Ｉ教法学法新探Ｉ．－【心ｉｕ］求数列通项公式的常用方法●李明远１，张玉芬２根据数列｛ａｎ｝的递推关系求通项，虽然不～定都有规律可寻，但是有些递推关系经过变形，可将问题转化为我们熟知的形式。求数列通项公式的常用方法除了观察法、公式法外。下面介绍另外８种常用方法。１．形如ａｎ－ａ。－ｌ＝ｆ（ｎ）（ｎＥＮ‘，ｎ－－－２）．用累加法，即ａ，Ｆ－（ａ．－ａｎ＿１）＋（￡ｋ，一ａ。０＋…＋（ａｒａ，）＋ａ，，（ｎ≥２）例１：在数列｛ａｎ｝中。ａ１－１且ａｎ—ａｎ－’－巾－ｉ－ｎ（ｎＥＮ’．ｎ≥２），求ａｎ。解：由已知得：ａｎ＝（ａｎ—ａＭ）＋（ａ¨一ａｎ＿２）＋…＋（ａ２一ａ１）＋ａ１＝（ｎ２＋ｎ）＋［（ｎ－１）２＋（ｎ－１）】＋（２２＋２）＋１＝【ｎＺ．ｉ．（ｎ－１）２＋…＋２２】＋［ｎ＋（１３－１）＋…＋２】＋１＝吉ｎ（ｎ十１）（２ｎ＋１）一“吾ｎ（ｎ＋１）＝可１ｉ１（ｎ＋１）（ｎ＋１）一１．练＞－３：在数习Ｊｌａｎ｝中。８１＝２且ａｆＩ—ａｎ－ｌ－、／丽一一、／百（ｎＥＮ‘．ｎ≥２），求ａｎ。２·形如未｝＝ｆ（ｎ）·用累积法，即ａｎ２主。，ｎ｝－１。嚣－‘詈‘ａ１，（ｎ≥ａｋ－１ｑ¨口１例２：在数列｛副中．ａ１－１且主｝＝絮寻（ｎｅＮ‘。ｎ≥２），求ａｎ。解：由已知得：ａｎ＝岽｝‘等…詈‘鲁’ａｋ鲁导‘羞喜年…争‘扣＝主著．练习：在数列｛ａｎ｝中，ａ１－１且ａｎ＝２“ａ¨，求（ｎＥＮ‘，ｎ≥２），求ａｆ．。３．形如ａｎ＋ｌ＝ｂａｎ＋ｃ（ｂ≠１。ｎｏＮ‘）．用待定系数法，即设ａＭ＋ｘ＝ｂ．·．ａｎ．１＝ｂａｎ＋ｂｘ—ｘ，从而解得ｘ＝干ｊ｝，．．．数列是以ｂ公比。ａｌ＋百导为首相的等比数列．．．．ａｎ＝（ａ，＋石暑）ｂ”一击．例３：数列｛ａｎ｝中，ａ１－１且ａｎ＝２ａｎ＿，＋１。求（ｎＥＮ’．ｎ≥２），求ａｎ。解：设ａｎ—Ｘ＝２（ａｎ－，一入）．即ａｎ＝２ａｎ＿，一入．与原式比较得入一１。．。．ａｎ＋１＝２（ａ。＋１）．．。．｛ａｎ＋１ｌ是首相为２、公比为２的等比数列，．‘．ａｎ＋１＝２·２“＝２ｎ，．’．ａｎ－－－－２ｎ—ｌ（ｎｅＮ。）．练＞－３：在数列｛引中．ａ１＿１且ａｎ＋１＝ｉ１一ａｎ＋ｌ（ｎｅＮ‘），求ａｎ。４．形如ａｎ．１＿ｐａｎ＋ｆ（ｎ）（Ｐ为常数，ｐ≠１．ｐ≠Ｏ），转化为等比数列，例４：数列ｆ副中，ａ１－１，且ａｎ－－－－２ａ¨＋３·５“（ｎｅＮ’．ｎ兰２）。求ａｎ。解：原式可化为ａｎ—ｘ·５“＝２（ａ。