2021-2022学年北京市西城区八年级(上)期末数学试题及答案解析

2021-2022学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷

1. 下列图案中，可以看成轴对称图形的是( )

A. B.

C.

D.

2. 下列运算中，结果正确的是( )

A. (𝑎2)3=𝑎5 B. (3𝑎)2=6𝑎2 C. 𝑎6÷𝑎2=𝑎3 D. 𝑎2⋅𝑎3=𝑎5

3. 在△𝐴𝐵𝐶中，作出𝐴𝐶边上的高，正确的是( )

A.

B.

C.

D.

𝐵𝐶=𝐷𝐶.将点𝐴放在一个角的顶点，𝐴𝐵和𝐴𝐷沿4. 如图是一个平分角的仪器，其中𝐴𝐵=𝐴𝐷，着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线𝐴𝐶是这个角的平分线，这里判定△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐶是全等三角形的依据是( )

A. 𝑆𝑆𝑆 B. 𝐴𝑆𝐴 C. 𝑆𝐴𝑆 D. 𝐴𝐴𝑆

5. 下列分式中，从左到右变形错误的是( )

A. 4𝑐=4 C. 𝑎−𝑏=−𝑏−𝑎

1

1

𝑐1

B. 𝑎+𝑏=𝑎+𝑏 D.

𝑎2−4𝑎2+4𝑎+4𝑎−2=𝑎+2 111

6. 已知三条线段的长分别是4，4，𝑚，若它们能构成三角形，则整数𝑚的最大值是( )

A. 10 B. 8 C. 7

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D. 4

7. 某校八年级一班计划安排一次以“迎冬奥”为主题的知识竞赛，班主任王老师打算到某文具店购买一些笔记本作为竞赛用的奖品．目前该文具店正在搞优惠酬宾活动：购买同样的笔记本，当花费超过20元时，每本便宜1元．已知王老师花费24元比花费20元多买了2本笔记本，求他花费24元买了多少本笔记本．设他花费24元买了𝑥本笔记本，根据题意可列方程( )

A.

2420

−𝑥𝑥−2

=1

B. 𝑥−2−

24

20

𝑥

=1

C. 𝑥−2−

20

24𝑥

=1

D. 𝑥+2−

20

24𝑥

=1

8. 在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝐴(0,2)，𝐵(𝑎,0)，𝐶(𝑚,𝑛)(𝑛>0).若△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，且𝐴𝐵=𝐵𝐶，当0<𝑎<1时，点𝐶的横坐标𝑚的取值范围是( )

A. 0<𝑚<2 B. 2<𝑚<3 C. 𝑚<3 D. 𝑚>3

9. 计算：(1)2−1= ；(2)(𝜋−1)0= ． 10. 若分式

1

有意义，则𝑥的取值范围为 ． 𝑥−2

11. 若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 边形． 12. 计算：2𝑎𝑏(3𝑎2−5𝑏)= ．

13. 若𝑎2+𝑘𝑎+9是一个完全平方式，则常数𝑘= ．

14. 如图1，将一个长为2𝑎，宽为2𝑏的长方形沿图中虚线剪开分成四个完全相同的小长方形，然后将这四个完全相同的小长方形拼成一个正方形(如图2).设图2中的大正方形面积为𝑆1，小正方形面积为𝑆2，则𝑆1−𝑆2的结果是 (用含𝑎，𝑏的式子表示)．

15. 如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝐴(2,0)，𝐵(4,2)，若点𝑃在𝑥轴下方，且以𝑂，𝐴，𝑃为顶点的三角形与△𝑂𝐴𝐵全等，则满足条件的𝑃点的坐标是 ．

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16. 如图，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐵=30°，𝐴𝐶=2.𝐷为𝐵𝐶上一动点，连接𝐴𝐷，𝐴𝐷的垂直平分线分别交𝐴𝐶，𝐴𝐵于点𝐸，𝐹，则线段𝐵𝐹长的最大值是 ．

17. 分解因式： (1)3𝑎2−6𝑎𝑏+3𝑏2； (2)𝑥2(𝑚−2)+𝑦2(2−𝑚)． 18. (1)计算：(𝑥−8𝑦)(𝑥+𝑦)；

2

(2)先化简，再求值：(𝑎+1−3)÷2𝑎−4，其中𝑎=−3．

𝑎−1𝑎−2𝑎+1

19. 解方程：

𝑥−12

−2𝑥+1𝑥−1

=1．

20. 如图，点𝐴，𝐵，𝐶，𝐷在一条直线上，𝐴𝐸//𝐷𝐹，𝐴𝐸=𝐷𝐹，𝐴𝐵=𝐶𝐷．

(1)求证：△𝐴𝐸𝐶≌△𝐷𝐹𝐵．

(2)若∠𝐴=40°，∠𝐸𝐶𝐷=145°，求∠𝐹的度数．

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21. 如图，8×12的长方形网格中，网格线的交点叫做格点，点𝐴，𝐵，𝐶都是格点．请按要求解答下列问题：

