＜3，

故f（x）在（﹣∞，）递增，在（，3）递减，在（3，+∞）递增， 故f（x）极大值=f（）=

18．已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点． 【考点】FD：反证法的应用．

【分析】本题是一个至少性问题，可以利用反证法证明，其步骤为：①否定命题的结论，即假设“任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点”成立→②根据函数的性质可以得到三个函数对应方程的△≤0均成立→③利用不等式的性质，同向不等式求和→④得到的式子与实数的性质相矛盾→⑤故假设不成立，原结论成立．

【解答】解：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x有两个不同的交点 （即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点），

由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b得△1=（2b）2﹣4ac≤0，

，f（x）极小值=f（3）=﹣9．

22

3

2

2

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△2=（2c）﹣4ab≤0， △3=（2a）2﹣4bc≤0． 同向不等式求和得，

4b+4c+4a﹣4ac﹣4ab﹣4bc≤0， ∴2a+2b+2c﹣2ab﹣2bc﹣2ac≤0， ∴（a﹣b）+（b﹣c）+（c﹣a）≤0， ∴a=b=c，这与题设a，b，c互不相等矛盾， 因此假设不成立，从而命题得证．

19．已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e（1）求f（x）的解析式及单调区间； （2）若

，求（a+1）b的最大值．

x﹣1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

﹣f（0）x+x；

2

【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间； （2）由题意

，借助导数求出新函数的最小

值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b的最大值 【解答】解：（1）f（x）=f'（1）ex﹣1﹣f（0）x+令x=1得：f（0）=1 ∴f（x）=f'（1）e

x﹣1

⇒f'（x）=f'（1）ex﹣1﹣f（0）+x

﹣x+令x=0，得f（0）=f'（1）e=1解得f'（1）=e

﹣1

故函数的解析式为f（x）=ex﹣x+令g（x）=f'（x）=e﹣1+x

x

∴g'（x）=e+1＞0，由此知y=g（x）在x↔R上单调递增 当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有 f'（x）＜f'（0）=0得： 函数f（x）=ex﹣x+（2）f（x）≥

的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）

﹣（a+1）x﹣b≥0得h′（x）=ex﹣（a+1）

第14页

x

①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x↔R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾

②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）

得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b

∴（a+1）b≤（a+1）﹣（a+1）ln（a+1），（a+1＞0） 令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx） ∴F'（x）＞0⇔0＜x＜当x=即当a=

时，F（x）max=

时，（a+1）b的最大值为

2

2

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