高考数学专题训练 三角函数的化简与求值

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知能目标

1. 掌握同角的三角函数的基本关系式: 掌握正弦,余弦的诱导公式;掌握两角和与两角 差的正弦,余弦,正切公式;掌握二倍角的在正弦，余弦,正切公式.

2. 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式证明.

综合脉络

三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点. 提高三 角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能. 常 用的数学思想方法技巧如下:

1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之 间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题 获解.对角的变形如下:

301545306045, ()()(),

2222()()()(),()

44424特别地, 与为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高.

442. 函数名称变换: 三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是

基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名.

3. 常数代换: 在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常 数“1”的代换变形有: 1sincossectancsccot.

4. 幂的变换: 降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的

2222221cos21cos2,cos2,sin2cos21 22等, 三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式1cos常用升幂化为有理式, 升幂公式与

方法. 常用降幂公式有: sin2降幂公式是相对而言的.

5. 公式变形式: 三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用, 逆用以及变形式 的应用. 如: cos(一) 典型例题讲解:

sin2,tantantan()(1tantan)等.

2sin1cos2x8sin2x例1. (1)当0x时，函数f(x)的最小值为 ( )

2sin2xA. 2 B. 23 C. 4 D. 43

(2) 已知tan

例2. 已知tan

3, 则cos . 2

6sincos2, 求: (1) tan()的值; (2) 的值. 243sin2cos例3. 已知A、B、C的坐标分别为A(3, 0), B(0, 3), C(cos, sin), (, 23). 22sin2sin2(1) 若|AC| |BC|, 求角的值; (2) 若ACBC1, 求的值.

1tan

例4. 已知1x0,sinxcosx. (1) 求sinxcosx的值; 25xxxx3sin22sincoscos22222的值. (2) 求

tanxcotx

(二) 专题测试与练习: 一. 选择题

1. tan15cot15 A. 2 B. 23 C. 4

2. 若f(tanx)sin2x, 则f(1)的值为 A. sin2 B. 1 C. 12

3. 已知tan()25,tan(4)322,那么tan(4) A. 15 B. 1318 C. 14

4. 若，均是锐角，且sin2cos(), 与的关系是 A.  B.  C.  5. 化简:

12sin10cos10= .

cos(10)1cos2170A. 0 B. 1 C. 1

6. 已知sin(4)7210,且324, 求tan(24)的值．A. 1732 B. 313117 C. 17

( ) D. 23 ( ) D. 1 ( ) D. 1322 ( ) D. 2 D. 1

D. 1731

二. 填空题 7. 若sin(

8. 设为第四象限的角, 若

12), 则cos(2) . 633sin313, 则tan2___________. sin5

9. 已知、均为锐角, 且cos()sin(), 则tan .

10. 若cos

三. 解答题

11. 已知为第二象限的角, sin值.

1, (0,), 则cos()________ __. 237352)的, 为第一象限的角, cos, 求tan(5132cos21. 12. 化简:

2tan()sin2()44.

13. 已知向量m(cos, sin), 和n(2sin, cos),( , 2),82且|mn| . 求cos()的值.

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三角函数的化简与求值解答

(一) 典型例题

例1. 解：1. (1) D ; (2) －

4. 52224; 例2. 解：(1) ∵tan2, ∴ tan14231tan2241tantan14tan13所以tan().

1tan4471tantan1232tan46()146sincos6tan173(2) 由(1)tan, 所以

433sin2cos3tan263()23例3. 解：(1)∵|AC| |BC|, ∴点C在yx上, 则sincos.

35(,),.

224(2) AC(cos3,sin),BC(cos,sin3),

cos(cos3)sin(sin3)1, 则sincos原式＝2sincos.

2 35911242sinxcosx1， 525252449(sinxcosx)21 ，又x0sinxcosx0 ，

252527sinxcosx．

5x2sin21sinx9121082(2) 原式． [2(cosxsinx)]sinxcosx()1525125sinxcosx例4. 解：(1) sinxcosx

(二) 专题测试与练习 一. 选择题 题号 答案

二. 填空题

7.  ; 8.  ; 9. 1 ; 10. 

三. 解答题

1 D 2 B 3 B 4 A 5 D 6 C 793411 . 1411. 解：是第二象限角，sin34324costantan2， 5547512204tan(2) 是第一象限角，costan135253

12. 解：原式＝

13. 解法一:

cos2cos2cos21

cos22tan()sin2[()]2sin()cos()42444mn(cossin2, cossin)

mn (cossin2)2(cossin)2422(cossin)

44cos()21cos()

44782由已知|mn| ，得cos()

42552又cos()2cos()1 428162所以cos() 28255942,cos()0 cos()

828828285

解法二:

mn (mn)2m22mnn2 m  n 2mn

22(cos2sin2)2((2sin2)2cos2)22[cos(2sin)sincos]

422(cossin)4[1cos()]8cos2()

428482由已知|mn| ，得|cos()| 

2855592,cos()0

8288284cos()

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