平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝐴，𝐵的坐标分别是(−3,1)，(−1,4)， (1)①请在图中画出平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦；

②点𝐶的坐标是______，点𝐶关于𝑥轴的对称点𝐶1的坐标是______． (2)设𝑙是过点𝐶且平行于𝑦轴的直线，

①点𝐴关于直线𝑙的对称点𝐴1的坐标是______；

②在直线𝑙上找一点𝑃，使𝑃𝐴+𝑃𝐵最小，在图中标出此时点𝑃的位置；

𝑛的式子直接写出点𝑄关于直线𝑙的对称点𝑄1的坐标(用含𝑚，③若𝑄(𝑚,𝑛)为网格中任一格点，表示)．

22. 已知：如图1，线段𝑎，𝑏(𝑎>𝑏)．

(1)求作：等腰△𝐴𝐵𝐶，使得它的底边长为𝑏，底边上的高的长为𝑎． 作法：①作线段𝐴𝐵=𝑏．

②作线段𝐴𝐵的垂直平分线𝑀𝑁，与𝐴𝐵相交于点𝐷． ③在𝑀𝑁上取一点𝐶，使𝐷𝐶=𝑎．

④连接𝐴𝐶，𝐵𝐶，则△𝐴𝐵𝐶就是所求作的等腰三角形． 用直尺和圆规在图2中补全图形(要求：保留作图痕迹)；

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(2)求作：𝑏中一条线段的长，等腰△𝑃𝐸𝐹，使得它的腰长为线段𝑎，底边上的高的长为线段𝑎，𝑏中另一条线段的长．

作法：①作直线𝑙，在直线𝑙上取一点𝐺． ②过点𝐺作直线𝑙的垂线𝐺𝐻． ③在𝐺𝐻上取一点𝑃，使𝑃𝐺=______．

④以𝑃为圆心，以______的长为半径画弧，与直线𝑙分别相交于点𝐸，𝐹． ⑤连接𝑃𝐸，𝑃𝐹，则△𝑃𝐸𝐹就是所求作的等腰三角形．

请补全作法，并用直尺和圆规在图3中补全图形(要求：保留作图痕迹)．

23. (1)如果(𝑥−3)(𝑥+2)=𝑥2+𝑚𝑥+𝑛，那么𝑚的值是______，𝑛的值是______； (2)如果(𝑥+𝑎)(𝑥+𝑏)=𝑥2−2𝑥+， ①求(𝑎−2)(𝑏−2)的值； ②求𝑎2+

1

1𝑏

21

2

+1的值．

24. 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=120°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，点𝐸是射线𝐴𝐷上一动点，连接𝐶𝐸，作∠𝐶𝐸𝑀=60°，射线𝐸𝑀与射线𝐵𝐴交于点𝐹． (1)如图1，当点𝐸与点𝐷重合时，求证：𝐴𝐵=2𝐴𝐹； (2)如图2，当点𝐸在线段𝐴𝐷上，且与点𝐴，𝐷不重合时， ①依题意，补全图形；

②用等式表示线段𝐴𝐵，𝐴𝐹，𝐴𝐸之间的数量关系，并证明．

(3)当点𝐸在线段𝐴𝐷的延长线上，且𝐸𝐷≠𝐴𝐷时，直接写出用等式表示的线段𝐴𝐵，𝐴𝐹，𝐴𝐸之间的数量关系．

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25. 观察下列等式： ①1−1−=−②−−=−

11411711812

13

14121

； 1×21

； 3×41

③3−5−6=−5×6； ④−−=−

1

； 7×8…

根据上述规律回答下列问题： (1)第⑤个等式是______；

(2)第𝑛个等式是______(用含𝑛的式子表示，𝑛为正整数)．

26. 对于面积为𝑆的三角形和直线𝑙，将该三角形沿直线𝑙折叠，重合部分的图形面积记为𝑆0，定

0义𝑆−𝑆为该三角形关于直线𝑙的对称度．

0

𝑆

如图，将面积为𝑆的△𝐴𝐵𝐶沿直线𝑙折叠，重合部分的图形为△𝐶′𝐷𝐸，将△𝐶′𝐷𝐸的面积记为𝑆0，

0则称𝑆−𝑆为△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑙的对称度．

0

𝑆

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在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝐴(0,3)，𝐵(−3,0)，𝐶(3,0)． (1)过点𝑀(𝑚,0)作垂直于𝑥轴的直线𝑙1，

①当𝑚=1时，△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑙1的对称度的值是______； ②若△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑙1的对称度为1，则𝑚的值是______．

(2)过点𝑁(0,𝑛)作垂直于𝑦轴的直线𝑙2，求△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑙2的对称度的最大值．

