平面向量 综合测试题
（时间：120分钟 满分：150分） 学号：______ 班级：______ 姓名：______ 得分：______
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 向量a，b，c，实数λ,下列命题中真命题是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λ a＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c 2．已知向量a＝(1,0)与向量b＝(－1，3)，则向量a与b的夹角是( )
πA. 6C.2π 3
B. D.
π 35π
6
3. 设P是△ABC所在平面内的一点，→BC＋→BA＝2→BP，则( )
A.→PA＋→PB＝0 B.→PC＋→PA＝0 C.→PB＋→PC＝0 D.→PA＋→PB＋→PC＝0
4．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝( )
A．－2 1
C．－ 2
B．2 1 D. 2
mn 5．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
6．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量→AB在→CD方向上的投影为( )
A.32
2
B.315
2
32C．－
2315D．－ 2
7. 已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )
1
π
A．[0，] 6π2πC．[，] 33
π
B．[，π]
3π
D．[，π]
6
8. 已知向量a，b满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则|b|的取值范围为( )
A．[1,2] B．[2,4] 111C.， D.，1 422 9. 下列命题中正确的个数是( )
①若a与b为非零向量，且a∥b，则a＋b必与a或b的方向相同； ②若e为单位向量，且a∥e，则a＝|a|e； ③a·a·a＝|a|3；
④若a与b共线，又b与c共线，则a与c必共线；
→
A．1 C．3
→
→
→
⑤若平面内有四点A，B，C，D，则必有AC＋BD＝BC＋AD.
B．2 D．4
10．已知向量a＝(x＋1,1)，b＝(1，y－2)，且a⊥b，则x2＋y2的最小值为( )
1A. 31C. 2
2B. 3D．1
11．若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝( )
A．2 B.2 C．1 D.
2
2
12．设a,b是两个非零向量，下列结论一定成立的是( ) A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上 ） 13．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5 2，则|b|等于________．
14．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
2
15．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λ a＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________. 16．在△ABC中，若∠A＝120°，→AB·→AC＝－1，则|→BC|的最小值是________．
三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
→→
17.（10分）已知O、A、B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝
0，
→→→(1)用OA、OB表示OC；
(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．
18．（10分）设a，b是不共线的两个非零向量．
(1)若→OA＝2a－b，→OB＝3a＋b，→OC＝a－3b，求证：A，B，C三点共线． (2)若→AB＝a＋b，→BC＝2a－3b，→CD＝2a－kb，且A，C，D三点共线，求k的值． 19．（10分）已知向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求3a＋b－2c；
(2)求满足a＝m b＋n c的实数m，n； (3)若(a＋k c)∥(2b－a)，求实数k.
20．（10分）已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，
→
求点D的坐标与|AD|．
21．（10分）已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b的方向上的投影为－1，求 (1)a与b的夹角θ； (2)(a－2b)·b.
22.（10分）已知a＝( 3，－1)，b＝,13，且存在实数22k和t，使得x＝a＋(t2－
k＋t2
3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值．
t
参
3
一、选择题 1~6 BCBCDA 7~12 BDACBC 提示：
1.若a·b＝0，表明a，b垂直，并不是a＝0或b＝0；若a2＝b2，表明|a|2＝|b|2，并不是a＝b或a＝－b；若a·b＝a·c，则有|a||b|cos α＝|a||c|cos β，α，β分别是向量
a，b和c，a的夹角，不只会是b＝c.故只有B正确．
a·b－112π
2 .cos〈a，b〉＝＝＝－.所以〈a，b〉＝. |a|·|b|1·223 3.由→BC＋→BA＝2→BP知，点P是线段AC的中点，则→PC＋→PA＝0.
4.由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，因为
m1
ma＋nb与a－2b共线，所以(2m－n)×(－1)－(3m＋2n)×4＝0，整理得＝－. n2
5.因为a⊥c，所以a·c＝0，又因为a∥b，则设b＝λa，所以c·(a＋2b)＝(1＋2λ)c·a＝0.
6．→AB＝(2,1)，→CD＝(5,5)，向量→AB＝(2,1)在→CD＝(5,5)上的投影为|→AB|cos〈→AB，→CD〉→→→→
AB·CDAB·CD1532
＝|→AB|＝＝＝，故选A.
→→→252|AB||CD||CD|
7．Δ＝|a|－4a·b＝|a|－4|a||b|cos〈a，b〉＝4|b|－8|b|·cos〈a，b〉≥0.
1π所以cos〈a，b〉≤，〈a，b〉∈[0，π]．所以≤〈a，b〉≤π.
23
8．由题意知b≠0，设向量a，b的夹角为θ，(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2，
1－2|b|2
1－|b|cos θ－2|b|＝0，所以cos θ＝，因为－1≤cos θ≤1，所以－1≤
|b|
2
2
2
2
2
1－2|b|2
≤1， |b|
1
所以≤|b|≤1.