一入·５“）．比较原系数求得入，即变式：若上例变为数列｛ａｎｌ中．ａ１＝１．且ａｎ＝２ａｎｌ＋３·矿１（ｎｅＮ。．用上面解法则会出现矛盾如下：原式可化为ａｎ—ｘ·２ｎ＝２ｏ＂ｏ争＝７０●·２００９．８万 方数据练＞－－３：数列｛ａｎ｝中．ａ１－丢，且ａｎ＝｝鼽１＋（寻）ｎ，求（ｎＥＮ。。ｎ２口ｏ￡２），求ａ，，。５．形如ａ舻ｐａＭ＋ｑａｎ（ｎＥＮ’。Ｐ．ｑＥＲ），用特征根法①当Ｐ＋ｑ＝１时。则ａｎ＋ｒａＭ＝一ｑ（ａｎ＋１一ａｒ’）。从而ａｎ．１一ａｎ＝（一ｑ）…（ａ２一ａ，）。即ａＭ＝ａｎ＋（一ｑ）…（ａｚ－ａ１），利用前面方法求ａｎ。②当ｐ＋ｑ－Ｆ＝１时．则存在ａ、Ｂ满足ａⅢ一ａａⅢ＝Ｂ（钆’－ａａｎ）．．．．ａｎ＋１－（ｄ＋ｐ）ａｎ—ｏ，ｐａｎ，，则ｄ＋Ｂ＝ｐ．仅ｐ＝一ｑ。可解出ａ与Ｂ，这样先求｛ａ。一ａ甜的表达式。再求ａｎ。由此得到ａ、８是方程ｘ２－ｐｘ—ｑ＝０的两实数根。钒２＝ｐ‰，＋ｑａｎ（ｎｅＮ‘）的特征方程为ｘ２＿ｐｘ－ｑ＝０。若有两个不等特征根ａ，Ｂ。则ａｎ＝Ａｄｎ＋Ｂ６“；若有两个相等特征根例５：在数列｛ａｎ｝中，ａ１＝１。ａ２＝５，且ａ舻５ａ…一６ａｎ（ｎｅＮ＇），求ａｎｏ解：其特征方程为×２－５ｘ＋６＝０．特征根为２。３，则ａｎ＝Ａ·２＋Ｂ·３“，Ｉ把．［．４２ＡＡ＋＋９３ＢＢ：＝５１，解得｛舍：ｉ１，故ａｎ＝一２＋３“。练习：在数列｛ａｎ｝中，ａ１－一１，ａ２＝一２．且ａｍ２＝６‰１—９ａｎ（ｎＥＮ。）．求ａｎ；６．形如Ｓ卢ｆ（ｎ）ａｎ＋ｇ（ｎ），利用公式ａ．＝Ｓ．－Ｓｎ．１（ｎＥＮ。．ｎ≥２）即由已知得Ｓｎ＋１－ｆ（ｎ＋１）ａｎ＝，＋ｇ（ｎ＋１）。两式相减得‰，与ａ１１的关系式。利用前面方法即可求出ａｎｏ例６：在数列｛ａｎ｝中。ａ１’１，Ｓ。为其前ｎ项和，且解：。．。Ｓ。＝ｎａｎ＋２ｎ２－２ｎ……（１）．‘．Ｓ。１＝（ｎ＋１）ａｎ＋１＋２（ｎ＋１）２—２（ｎ＋１）…··（２Ｊ。（２）一（１）得瓠１－（ｎ＋１）‰广ｎ计４ｎ，即ｎ（ａ，，＋１一曲练习：在数列｛引中，ａ，＝１，Ｓ。为其前ｎ项和．且Ｓ。＝（ｎ＋１）‰７．可变行为ｐａｈ—ｑａｎ。（ｐｑ＃ｏ。且Ｐ．ｑ均为常数）。转化为等比数列例７：数列ｌａｎ｝满足ａ，＝了１，ａｎ＋１－善｝求ａｎ。解．．．‰＝舟，．．．七＝篙』÷＝吾。÷＋｝．令七＋ｘ＝壬‘（÷＋ｘ）．．．．ｘ＝一１，．．．数列｛ｉ１－１】是以至！１２ｎ＿１＋１’８．