湖北省六校(恩施高中 郧阳中学 沙市中学 十堰一中 随州二中)2021届高三11月联考数学试题

数学试卷

考试时间：120分 试卷满分：150分

一、单项选择题：本题8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

11,18}，则集合A1.已知集合A={x|x=5n+1,nN},B={6,9, A.4个

B.3个

B的子集的个数为( )

D.1个

C.2个

2.复数z对应的向量OZ与a=(3,4)共线，且z=10对应的点在第三象限，则z=( ) A. 6+8i

B. 6−8i

C. −6−8i

D. −6+8i

3.已知集合A=x−1是的充分不必要条件，x2，集合B={xx2−(a+2)x+2a0}若“xA”“xB”2则实数a的取值范围为( )

1A. −,−

21B. −,−

21C. −,2 21D. −,2 24.若cos+π4π=，则sin−=（ ） 653B.

A.

4 53 5C.−4 5

D.−3 5x5.设函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)=e−cosx，则不等式f(2x−1)+f(x−2)0的解集为（ ）

A. (−,1)

1B. −,

31 C. ,+3 D. (1,+)

6.“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应，“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅……癸酉；甲戌、乙亥、丙子……癸未；甲申、乙酉、丙戌……癸巳；……，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽. 2020年是“干支纪年法”中的庚子年，那么2086年出生的孩子属相为( ) A. 猴

B. 马

C. 羊

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D. 鸡

7.在△ABC中, D、E为BC边上的两个动点，且满足AD+AE=xAB+yAC，则A. 有最小值4

B. 有最大值4

C. 有最小值2

11+( ) xyD. 有最大值2

8.已知函数f(x)=ax2−x与g(x)=lnx的图像有两个交点，则实数a的取值范围是( )

1A．,1

e

B．(0,1)

1+eC. −,2

e1+e D．0,2

e二、多项选择题：本题4个小题，每小题5分，共20分。在每题给出的选项中，有多项符合题目的要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。 9.已知复数z=cos+isin(−22) (其中i为虚数单位)下列说法正确的是( )

A.复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 B．z可能为实数

C．z=1

D．

1的虚部为sin zππ10.已知函数f(x)=2sinx−的图像的一个对称中心为,0其中(0,1)则以下结论正确的是( )

64A.函数f(x)的最小正周期为3π B.将函数f(x)的图像向左平移

π所得图像关于原点对称 6ππC.函数f(x)在区间−,上单调递增

62D.函数f(x)在区间(0,10)上有6个零点

11.若a,b为正实数，且ab，则下列不等式成立的是( )

A.

11 abB. lnalnb C. alnablnb D. a−bea−eb

12.设{an}是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意nN+，均有an+kan，则称{an}是间隔递增数列，k是

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{an}的间隔数,下列说法正确的是( )

A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 B．已知an=n+4，则an是间隔递增数列 nC．已知an=2n+(−1)n,则an是间隔递增数列且最小间隔数是2

D. 已知an=n2−tn+2020,则an是间隔递增数列且最小间隔数是3,则4t5.

三、填空题：本题4个小题，每题5分，共20分。

13.已知向量a=(−1,1),b=(−1,k),若a+b⊥a，则k的值为__________.

()14.己知函数f(x)=lnx，若0ab，且f(a)=f(b)，则a+4b的取值范围是____________． 15.设Sn是等差数列an的前 n 项和,若

S51S5=,则=______________.

S20+S10S10316.已知函数f(x)=2lnx,g(x)=ax−x−21(a0)，若直线y=2x−b与函数y=f(x),y=g(x)的图象均相2切，则a的值为___________;若总存在直线与函数y=f(x),y=g(x)图象均相切，则a的取值范围是____________.

四、解答题：本题6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分10分）

在①{bn}为等比数列，b1=a1,3b2=a2,②{bn}为等差数列，2b1=a1,4b2=a2,③{bn}为等比数列，

b1=a1+2,b2=a2+4。这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答。

anaa1a2a32*bS,数列满足____________,为数列+2+3+...+n=nnN()的前n项和,nn2222nbn已知数列an满足

是否存在正整数k,使得Sk2020成立?若存在,求出k的最小值；若不存在,请说明理由

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18.（本小题满分12分）

锐角ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，且2sinB(acosC+ccosA)=3b. （1）求角B.