2
→
所以⑤正确．
10.因为a⊥b，所以a·b＝0，即x＋1＋y－2＝0，整理得x＋y＝1，所以x2＋y2＝x2＋(11111
－x)2＝2x2－2x＋1＝2x－2＋≥，所以x2＋y2的最小值为.
2222
11．因为(a＋b)⊥a，|a|＝1，所以(a＋b)·a＝0，所以|a|2＋a·b＝0，所以a·b＝－
4
→→→→→→→→→
9.易知①②③④均错误，⑤正确，因为AC＋BD＝BC＋AD，所以AC－AD＝BC－BD，即DC＝DC，
1.
又因为(2a＋b)⊥b，所以(2a＋b)·b＝0.所以2a·b＋|b|＝0.所以|b|＝2.所以|b|＝2，选B.
12.利用排除法可得选项C是正确的，因为|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb.
选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D；若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．
二、填空题 13.5 14.－1 15. 5 16.6 提示：
13．因为|a＋b|＝5 2，所以(a＋b)2＝50，即a2＋b2＋2a·b＝50，
又|a|＝5，a·b＝10，所以5＋|b|2＋2×10＝50. 解得|b|＝5.
14．由题意知a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1,2)，由(a＋b)∥c，得1×2－(m－1)×(－1)＝m＋1＝0，所以m＝－1.
15．|b|＝22＋12＝5，由λa＋b＝0，得b＝－λa，故|b|＝|－λa|＝|λ||a|，所以|λ|＝
|b|5
＝＝5. |a|1
2
2
16．因为→AB·→AC＝－1，所以|→AB|·|→AC|cos 120°＝－1，即|→AB|·|→AC|＝2，所以|→BC|2＝|→AC－→AB|2＝→AC2－2→AB·→AC＋→AB2≥2|→AB|·|→AC|－2→AB·→AC＝6，所以|→BC|min＝6. 三、解答题
→→→→→→
17.解：(1)2AC＋CB＝0，2(OC－OA)＋(OB－OC)＝0. →
→→→→→→→
11
(2)如图，DA＝DO＋OA＝－OB＋OA＝(2OA－OB)，
22→→
1
故DA＝OC，故四边形OCAD为梯形．
2
18．(1)证明：→AB＝→OB－→OA＝a＋2b，
5
→→→→→→
2OC－2OA＋OB－OC＝0，所以OC＝2OA－OB.
→AC＝→OC－→OA＝－a－2b.
所以→AC＝－→AB，又因为A为公共点， 所以A、B、C三点共线．
(2)解;→AC＝→AB＋→BC＝(a＋b)＋(2a－3b)＝3a－2b， 因为A,C,D三点共线，所以→AC与→CD共线．
从而存在实数λ使→AC＝λ→CD，即3a－2b＝λ(2a－kb)， 3＝2λ，得
－2＝－λk，
344
解得λ＝，k＝，所以k＝. 233
19．解：(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(0,6)．
(2)因为a＝mb＋nc，
所以(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)． －m＋4n＝3，
所以
2m＋n＝2，5m＝9，解得
8n＝9.
(3)因为(a＋kc)∥(2b－a)，a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)． 所以2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，所以k＝－
→
－2)，
→→
→→
因为D在直线BC上，即BD与BC共线， 所以存在实数λ，使BD＝λBC， 即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)． x－3＝－6λ，所以
y－2＝－3λ，即x－2y＋1＝0.①
6
16. 13→
→
20．解：设D点坐标为(x，y)，则AD＝(x－2，y＋1)，BC＝(－6，－3)，BD＝(x－3，y
所以x－3＝2(y－2)，
→→
又因为AD⊥BC，所以AD·BC＝0， 即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0. 所以－6(x－2)－3(y＋1)＝0.② x＝1，
由①②可得
y＝1.
→
所以D(1,1)．|AD|＝ 21.解：(1)由题意知，
|a|＝2，|b|＝1，|a|cos θ＝－1， 所以a·b＝|a||b|cos θ＝－|b|＝－1， 所以cos θ＝
1－2
2
＋22＝5，
a·b1
＝－.
|a||b|2
2π
即为所求． 3
由于θ∈[0，π]，所以θ＝
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
22.解：因为a＝(3，－1)，b＝,21322213，所以|a|＝ 223
2
＋－1
2
＝2，
|b|＝ 13
＝1，所以a·b＝ 3×＋(－1)×＝0，故有a⊥b.
22
由x⊥y，得[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0， 即－ka2＋(t3－3t)b2＋(t－kt2＋3k)a·b＝0. 所以－k|a|2＋(t3－3t)|b|2＝0.
将|a|＝2，|b|＝1代入上式，得－4k＋t3－3t＝0. 所以k＝
t3－3t4k＋t212172
，所以＝(t＋4t－3)＝(t＋2)－. t444
k＋t27
故当t＝－2时，有最小值－. t4
7