(3)点𝑃(−4,0)满足𝐴𝑃=5，点𝑄的坐标为(𝑡,0)，若存在直线，使得△𝐴𝑃𝑄关于该直线的对称度为1，写出所有满足题意的整数𝑡的值．

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答案和解析

1.【答案】𝐵

【解析】解：选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形，

选项A、𝐶、𝐷的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 故选：𝐵．

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合．

2.【答案】𝐷

【解析】解：𝐴.(𝑎2)3=𝑎6，不等于右边，故此选项不合题意； B.(3𝑎)2=9𝑎2，不等于右边，故此选项不合题意； C.𝑎6÷𝑎2=𝑎4，不等于右边，故此选项不合题意； D.𝑎2⋅𝑎3=𝑎5，等于右边，故此选项符合题意； 故选：𝐷．

直接利用积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别判断得出答案． 此题主要考查了积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

3.【答案】𝐷

【解析】解：𝐴中𝐵𝐷与𝐴𝐶不垂直，故A不正确； 𝐵中𝐴𝐷未过顶点𝐵，故B不正确；

𝐶中𝐵𝐷与𝐴𝐶的延长线不垂直，故C不正确；

𝐷中𝐵𝐷与𝐴𝐶的延长线垂直，点𝐷为垂足，所以𝐵𝐷是𝐴𝐶边上的高，故D正确； 故选：𝐷．

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根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．

本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线， 垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，熟练掌握概念是解题的关键．

4.【答案】𝐴

【解析】解：在△𝐴𝐷𝐶和△𝐴𝐵𝐶中， 𝐴𝐷=𝐴𝐵{𝐷𝐶=𝐵𝐶， 𝐴𝐶=𝐴𝐶

所以△𝐴𝐷𝐶≌△𝐴𝐵𝐶(𝑆𝑆𝑆)， 所以∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐶， 所以𝐴𝐶就是∠𝐷𝐴𝐵的平分线．

所以这里判定△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐶是全等三角形的依据是𝑆𝑆𝑆． 故选：𝐴．

根据题目所给条件可利用𝑆𝑆𝑆定理判定△𝐴𝐷𝐶≌△𝐴𝐵𝐶，进而得到∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐶．

本题考查了三角形全等的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即𝐴𝐴𝑆、𝐴𝑆𝐴、𝑆𝐴𝑆、𝑆𝑆𝑆，

直角三角形可用𝐻𝐿定理，但𝐴𝐴𝐴、𝑆𝑆𝐴，无法证明三角形全等．

5.【答案】𝐵

【解析】解：𝐴．B.+=C.

1𝑎−𝑏1𝑎

1𝑏

𝑏𝑎+𝑎𝑏𝑎𝑏1

𝑐4𝑐

=4，等于右边，所以选项变形正确，故此选项不合题意；

𝑎+𝑏

，不等于右边，所以选项变形错误，故此选项符合题意； 𝑎𝑏

1

=

=−𝑏−𝑎，等于右边，所以选项变形正确，故此选项不合题意；

=

(𝑎+2)(𝑎−2)(𝑎+2)

2𝑎2−4D.𝑎2+4𝑎+4

=

𝑎−2

，等于右边，所以选项变形正确，故此选项不合题意． 𝑎+2

故选：𝐵．

直接利用分式的加减运算法则以及分式的性质分别化简，进而判断得出答案． 此题主要考查了分式的加减运算以及分式的性质，正确化简分式是解题关键．

6.【答案】𝐶

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【解析】解：根据三角形的三边关系，得4−4<𝑚<4+4， 即0<𝑚<8， 因为𝑚是整数， 则𝑚的最大值为7， 故选：𝐶．

根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可．

本题考查了三角形的三边关系．三角形的三边关系：第三边大于两边之差而小于两边之和．

7.【答案】𝐶

【解析】解：设他花费24元买了𝑥本笔记本， 根据题意可列方程为故选：𝐶．

设他花费24元买了𝑥本笔记本，根据购买同样的笔记本，当花费超过20元时，每本便宜1元列方程 即可得到结论．

此题考查了由实际问题抽象出分式方程．注意准确找到等量关系是关键．

2024

−𝑥−2𝑥

=1，

8.【答案】𝐵

【解析】解：如图，过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝑥轴于𝐷，

∵点𝐴(0,2)， ∴𝐴𝑂=2，

∵△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，且𝐴𝐵=𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐶=90°=∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐵𝐷𝐶，

∴∠𝐴𝐵𝑂+∠𝐶𝐵𝐷=90°，∠𝐴𝐵𝑂+∠𝐵𝐴𝑂=90°，

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∴∠𝐵𝐴𝑂=∠𝐶𝐵𝐷， 在△𝐴𝑂𝐵和△𝐵𝐷𝐶中， ∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐵𝐷𝐶{∠𝐵𝐴𝑂=∠𝐶𝐵𝐷， 𝐴𝐵=𝐵𝐶

∴△𝐴𝑂𝐵≌△𝐵𝐷𝐶(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐴𝑂=𝐵𝐷=2， ∵0<𝑎<1， ∴2<𝑎+2<3，

∵𝑂𝐷=𝑂𝐵+𝐵𝐷=𝑎+2=𝑚， ∴2<𝑚<3， 故选：𝐵．

过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝑥轴于𝐷，由“𝐴𝐴𝑆”可证△𝐴𝑂𝐵≌△𝐵𝐷𝐶，可得𝐴𝑂=𝐵𝐷=2，即可求解． 本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