（2）若 b=3，求2a+c的最大值.

19.（本小题满分12分）

已知数列an的前n项和为Sn，a1=2,Sn+1=3Sn+2,nN*. （1）证明：数列Sn+1为等比数列；

an,n为奇数2（2）若bn=求数列{bn}的前2n项的和T2n.

log3an,n为偶数32，

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20.（本小题满分12分）

一经济作物示范园的平面图如图所示，半圆O的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上异于A、B两点的一个动点，以点P为直角顶点作等腰直角PCD，且点D与圆心O分布在PC的两侧，设PAC=．

（1）把线段PA，PC的长表示为的函数；

（2）现要在APC和PCD内分别种植甲、乙两种经济作物。这两种作物单位面积的收益比为4:3，求为

何值时，收益最大？

21.（本小题满分12分）

对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(−x)+kf(x)=0，其中k为整数，则称函数f(x)为定义域上的“k阶局部奇函数”．

（1）若f(x)=log3(2x+m)是(−1,1)上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围；

2（2）若f(x)=x+4x+t，对任意的实数t(−,4，f(x)恒为R上的“k阶局部奇函数”，求整数k的最

大值.

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22.（本小题满分12分） 已知函数f(x)=lnx−x+1．

（1）求f(x)的最大值；

（2）设函数g(x)=f(x)+a(x−1)2，若对任意实数b(2,3)，当x(0,b时，函数g(x)的最大值为g(b)，求a的取值范围；

（3）若数列an的各项均为正数，a1=1,an+1=f(an)+2an+1(nN+)．求证：an2n−1.

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高三11月联考

数 学 答 案

题号 答案

1 A 2 S 3 A 4 C 5 D 6 B 7 C 8 B 9 BC 10 AC 11 BD 12 BCD 13．- 3

14．(5,+)

15．

1 13 16．

3 2

3，+ 217．解：由

a1a2a3+++22223+ana1a2a32+++=n,可得

222232n+an−1=(n−1)2,(n2) n−12两式相减可得,

an=n2−(n−1)2=2n−1, 所以an=(2n−1)2n, n2+an=n2可得,a1=2,满足an=(2n−1)2n, 所以an=(2n−1)2n, n2n当n=1时,由

a1a2a3+++22223an若选①可得b1=2,b2=4,所以bn=2,此时=2n−1,

bn可得Sn=1+3+5++(2n−1)=n2, Sn=n22020,可得n45(nN),

所以存在最小k值为45.

若选②,可得b1=1,b2=3，所以bn=2n−1，此时

an=2n bn可得sn=2n+1−2，sn2020,可得n10，所以存在最小k值为10

若选③,可得b1=4,b2=16，所以bn=4n，此时

an2n−1=n bn2所以sn=1352n−32n−1+2+3++n−1+n 22222第 7 页 共 11 页 高三数学试卷

那么

11352n−32n−1sn=2+3+4++n+n+1 2222222n+33，所以不存在整数k n2两式相减得sn=3−

18．（1）边化角得2sinB(sinAcosC+sinCcosA)=3sinB

可得sinB=3，因为B为锐角，所以B=

32=csinC可得，a=2sinA,c=2sinC

a=（2）由sinA332∴2a+c=4sinA+2sinC∵A+C=2π 322π3C=π−A2a+c=4sinA+2sin−A=5sinA+3cosA=27sin(A+)（其中tan= ，）

335

6A2，∴2a+c的最大值为27 619．（1）对任意的nN，Sn+1*Sn+1+13Sn+3==3且S1+1=3， =3Sn+2，则

Sn+1Sn+1所以，数列Sn+1是以3为首项，以3为公比的等比数列；

n−1nn（2）由（1）可得Sn+1=33=3，∴Sn=3−1.

nn−1n−1当n2时，an=Sn−Sn−1=(3−1)−(3−1)=23，a1=2也适合上式，

n−1所以，an=23.

