二次根式的化简求值
练习题
温故而知新： 分母有理化 分母有理化是二次根式化简的一种常用方法,通过分子、分母同乘一个式子把根号中的分母化去或把分母中的根号化去叫分母有理化. 例 1 计算：（1）(23326)(23326)； （2）(3223)2(3223)2； （3） 解析：（1）式进行简单分组，然后利用平方差公式和完全平方公式计算；（2）利用平方差公式计算；（3）先将分子、分母在实数范围内因式分解，然后再约分. 答案：解：（1）原式=(23632)(23632)=(236)2(32)2 =12-2236+6-18=122. （2）原式=(32233223)(32233223)=62(43) =246. （3）原式= 小结：（1）二次根式的混合运算常常用到幂的运算法则和乘法公式，有时题目中条件不明显，要善于变形，使之符合乘法公式，幂的运算法则特点，从而简化计算. （2）二次根式的计算和化简灵活运用因式分解能使计算简便. aaba. aaba(ab)(ab)=ab. a(ab)
举一反三： 1.若x=m-n，y=m+n，则x y的值是( ) A. 2m B. 2n C. m + n D. m - n 解析：x y=(m- 例2 阅读材料:“黑白双雄,纵横江湖；双剑合璧,天下无敌.”这是武侠小说的常见描述,其意是指两个人合在一起,取长补短,威力无比.在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”,如:(2+3)(2-3)=1,(5+2)(5-2)=3,它们的积不含根号,我们就说这两个二次根式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式.于是,二次根式的除法可以这样解:如32+31(2+3)21´3==,==7+43,像这样,通过分子、分母同乘一个式子333´32-3(2-3)(2+3)n)(m+n)=(m)2-(n)2=m-n. 把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化. (1)4+7的有理化因式是___________. 解析：因为（4+7）（4-7）=42-（7）2=9，所以4+7的有理化因式是4-7. 答案：4-7； (2)计算: 解析： 答案：解：原式=2-3+33-23=2. 112-3=23. ==2-3，27=33，632+3(2+3)(2-3)11+27-6. 32+3
骣1111(3)计算: 琪+++L+(2012+1). 琪3+24+32012+2011桫2+1解析：1n+1-n=n+1+n(n+1+n)(n+1-n)=n+1-n，将各个分式分别分母有理化后再进行计算. 答案：解：原式=（2-1+3-2+4-3+L+2012-2011）（2012+1） =（2012-1）（2012+1）=（2012）2-12=2012-1=2011. (4)已知a=3+23-2,b=,求a2-3ab+b2的值. 3-23+23+2(3+2)23-2解析：a===5+26，同理b==5-26； 3-2(3-2)(3+2)3+2a + b= 5+26+ 5-26=10，a b=（5+26）（5-26）=1，然后将所要求值的式子用a + b和a b表示，再整体代入求值即可. 答案：解：因为a=3+23-2=5+26，b==5-26， 3-23+2所以a + b= 5+26+ 5-26=10，a b=（5+26）（5-26）=1. 所以a2-3ab+b2=(a+b)2-5ab=102-5?1=95. 小结：分母有理化是我们处理二次根式问题时常用的一种方法，在有关二次根式化简求值的题目中我们经常会用到. 利用平方差公式进行分母有理化是常用方法.如:（a+b）(a-b)=a-b,(a+b)(a-b)=a2-b, (a+b)(a- b)=a-b2.