9.【答案】2;1

【解析】 【分析】

此题主要考查了零指数幂以及负整数指数幂的运算，正确化简各数是解题关键． (1)直接利用负整数指数幂的运算公式(𝑎−𝑝=

1

，其中𝑎𝑎𝑝1

≠0，𝑝是负整数)计算得出答案；

(2)直接利用零指数幂的运算公式(𝑎0=1，其中𝑎≠0)计算得出答案． 【解答】 解：(1)2−1=； 故答案为； (2)(𝜋−1)0=1． 故答案为1．

121210.【答案】𝑥≠2

【解析】

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【分析】

本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键． 根据分母不为零，分式有意义，可得答案． 【解答】

解：由题意，得𝑥−2≠0． 解得𝑥≠2， 故答案为：𝑥≠2．

11.【答案】五

【解析】解：设多边形的边数是𝑛， 则(𝑛−2)⋅180°=540°， 解得𝑛=5， 故答案为：五．

根据多边形的内角和公式求出边数即可．

本题考查了多边形的内角和定理，熟记公式是解题的关键．

12.【答案】6𝑎3𝑏−10𝑎𝑏2

【解析】解：2𝑎𝑏(3𝑎2−5𝑏)=6𝑎3𝑏−10𝑎𝑏2． 故答案为：6𝑎3𝑏−10𝑎𝑏2． 根据单项式乘多项式法则求出即可．

本题主要考查单项式乘多项式，解题的关键是掌握单项式乘多项式法则．

13.【答案】±6

【解析】 【分析】

本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．

此题解题的关键是利用平方项求出这两个数．

先根据平方项确定出这两个数是𝑎和3，再根据完全平方公式：(𝑎±𝑏)2=𝑎2±2𝑎𝑏+𝑏2的乘积二倍项

列式求解即可．

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【解答】

解：因为𝑎2+𝑘𝑎+9是一个完全平方式， 所以𝑘𝑎=±2×3⋅𝑎， 解得𝑘=±6； 故答案是：±6．

14.【答案】4𝑎𝑏

【解析】解：由题意可得𝑆1−𝑆2的结果就是图2中4个长方形的面积， 即图1长方形的面积：2𝑎×2𝑏=4𝑎𝑏， 故答案为：4𝑎𝑏．

由题意可得𝑆1−𝑆2的结果就是图1长方形的面积，据此解答即可．

此题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列式．

15.【答案】(4,−2)或(−2,−2)

【解析】解：如图所示：有两种情况，

因为𝐴(2,0)，𝐵(4,2)，以𝑂，𝐴，𝑃为顶点的三角形与△𝑂𝐴𝐵全等，点𝑃在𝑥轴下方， 所以𝑃1的坐标是(4,−2)，𝑃2的坐标是(−2,−2)， 故答案为：(4,−2)或 (−2,−2)．

先根据题意和全等三角形的判定画出符合的图形，再求出𝑃点的坐标即可．

本题考查了全等三角形的判定定理和点的坐标，能画出符合条件的点𝑃的位置是解此题的关键， 注意：全等三角形的判定定理有𝑆𝐴𝑆，𝐴𝑆𝐴，𝐴𝐴𝑆，𝑆𝑆𝑆，两直角三角形全等还有𝐻𝐿．

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16.【答案】3

【解析】解：过点𝐹作𝐹𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻，连接𝐷𝐹，

8

𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐵=30°，𝐴𝐶=2， ∴𝐴𝐵=2𝐴𝐶=4， 设𝐴𝐹=𝑥，则𝐵𝐹=4−𝑥， ∵∠𝐵=30°，

∴𝐹𝐻=𝐵𝐹=2−𝑥， ∵𝐸𝐹垂直平分𝐴𝐷

∴𝐴𝐹=𝐹𝐷=𝑥

∵𝐹𝐷≥𝐹𝐻(当𝐷，𝐻重合时，相等) ∴𝑥≥2−2𝑥，解得𝑥≥3，

∴𝐴𝐹最小值为，𝐵𝐹的最大值为4−=．

333故答案为：．

过点𝐹作𝐹𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻，连接𝐷𝐹，设𝐴𝐹=𝑥，则𝐵𝐹=4−𝑥，结合含30°角的直角三角形的性质可得关于𝑥的不等式，计算可求解𝐴𝐹的最小值，进而可求得𝐵𝐹的最大值．

30°角所对直角边是斜边的一半，本题主要考查了线段垂直平分线的性质、将𝐵𝐹的最大值转化为𝐴𝐹最小是解决本题的关键，属于压轴题．

834

4

8

1

4

121217.【答案】解：(1)3𝑎2−6𝑎𝑏+3𝑏2

=3(𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2)

=3(𝑎−𝑏)2；

(2)𝑥2(𝑚−2)+𝑦2(2−𝑚) =𝑥2(𝑚−2)−𝑦2(𝑚−2)