3n−1,n为奇数所以bn=

n,n为偶数T2n=b1+b3++b2n−1+b2+b4++b2n

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9n1 2=+n+n−88

20．（1）依题设易知△APB为以APB为直角的直角三角形，又已知， AB=2,PAB=，

所以PA=2cos.

在△PAC中AC=3,PAC=，由余弦定理得，

PC2=PA2+AC2−2PAACcos=4cos2+9−12cos2=9−8cos2.

π所以PC=9−8cos2， 定义域为0.

2（2）SAPC=113APACsin=2cos3sin=sin2222

SPCD 11522=PC=(9−8cos)=−2cos2222设甲、乙单位面积的收益分别为4k、3k，总收益为y那么

y=6ksin2−6kcos2+（015k15k=62ksin(2−)+ 2422）

所以，当=

3时，总收益最大 821．（1）f(x)=log3(2x+m)要满足x−m，所以m2. 2因为f(x)=log3(2x+m)是(−1,1)上的“1阶局部奇函数”，等价于关于x的方程

f(−x)=−f(x)在(−1,1)有解，即log3(-2x+m)+log3(2x+m)=0，

化简得：m−4x=1，x(−1,1) 所以m222=1+4x2[1,5)，又m2，所以m[2,5).

（2）因为f(x)恒为R上的“k阶局部奇函数”等价于关于x的方程f(−x)+kf(x)=0恒有解.

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即x2-4x+t+kx2+4kx+tk=0，化简得：(k+1)x+(4k−4)x+t+kt=0 当k=−1时，解得x=0，所以k=−1满足题意；

当k−1时，0，即：16(k−1)−4t(k+1)0对任意的实数t(−,4恒成立，

222即t(k+1)-4(k−1)0对任意的实数t(−,4成立，

22令g(t)=t(k+1)2-4(k−1)2，g(t)是关于t的一次函数且为(−,4上的增函数 则g(4)0，即：8k0 ，解得：k0且k−1， 综上所述，整数k的最大值为0

22．（1）f(x)的定义域为(0,+),f(x)=11−x−1=， xx当x(0,1)时，f(x)0,f(x)单调递增； 当x(1,+)时，f(x)0,f(x)单调递减， 所以f(x)max=f(1)=0

（2）由题意g(x)=f(x)+a(x−1)=lnx−x+1+a(x−1)

2ax2−(2a+1)x+1(x−1)(2ax−1)1g(x)=−1+2a(x−1)==(x0)

xxx22①当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减，此时，不存在实数b(2,3)，使得当x(0,b时，函数g(x)的最大值为g(b). ②当a0时，令g(x)=0，有x1=1,x2=1 2a（i）当a=1时，函数g(x)在(0,+)上单调递增，显然符合题意. 2（ii）当

11111即0a时，函数g(x)在(0,1)和,+上单调递增，在1,上单调递减，g(x)2a22a2a在x=1处取得极大值，且g(1)=0，

要使对任意实数b(2,3)，当x(0,b时，函数g(x)的最大值为g(b)，只需g(2)0，解得

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a1−ln2，又0a11所以此时实数a的取值范围是1−ln2a. 22（iii）当1111+)上单调递增，在,1上单调递减，要对1即a时，函数g(x)在0,和(1，2a22a2a1任意实数b(2,3)，当x(0,b时，函数g(x)的最大值为g(b)需gg(2)代入化简和2a1ln2a++ln2−10，① 4a11+ln2−1a， 4a2令h(a)=ln2a+11因为h(a)=1−0恒成立， a4a111故恒有h(a)h=ln2−0，所以a时，①式恒成立， 222综上，实数a的取值范围是1−ln2,+). （3）由题意，正项数列an满足：a1=1,an+1=lnan+an+2 由（1）知：f(x)=lnx−x+1f(1)=0，即有不等式lnxx−1(x0) 由已知条件知an0,an+1=lnan+an+2(an−1)+an+2=2an+1 故an+1+12(an+1) 2n−1n从而当n2时，an+12(an−1+1)2(an−2+1)2(a1+1)=2 n所以有an2−1，对n=1也成立， n所以有an2−1(nN) 第 11 页 共 11 页 高三数学试卷