形如ａｎ．１＝ｐａ．ｑ（ｐ＞０。ｑ＞０），两边取对数得Ｉｇａ．．１＝ｑｌｇａｎ＋ｌｇｐ，例８：在数歹ｆＪｌａｎｌ中．ａ１－２，‰ｊ－ａｎ２，求数列的通项公式ａｎ。解：因为ａｎ＋１－ａｎ２＞Ｏ，故将此式两边取对数．得Ｉｇ‰，＝２１９ａｎ。即号薯１ｔ－２．又Ｉｇａ，＝１９２．因此数列｛Ｉｇａｎ｝是首项为１９２．公比为２的等比数列．故Ｉｇａｎ＝（１９２）·２“＝１９２“１，即ａｎ＝２。ｒ－１（ｎＥＮ。）．已知递推公式求通项公式，常将递推公式经过以上几种变（１．河南省医筠学校．２．河南大学附属巾学）仪。则ａｎ＝（Ａｎ＋Ｂ）ａ“Ｊ。Ａ、Ｂ为待定系数。２）Ｓ。＝ｎａｎ＋２ｎ２－２ｎ（ｎｅＮ‘），求ａｎ。（ａｒｌ＋ｘ）＝一４ｎ，．．．ａ¨一ａｎ＝一４，．·．｛ａｎｌ是首相为１，公差为一４的等差数列，故ａ』ｎＥＮ。）．（ｎ￡Ｎ’），求ａｎ。即设ａｎ．，＋ｇ（ｎ＋１）＝ｐ【ａｎ＋ｇ（ｎ）ｊ，其中ｆ（ｎ）、ｇ（ｎ）是同类函数。则数列｛针ｇ（ｎ））是首相为ａ，＋ｇ（１）、公比为Ｐ的等比数列，从而求出ａｎ＝【ａ，＋ｇ（１）】ｐ“－ｇ（ｎ）（５Ｘ一２Ｘ）５”１＝３·５”１．解得Ｘ＝Ｉ．‘．ａｎ一５“＝２（ａ。，一５”１）。．－．ａｎ一５”＝２ａｌ－１＝１为首相，专为公比的等比数列，．．·玉一１＝‘ｊ１一）”－．．·ａｎ２（ｋ，一５…）＝２２（ａ。ｒ５“）＝…＝少１（ａ，一５）＝一４·矿１＝一少’，故ａｎ＝５“一２…（ｎＥＮｔ）．利用待定系法求出Ｉｇａｎ，从而再求出ａｎ几≥２）。求ａｎ。（ａｎ＿１～入·矿１），则ａｎ—Ｘ２＂＝２ａｎ，一２Ｘ２＂－１。即ａｎ＝２ａ。与已知条件ａｎ＝形转化为等差型、等比型、累加型、累乘型等递推公式。然后通过构造辅助数列手段去求数列的通项公式。２稚，＋３·尹１矛盾。正确解法为：由ａｎ＝２札，＋３·矿１，得鲁＝鬟卜＋詈．．．．数列ｆ≥｝是首相为｝ａｌ＝虿１、公差为手的等差数列ｉ壬＋墨（ｎ－１）＝旦手，从而求出ａｎ＝（３ｎ－２）２－１．求数列通项公式的常用方法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
李明远， 张玉芬
李明远(河南省医药学校)， 张玉芬(河南大学附属中学)成才之路
THE ROAD TO SUCCESS2009(24)
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