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=(𝑚−2)(𝑥2−𝑦2)

=(𝑚−2)(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)．

【解析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．

(1)先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可； (2)先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．

18.【答案】解：(1)(𝑥−8𝑦)(𝑥+𝑦)

=𝑥2+𝑥𝑦−8𝑥𝑦−8𝑦2

=𝑥2−7𝑥𝑦−8𝑦2；

3𝑎2−4

(2)(𝑎+1−)÷

𝑎−1𝑎2−2𝑎+1𝑎2−13(𝑎+2)(𝑎−2)=(−)÷ 2𝑎−1𝑎−1(𝑎−1)𝑎2−4𝑎2−4=÷

𝑎−1(𝑎−1)2 𝑎2−4(𝑎−1) =⋅

𝑎−1𝑎2−4=𝑎−1，

当𝑎=−3时，原式=−3−1=−4．

【解析】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，分式的混合运算与化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．

(1)根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可；

(2)先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将𝑎的值代入计算即可．

2

19.【答案】解：𝑥+1−𝑥2−1=1，

𝑥−12

−𝑥+1(𝑥−1)(𝑥+1)

𝑥−12

=1，

方程两边同时乘(𝑥+1)(𝑥−1)， 得整式方程(𝑥−1)2−2=𝑥2−1， 即𝑥2−2𝑥+1−2=𝑥2−1，

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所以−2𝑥=0， 解得：𝑥=0，

检验：当𝑥=0时，(𝑥+1)(𝑥−1)≠0． 所以原分式方程的解为𝑥=0．

【解析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到𝑥的值，经检验即可得到分式方程的解．

20.【答案】(1)证明：因为𝐴𝐸//𝐷𝐹，

所以∠𝐴=∠𝐷， 因为𝐴𝐵=𝐶𝐷， 所以𝐴𝐶=𝐷𝐵， 在△𝐴𝐸𝐶和△𝐷𝐹𝐵中， 𝐴𝐸=𝐷𝐹{∠𝐴=∠𝐷， 𝐴𝐶=𝐷𝐵

所以△𝐴𝐸𝐶≌△𝐷𝐹𝐵(𝑆𝐴𝑆)，

(2)解：因为∠𝐸𝐶𝐷=145°，∠𝐴=40°， 所以∠𝐸=∠𝐸𝐶𝐷−∠𝐴=105°， 因为△𝐴𝐸𝐶≌△𝐷𝐹𝐵， 所以∠𝐹=∠𝐸=105°． 则∠𝐹的度数为105°．

【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． (1)由“𝑆𝐴𝑆”可证△𝐴𝐸𝐶≌△𝐷𝐹𝐵；

(2)由全等三角形的性质和三角形内角和定理可求解．

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21.【答案】解：(1)①建立的直角坐标系𝑥𝑂𝑦如图所示；

②(1,2)，(1,−2)； (2)①(5,1)；

②如上图，点𝑃即为所求； ③设𝑄1(𝑥,𝑦)，

则有1−𝑥+1−𝑚=0，𝑦=𝑛， 所以𝑥=2−𝑚， 所以𝑄1(2−𝑚,𝑛)． 【解析】 【分析】

本题考查平面直角坐标系、轴对称的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

(1)①根据𝐴，𝐵两点坐标作出平面直角坐标系即可； ①根据轴对称的性质解决问题即可； (2)①利用轴对称的性质解决问题；

②连接𝐵𝐴1交直线𝑙于点𝑃，连接𝐴𝑃，点𝑃即为所求； ③根据轴对称的性质即可解答． 【解答】

解：(1)①建立的直角坐标系𝑥𝑂𝑦见答案；

②由图可知𝐶(1,2)，点𝐶关于𝑥轴的对称点𝐶1的坐标为𝐶1(1,−2)． 故答案为：(1,2)，(1,−2)；

(2)①因为𝐶(1,2)，𝑙是过点𝐶且平行于𝑦轴的直线， 所以直线𝑙上所有点的横坐标均为1，

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因为点𝐴的坐标是(−3,1)， 所以设𝐴1的横坐标是𝑎，

则1−(−3)=𝑎−1，解得𝑎=5，

所以点𝐴关于直线𝑙的对称点𝐴1的坐标是𝐴1(5,1)； 故答案为：(5,1)； ②见答案; ③见答案．

22.【答案】解：(1)如图2中，△𝐴𝐵𝐶即为所求；

(2)如图3中，△𝑃𝐸𝐹即为所求．

③𝑏;

④𝑎． 【解析】

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【分析】

本题考查已知底边及底边上的高作等腰三角形，解题的关键是理解题意，熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． (1)根据要求作出图形即可； (2)根据要求作出图形即可． 【解答】 解：(1)见答案;