举一反三： 2. 如图,数轴上与1,2对应的点分别为A,B，点B关于点A的对称点为C,设点C表示的数为x,则|x-2|+ A. 2=（ ） x2 B. 22 C. 32 D. 2 解析：因为点B和点C关于点A对称，点A和点B所表示的数分别为1，2，所以点C表示的数为22-22-2，即x=2-2，故|x-2|+ 2=|2-x2-2|+ =22-2+2+2=32. 例3 比较大小:(1)11-3与10-2；(2)22-5与10-7. 解析：（1）用平方法比较大小；（2）用倒数法比较大小. 答案：解：（1）（11-3）2=11-2×11×3+3=14-233， （10-2）2=10-2×10×2+4=14-240. ∵33<40,∴33<40,∴-233>-240,∴14-233>14-240, ∴（11-3）2>（10-2）2.又∵11-3>0, 10-2>0,∴11-3>10-2. （2）110-122-5=22+522+5=， 3(22-5)(22+5)7=10+710+7=. 3(10-7)(10+7)
∵22+58+510+7=<， 333∴122-5<110-7， ∴22-5>10-7. 小结：比较两个二次根式大小的方法很多,最常用的是平方法和取倒数法,还可以将根号外因子移到根号内比较,但这时要注意:(1)负号不能移到根号内；(2)根号外正因子要平方后才能从根号外移到根号内. 3.已知a20142013，b20152014，c20162015，则下列结论中正确的是（ ） A. a>b>c B. c>b>a C. b>a>c D. b>c>a 解析：1120142013， a20142013111120152014，20162015； bc2015201420162015∵0< 111，∴a>b>c. abc
a2b22abb2a，其中a12，b12. 例4 （2013·襄阳）先化简，再求值：aa
a(ab)(ab)2abb2a2(ab)(ab)答案：解：原式== 2a(ab)aa=ab. ab∵a12，b12，∴a+b=2，a-b=22， ∴原式= 例5 已知实数x，y满足(x-为（ ） A.-2012 B.2012 C.-1 D.1 解析：观察所给等式特点可将等式变形为x-222=2. 2x2-2012)(y-则3x2-2y2+3x-3y-2011的值y2-2012)=2012，x2-2012=2012y-y-20122，将等式右边分母有理化得x-x2-2012=y+y2-2012 ①； y2-2012=x+x2-2012 ②； 同理可得y-①+②得x2-2012+y2-2012=0，所以x2=y2=2012； ①-②得x-y=0，所以x=y； 3x2-2y2+3x-3y-2011=3x2-2x2+3x-3x-2011=x2-2011= 2012-2011= 1. 答案：D 小结：本题有一定的技巧性，解题关键在于对所给等式进行变形，然后对变形所得到的两个等式进行简单的加减运算便可得到我们所需要的条件.本题也可以根据变形得到的两个等式的特点得出x=y的结论，然后代入原来的等式，进而求出x，y的值，最后带入求值.
举一反三： 5.观察分析下列数据,寻找规律:0,3,6,3,23,15,32,……那么第10个数据应是_________. 解析：0=0´3，3=1´3，6=2´3，3=3´3，23=12=4?3，15=5´3，32=18=6?3，…，3(n-1)，所以第10个数据是9?333. 6.（2013·孝感）先化简，再求值： 111，其中x=32，y=32. xyyx 例6 已知m=1+2,n=1-2,且(7m2-14m+a)(3n2-6n-7)=8，则a的值等于（ ） A.-5 B.5 C.-9 D.9 解析：由m=1+2可得m-1=2，两边平方得m2-2m+1=2，所以m2-2m=1； 7m2-14m+a=7（m2-2m）+a=7+a； 同理可得n2-2n=1，3n2-6n-7=3（n2-2n）-7=3-7=-4； 所以(7+a)×(-4)=8，解得a=-9. 答案：C 小结：观察所给等式和m，n的值，我们可以发现，对m，n稍作变形便可整体代入.整体思想是解决这类较复杂求值问题常用的思想方法.当然我们也可以直接把m，n的值直接代入，然后解方程求出a的值，这样计算量要大很多.
举一反三： 4.设a=7-1，则3a3+12a2-6a-12=（ ） A. 24 B. 25 C. 47+10 D. 47+12 解析：由a=7-1得a+1=7，两边平方得a2+2a+1=7，所以a2+2a=6，所以3a3+12a2-6a-12=3a（a2+2a）+6a2-6a-12=3a×6+6a2-6a-12=6a2+12a-12= 6（a2+2a）-12=6×6-12=24.