(2)补全△𝑃𝐸𝐹图见答案；

解：作法：①作直线𝑙，在直线𝑙上取一点𝐺． ②过点𝐺作直线𝑙的垂线𝐺𝐻． ③在𝐺𝐻上取一点𝑃，使𝑃𝐺=𝑏．

④以𝑃为圆心，以𝑎的长为半径画弧，与直线𝑙分别相交于点𝐸，𝐹． ⑤连接𝑃𝐸，𝑃𝐹，则△𝑃𝐸𝐹就是所求作的等腰三角形． 故答案为：③𝑏;④𝑎．

23.【答案】解：(1)−1，−6；

(2)解：因为(𝑥+𝑎)(𝑥+𝑏)=𝑥2−2𝑥+， 所以𝑥2+(𝑎+𝑏)𝑥+𝑎𝑏=𝑥2−2𝑥+ 2所以𝑎+𝑏=−2，𝑎𝑏=，

①(𝑎−2)(𝑏−2) =𝑎𝑏−2(𝑎+𝑏)+4

1

21

121

−2×(−2)+4 21

=+4+4 2=

=

17， 2②2+2+1 𝑎11

𝑏

=

𝑏2+𝑎2𝑎2𝑏2+1

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=

(𝑎+𝑏)−2𝑎𝑏

(𝑎𝑏)

22

+1

12

(−2)−2×

2+1 =

12()24−1=+1

14=12+1

=13． 【解析】 【分析】

本题考查了多项式乘以多项式和代数式求值，掌握多项式乘以多项式法则，等式的恒等性、整体性、

配方是解题的关键．

(1)先去括号，合并同类项，根据等式的恒等性列等式求解即可； (2)先去括号，合并同类项，根据等式的恒等性，求出(𝑎+𝑏)、𝑎𝑏的值．

①利用多项式乘以多项式法则得到𝑎𝑏−2(𝑎+𝑏)+4，然后把(𝑎+𝑏)、𝑎𝑏的值代入计算即可； ②通分，配方得到【解答】

解：(1)因为(𝑥−3)(𝑥+2)=𝑥2+𝑚𝑥+𝑛， 所以𝑥2−𝑥−6=𝑥2+𝑚𝑥+𝑛， 所以𝑚=−1，𝑛=−6， 故答案为：−1，−6； (2)见答案．

(𝑎+𝑏)−2𝑎𝑏

(𝑎𝑏)

22

+1，再把(𝑎+𝑏)、𝑎𝑏的值代入后计算即可．

24.【答案】(1)证明：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，

∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐵=∠𝐶，

2∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐶=90°． ∵∠𝐵𝐴𝐶=120°， ∴∠𝐵=

180°−120°

21

=30°，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷=2∠𝐵𝐴𝐶=60°，∠𝐶𝐴𝐹=180°−∠𝐵𝐴𝐶=60°，

1

∴∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷=60°．

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在直角三角形𝐴𝐵𝐷中，∠𝐵=30°， ∴𝐴𝐵=2𝐴𝐷．

∵∠𝐶𝐷𝐹=60°，∠𝐴𝐷𝐶=90°，

∴∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐶𝐷𝐹=30°

∵∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐶𝐴𝐹+∠𝐶𝐴𝐷=120°，

∴∠𝐴𝐹𝐷=180°−∠𝐴𝐷𝐹−∠𝐷𝐴𝐹=30°=∠𝐴𝐷𝐹． ∴𝐴𝐷=𝐴𝐹． ∴𝐴𝐵=2𝐴𝐹．

(2)解：①补全图形如图；

②𝐴𝐵=𝐴𝐹+𝐴𝐸．

证明：在𝐴𝐶上截取𝐴𝐺=𝐴𝐸，连接𝐸𝐺． ∵∠𝐵𝐴𝐶=120°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶中线， ∴∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐷𝐴𝐶=60°．

∴△𝐴𝐸𝐺是等边三角形，∠𝐸𝐴𝐹=120°． ∴𝐸𝐺=𝐴𝐸，∠𝐴𝐺𝐸=∠𝐴𝐸𝐺=60°． ∴∠𝐸𝐺𝐶=120°． ∴∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐸𝐺𝐶． ∵∠𝐴𝐸𝐺=∠𝐶𝐸𝐹=60°， ∴∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐺𝐸𝐶． 在△𝐴𝐸𝐹和△𝐺𝐸𝐶中， ∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐺𝐸𝐶{𝐴𝐸=𝐸𝐺， ∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐸𝐺𝐶

∴△𝐴𝐸𝐹≌△𝐺𝐸𝐶(𝐴𝑆𝐴)． ∴𝐴𝐹=𝐺𝐶．

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∵𝐴𝐶=𝐴𝐺+𝐺𝐶， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐸+𝐴𝐹．

(3)当𝐸𝐷<𝐴𝐷时，𝐴𝐵=𝐴𝐸+𝐴𝐹；当𝐴𝐷<𝐸𝐷≤3𝐴𝐷时，𝐴𝐵=𝐴𝐸−𝐴𝐹．

【解析】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，构造全等三角形和直角三角形是解本题的关键．

(1)由等腰三角形的性质得出𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∠𝐵=∠𝐶.证出𝐴𝐷=𝐴𝐹.则可得出结论； (2)①由题意画出图形即可；

②在𝐴𝐶上截取𝐴𝐺=𝐴𝐸，连接𝐸𝐺.证明△𝐴𝐸𝐹≌△𝐺𝐸𝐶(𝐴𝑆𝐴).由全等三角形的性质得出𝐴𝐹=𝐺𝐶.则可得出结论； (3)分情况讨论即可． 【解答】

解：(1)(2)见答案；

(3)如图，当𝐸𝐷<𝐴𝐷时，𝐴𝐵=𝐴𝐸+𝐴𝐹；

．

证明：在𝐴𝐶上截取𝐴𝐺=𝐴𝐸，连接𝐸𝐺． 由(2)知△𝐴𝐸𝐺是等边三角形，∠𝐸𝐴𝐹=120°． ∴𝐸𝐺=𝐴𝐸，∠𝐴𝐺𝐸=∠𝐴𝐸𝐺=60°． ∴∠𝐸𝐺𝐶=120°． ∴∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐸𝐺𝐶．

∵∠𝐴𝐸𝐺=∠𝐶𝐸𝐹=60°，即∠𝐴𝐸𝐹+∠𝐹𝐸𝐺=∠𝐶𝐸𝐺+∠𝐹𝐸𝐺， ∴∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐺𝐸𝐶． 在△𝐴𝐸𝐹和△𝐺𝐸𝐶中， ∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐺𝐸𝐶{𝐴𝐸=𝐸𝐺， ∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐸𝐺𝐶

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∴△𝐴𝐸𝐹≌△𝐺𝐸𝐶(𝐴𝑆𝐴)． ∴𝐴𝐹=𝐺𝐶． ∵𝐴𝐶=𝐴𝐺+𝐺𝐶，

∴𝐴𝐵=𝐴𝐸+𝐴𝐹;

当𝐴𝐷<𝐸𝐷<3𝐴𝐷时，𝐴𝐵=𝐴𝐸−𝐴𝐹． 如图，

证明：在𝐴𝐶上截取𝐴𝐺=𝐴𝐸，交𝐴𝐶的延长线于点𝐺，连接𝐸𝐺． 由(2)知△𝐴𝐸𝐺是等边三角形，

∴𝐸𝐺=𝐴𝐸，∠𝐴𝐺𝐸=∠𝐴𝐸𝐺=60°，即∠𝐶𝐺𝐸=60°． ∵∠𝐵𝐴𝐷=60°，即∠𝐹𝐴𝐸=60°， ∴∠𝐹𝐴𝐸=∠𝐶𝐺𝐸．

∵∠𝐶𝐸𝑀=∠𝐴𝐸𝐺=60°，即∠𝐴𝐸𝐹+∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐶𝐸𝐺+∠𝐴𝐸𝐶， ∴∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐺𝐸𝐶． 在△𝐴𝐸𝐹和△𝐺𝐸𝐶中，

∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐺𝐸𝐶{𝐴𝐸=𝐸𝐺, ∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐸𝐺𝐶

∴△𝐴𝐸𝐹≌△𝐺𝐸𝐶(𝐴𝑆𝐴)． ∴𝐴𝐹=𝐺𝐶． ∵𝐴𝐺=𝐴𝐶+𝐺𝐶，

∴𝐴𝐸=𝐴𝐵+𝐴𝐹; ∴𝐴𝐵=𝐴𝐸−𝐴𝐹;

当𝐸𝐷=3𝐴𝐷，如图，射线𝐸𝑀过点𝐵，点𝐹与点𝐵重合，此时∠𝐶𝐸𝑀=60°；当𝐸𝐷⩾3𝐴𝐷时，射线

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𝐸𝑀与射线𝐵𝐴无交点，不符合题意．

综上所述，当𝐸𝐷<𝐴𝐷时，𝐴𝐵=𝐴𝐸+𝐴𝐹；当𝐴𝐷<𝐸𝐷≤3𝐴𝐷时，𝐴𝐵=𝐴𝐸−𝐴𝐹．

25.【答案】解：(1)观察规律可知左边每个式子中第一个数分别为1，2，3，4，

则第五个式子中左边第一个数为；

左边每个式子中第二个数分别为−1，−，−，−， 则第五个式子中左边第二个数为−；

9左边每个式子中第三个数分别为−，−，−，−， 则第五个式子中左边第三个数为−；

10

观察右边每个式子前面为负号，分母分别为左边第二个数和第三个数分母的乘积，分子为1， 所以第⑤个等式为：−−=−，

59109×10故答案为：−−

1

5191101

1

1

11121416181

13151715111

=−

1

； 9×101

1

1

1

(2)由(1)分析可知第𝑛个等式为：𝑛−2𝑛−1−2𝑛=−2𝑛(2𝑛−1)． 故答案为：𝑛−2𝑛−1−2𝑛=−2𝑛(2𝑛−1)． 【解析】(1)根据规律求解即可； (2)根据规律求解即可．

1

1

1

1

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本题主要考查数式的规律，解答的关键是由所给的等式分析清楚所存在的规律．

26.【答案】解：(1)①7；② 0；

(2)如图2，设过点𝑁的直线交𝐴𝐵，𝐴𝐶于点𝐸，𝐹，点𝐴关于直线𝐸𝐹的对称点为𝐴′，

2

由题可知△𝐴𝐸𝑁和𝛥𝐴𝑁𝐹均为等腰直角三角形，且𝐴𝑁=𝐸𝑁=𝑁𝐹， ∵𝑁(0,𝑛)，点𝐴(0,3)， ∴𝐴𝑁=𝐸𝑁=𝑁𝐹=3−𝑛，

𝑆𝛥𝐴′𝐸𝐹=𝑆𝛥𝐴𝐸𝐹，如图2，当点𝑁在点𝐴和𝐴𝑂中点之间时，点𝐴′落在𝑂𝐴上，折叠后重合的面积为𝑆𝛥𝐴′𝐸𝐹， 由折叠性质知𝐴′𝑁=𝐴𝑁=3−𝑛，

∴𝑆0=2⋅𝐸𝐹⋅𝑁𝐴′=2×2(3−𝑛)×(3−𝑛)=(3−𝑛)2(2<𝑛⩽3)(由点𝐴到𝐴𝑂中点的过程中， 𝐴𝑁越来越大，重合的面积越来越大，到中点时面积最大)；

当点𝑁恰好在𝐴𝑂中点时，重合部分的面积为𝑆𝛥𝐴′𝐸𝐹=𝑆𝛥𝐴𝐸𝐹，此时𝐴𝑁=𝐸𝑁=𝑁𝐹=，

𝑆0=

321

1

3

1339×2××=; 2224如图3，当点𝑁在𝐴𝑂中点和𝑂之间时，折叠后重合的面积为梯形𝐾𝑀𝐸𝐹的面积，其面积为𝑆0=

1

(𝐸𝐹+𝐾𝑀)·𝑁𝑂2=2×(6−2𝑛+6−4𝑛)×𝑛=−3(𝑛−1)2+3

1

∵(𝑛−1)2⩾0， ∴−3(𝑛−1)2⩽0，

∴−3(𝑛−1)2+3⩽3，即𝑛=1时，𝑆0有最大值3；

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当点𝑁在点𝑂及点𝑂下面和点𝐴及点𝐴上面时，即𝑛⩽0或𝑛⩾3时，沿着垂直于𝑦轴的直线𝑙2折叠时， 没有重合的部分，即重合面积𝑆0=0，

综上所述当点𝑛=1时，𝑆0的值最大，最大值为3，此时对称度为(3)如图4中，

3

9−3

=2；

1

∵△𝐴𝑃𝑄关于该直线的对称度为1， ∴△𝐴𝑃𝑄是等腰三角形， 又∵𝑄(𝑡,0)，𝑡是整数，

∴当𝑃𝐴=𝑃𝑄=5时，𝑄1(−9,0)，𝑄2(1,0)，满足条件， 当𝐴𝑃=𝐴𝑄时，𝑄3(4,0)， ∴满足条件的𝑡的值为−9或1或4． 【解析】 【分析】

本题属于几何变换综合题，考查了轴对称变换的性质，等腰直角三角形、三角形的面积，四边形的面积，

对称度的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题． (1)①根据对称度的定义，求出𝑆0，𝑆的值即可；

②当△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑙1的对称度为1时，𝑆0=2，此时𝑚=0；

9

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(2)分情况求出𝑆0的值，比较即可得结论；

(3)由题意△𝐴𝑃𝑄关于该直线的对称度为1，推出△𝐴𝑃𝑄是等腰三角形，求出整数𝑡的值即可． 【解答】

解：(1)①如图1中，

∵点𝐴(0,3)，𝐵(−3,0)，𝐶(3,0)． ∴𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑂𝐶=3， 又∵𝑥轴⊥𝑦轴，

∴△𝐴𝑂𝐵、△𝐴𝑂𝐶均为等腰直角三角形， ∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐵𝐶=45°，

∴过点𝑀(𝑚,0)作垂直于𝑥轴的直线𝑙1，折叠重合部分的三角形也为等腰直角三角形，

当𝑚=1时，重合部分的三角形是边长为3−1=2的等腰直角三角形，其面积𝑆0=×2×2=2，

2三角形𝐴𝐵𝐶的面积为𝑆=×6×3=9，

2∴△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑙1的对称度的值=故答案为：．

90

②当△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑙1的对称度为1时，9−𝑆=1，解得𝑆0=2，

0

𝑆

27

29−2

1

1

=7．

2

过点𝑀(𝑚,0)作垂直于𝑥轴的直线𝑙1，折叠重合部分的三角形是边长为|3−𝑚|的等腰直角三角形 ∴𝑆0=2|3−𝑚|×|3−𝑚|，即2|3−𝑚|×|3−𝑚|=2，解得𝑚=0或𝑚=6(不符合题意) 故𝑚的值为0， 故答案为：0；

1

1

9

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(2)(3)见答案．

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